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2019年黑龙江省大庆高一上学期期末考试试题_数学_有答案名师版

大庆铁人中学高一年级上学期期末考试

数学试题

试卷说明: 1.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.请将答案填写在答题卡上,考试结束只上交答题卡。
第 I 卷 选择题(共 60 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题的四个选项中,只有一项是符合要求的)

? ? 1.已知集合 A ?

x x2 ? 2x ? 0



B

?

?? ?

x

??

? ??

1 2

?x ? ?

?

2

?

0??? ??

,则

A

?

B

=

A. ?? 2,?1?

B. ??1,0?

C. ?? 2,?1?

D. ?? 1,0?

()

2.函数 f ? x? ? ln x2
A.是偶函数且在(-∞,0)上单调递增; C.是奇函数且在(0,+∞)上单调递增;

B.是偶函数且在(0,+∞)上单调递增; D.是奇函数且在(-∞,0)上单调递增;

()

3.已知 ?

是锐角,

a

?

? ??

3 4

, sin ?

? ??

,

b

?

? ??

cos

?

,

1 3

? ??

,且

a

/

/b

,则?



()

A.15°

B.45°

C.75°

D.15°或 75°

4.已知角? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上一点 P?-3, 4? ,则 cos? ?sin ? 等于
cos? ?sin ?

()

A. - 1 7

B. 3

C. -3

D. 1

7

5.已知向量 a ? ??,1? ,b ? ?? ? 2,1? ,若 a ?b ? a ?b ,则实数 ? 的值为

()

A.2

B. ? 2

C.1

D. ? 1

6.设?

? ???3, ?2, ?1, ? ?

1 2

,?

1, 3

1 3

,

1 2

,1, 2,3?? ?

,则使

f

?x?

?

x?

为奇函数且在 ?0,?? ?

上单调递减的? 的值

的个数是

()

A.1

B.2

C.3

D.4

7.若将函数

y

?

sin

? ??

6x

?

? 4

? ??

图象上各点的横坐标伸长到原的

3

倍(纵坐标不变),再将所得图象沿

x

轴向右平移 ? 个单位长度,则所得图象的一个对称中心是 8

()

A.

? ??

? 16

,

0

? ??

B.

? ??

? 9

,

0

? ??

C.

? ??

? 4

,

0

? ??

D.

? ??

? 2

,

0

? ??

8.设 a ? log3 7, b ? 21.1, c ? 0.83.1 ,则

A. b ? a ? c

B. c ? a ? b

C. c ? b ? a

D. a ? c ? b

9.设对任意实数 x ?[?1,1],不等式 x2 ? ax ? 3a ? 0恒成立,则实数 a 的取值范围是

() ()

A. a ? 0

B. a ? 1 2

C. a ? 0 或 a ? ?12

D. a ? 1 4

10.函数 f ? x? ? Asin ??x ???? A ? 0,? ? 0? 的一个最高点坐标为(2,2),相邻的对称轴与对称

中心之间的距离为 2,则函数 y ? f ? x? 的单调增区间是

()

A.??2 ?8k, 2 ?8k? k ?Z

B. ??2 ? 4k?, 2 ? 4k? ? k ?Z

C.?2 ?8k,6 ?8k? k ?Z

D. ?2 ? 4k?,6 ? 4k? ? k ?Z

11.已知函数 y = f (x) (x ? R) 满足 f ?x ? 2? ? f ?x?,且当 x ???1,1?时, f (x) = x ,函数

?sin ? x, x ? 0

[ ] g

?

x?

?

? ????

1 x

,

,则函数 h(x) = f (x) - g(x) 在区间 - 5,5 上的零点的个数为 x?0

A. 8

B. 9

C.10

D.11

()

12.已知 VABC 的外接圆的圆心为 O, AB ? 2, AC ? 3, BC ? 6 则 AO ? BC 的值为

()

A. 9

B. ? 9

C. 1

D. ? 1

4

4

2

2

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)

二.填空题(本大题包括 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡的指定位置)

13. 在平面直角坐标系 Oy 中,已知O→A=(-1,t),→OB=(2,2).若∠ABO=90°,则实数 t 的值为________.

