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【复习必备】2018年秋高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修1

2.2.2 反证法
学习目标:1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.(重点、易混点)2. 理解反证法的思考 过程,会用反证法证明数学问题.(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知] 反证法的定义及证题的关键

思考 1:反证法的实质是什么?

[提示]反证法的实质就是否定结论,推出矛盾,从而证明原结论是正确的.

思考 2:有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理,这种说法对吗?

为什么?

[提示]反证法是间接证明中的一种方法,其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理.

[基础自测]

1.思考辨析

(1)反证法属于间接证明问题的方法. ( )

(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题.

()

(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾. ( )

[答案] (1)√ (2)× (3)√

2.“a<b”的反面应是( )

【导学号:48662082】

A.a≠b

B.a>b

C.a=b

D.a=b 或 a>b

[答案] D

3.用反证法证明“如果 a>b,那么3 a>3 b ”,假设的内容应是________.

[答案] 3 a≤3 b 4.应用反证法推出矛盾的推导过程中,下列选项中可以作为条件使用的有________.(填序号) ①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论. ①②③ [反证法的“归谬”是反证法的核心,其含义是:从命题结论的假设(即把“反设”作

1

为一个新的已知条件)及原命题的条件出发,引用一系列论据进行正确推理,推出与已知条件、定 义、定理、公理等相矛盾的结果.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
用反证法证明否定性命题 已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列.求证: a, b, c不成等差 数列.
【导学号:48662083】 [证明] 假设 a, b, c成等差数列,则 a+ c=2 b,即 a+c+2 ac=4b. ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac,即 b= ac, ∴a+c+2 ac=4 ac,∴( a- c)2=0,即 a= c. 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故 a, b, c不成等差数列. [规律方法] 1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的 正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法. 2.用反证法证明数学命题的步骤
[跟踪训练] 1.设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面圆心,C 是 SB 上一点,求证:AC 与平面 SOB 不 垂直. [证明] 假设 AC⊥平面 SOB,如图 ∵直线 SO 在平面 SOB 内, ∴SO⊥AC. ∵SO⊥底面圆 O,∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面 SAB. ∴平面 SAB∥底面圆 O. 这显然出现矛盾,所以假设不成立,即 AC 与平面 SOB 不垂直.
2

用反证法证明唯一性命题 求证方程 2x=3 有且只有一个根.
【导学号:48662084】 [证明] ∵2x=3,∴x=log23,这说明方程 2x=3 有根.下面用反证法证明方程 2x=3 的根是 唯一的:假设方程 2x=3 至少有两个根 b1,b2(b1≠b2), 则 2b1=3,2b2=3, 两式相除得 2b1-b2=1. 若 b1-b2>0,则 2b1-b2>1,这与 2b1-b2=1 相矛盾. 若 b1-b2<0,则 2b1-b2<1,这也与 2b1-b2=1 相矛盾. ∴b1-b2=0,则