14.

若 5a

? 2b

?

10

c 2



abc

?

0

,则

c

?

c

? _______________.

ab

15. 2sin10? ? cos 20? 的值是

.

cos 70?

16.给出以下命题:

①若 a ? b ? a ? b ,则 a 与 b 同向共线;

②函数 f ? x? ? cos?sin x? 的最小正周期为? ;

③在 ?ABC 中, AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 ,则 AB ? BC ? 16 ;

④函数

f

?x?

?

tan

? ??

2

x

?

? 3

? ??

的一个对称中心为

? ??

5? 12

,

0

? ??



其中正确命题的序号为___________________.
三.解答题:(本大题包括 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 10 分)已知 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为? . (1)若 a / /b ,求 a ? b ; (2)若 a ? b 与 a 垂直,求? .

18.(本小题满分 12 分)已知 0 ? ?

?

?

? ,

??

?

3?

,

44

4

cos

? ??

? 4

??

? ??

?

3 5

,

sin

? ??

3? 4

?

?

? ??

?

5 13

,

(1)求 sin? 的值;

(2)求 sin ?? ? ? ? 的值.

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? 4x ? 2? 2x?1 ? 6 ,其中 x ??0,3?. (1)求函数 f ? x? 的最大值和最小值; (2)若实数 a 满足 f ? x? ? a ? 2x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)已知函数

y

f (x) ? sin(?x ??) (? ? 0, ?? ? ? ? 0) 2
的最小正周期为? ,其图象的一条对称轴

1

0 ? ? 3? ? 5? 3? 7? ?

x

是直线 x ? ? . 8
(1)求? ,? ;
(2)利用“五点法”画出函数 y ? f (x) 在区间[0,? ] 上的图象.

ur

r

21. (本小题满分 12 分)已知 m ? (a sin x,cos x), n ? (sin x, bsin x) ,其中 a,b, x ? R , 若

f

(x)

?

ur r mgn

,满足

f

? ??

? 6

? ??

?

2

,且

f

(x)

的图象关于直线

x

?

?

? 6

对称.

(1)求 a,b 的值;

? (2)若对任意的 x ? [0, 2 ] ,都有 f (x) ? log2 k ? 2 ,求实数 k 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? x2 ? (x ?1) x ? a (1)若 a ? ?1,解方程 f (x) ? 1; (2)若函数 f (x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 1且不等式 f (x) ? 2x ? 3对一切实数 x ? R恒成立,求 a 的取值范围.

大庆铁人中学高一年级上学期期末考试

数学试题

一.选择题 1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7.D 8.B 9.B 10.A 11.C 12.D 二.填空题

13. 5

14.2

15. ? 3

16. ①②④

三.解答题

17. 解析: (1)∵a∥b,∴θ =0°或 180°,

∴a·b=|a||b|cos θ =± 2.

……5 分

(2)∵a-b 与 a 垂直,∴(a-b)·a=0,

即|a|2-a·b=1- 2cos θ =0,

∴cos θ = 22.

又 0°≤θ ≤180°,∴θ =45°.

? ? ? ? 3? ?? ? ? ? ?? ? 0

18.(1) 4

4

24

……5 分

?sin

? ??

? 4

?

?

? ??

?

?

4 5

?sin?

?

?

sin

? ??

? 4

?

?

?

? 4

? ??

?

4 5

?

2 ?3? 25

2?7 2 2 10

……6 分

(2)

? ? ? ? 3?

4

4

??? ? ? ?? ? 0 24

?sin

? ??

? 4

?

?

? ??

?

?

4 5

0?? ?? 4

? 3? ? 3? ? ? ? ? 44

?cos

? ??

3? 4

?

?

? ??

?

? 12 13

sin

??

?

?

?

?

?

cos

????

?

?

?

? 2

? ??

?

?

cos

???????

?

? 4

? ??

?

? ??

?

?

3? 4

?? ????

?

?

3 5

?

? ??

? 12 13

? ??

?

4 5

?5 13

?

56 65

……12 分

19.(1)令 t ? 2x,t ??1,8?

? y ? t2 ? 4t ? 6

? ymin ? 4 ? 8 ? 6 ? ?10 ymax ? 64 ? 32 ? 6 ? 26
(2)

……6 分

4x ? 4?2x ? 6 ? a?2x ? 4x ? 4?2x ? 6 ? a
2x

4x ? 4?2x ? 6

即求

2x

的最小值;

4x

? 4?2x 2x

?6

?

2x

?

6 2x

?4 单调递增,

?a ? ?9

……6 分

? x ? ? 是函数y ? f (x)

?sin(2 ? ? ? ?) ? ?1,

20.解:(1)

8

的图像的对称轴,

8

? ? ? ? ? k? ? ? ,k ? Z. ? ?? ? ? ? 0,? ? ? 3? .

4

2

4 ? =2

y ? sin(2x ? 3? )知

(2)由

4

0

?

3?

5?

7?

8

8

8

8

y

?2

-1

0

1

0

2

………………4 分
?
?2 2
………………8 分

故函数 y ? f (x)在 区间[0,? ]上

图像是

………………12 分

3y
2 1 1 2

o

? ? 3? ? 5? 3? 7? ?

x

1 -2

8 4 82 8 48

-1 3 -2

21.

ur r (1) f (x) ? mgn ? a sin2 x ? b sin x cos x

? a (1? cos 2x) ? b sin 2x

2

2

由f (? ) ? 2, 6

得a ? 3b ? 8(1 )

x ? ? ? ? f (0) ? f (? ? )

6

3

?b ? 3a(2)

由(1 ),(2 )可得a ? 2,b ? 2 3

(2)由(1 )得f (x) ? 1? cos 2x ? 3 sin 2x ? 2sin(2x ? ? ) ?1 6

Q x ?[0, ? ],? ? ? ? 2x ? ? ? 5?

26

66

?0 ? 2sin(2x ? ? ) ?1 ? 3,即f (x) ?[0,3] 6



f (x) ? log2 k

? 2在[0, ? ]上恒成立, 2

即? 2 ?

f

(x)

?

log2

k

?

2?

f

(x)在[0, ? ]上恒成立, 2

Q ??2 ? f (x)? ? ?2,?2 ? f (x)? ? ?1,

max

min

? ?2 ? log2 k ? ?1

解得1 ? k ? 1 ,即k ?[1 , 1].

4

2

42

22.

【解析】(1)当 a ? ?1时,有

?2x2 f (x) ? ?

?1

, x ? ?1

? 1 , x ? ?1

当 x ? ?1时, 2x2 ?1 ? 1,解得: x ? 1或 x ? ?1 当 x ? ?1时, f (x) ? 1恒成立,

∴方程的解集为{x | x ? ?1或 x ? 1}.

………………3 分

(2)

f

(x)

?

?2x2 ?

?

(a

? 1) x

?

a

,x ? a

? (a ?1)x ? a , x ? a



f

(x)



R

上单调递增,则有

?? a ? ?? a

?1
4 ?1

? ?

a 0

,解得

a

?

1 3



………………7 分

(3)设 g(x)

?

f (x) ? (2x ? 3) ,则 g(x)

?

?2x2 ?

? (a ? 3)x ? a ? 3

,x ? a

? (a ?1)x ? a ? 3 x ? a

即不等式 g(x) ? 0 对一切实数 x ? R 恒成立,

∴ a ? 1,

∴当 x ? a时, g(x) 单调递减,其值域为 (a2 ? 2a ? 3 , ? ?) ,

∴ a2 ? 2a ? 3 ? (a ?1)2 ? 2 ? 2,∴ g(x) ? 0 恒成立,

当 x ? a时,∴ a ? 1,∴ a ? a ? 3 , 4



g ( x)min

?

g(a

? 3) 4

?

a

?3?

(a

? 3)2 8

?

0 ,得 ? 3 ?

a

? 5,

∴ a ? 1,∴ ? 3 ? a ?1,综上: ? 3 ? a ?1.

………………12 分



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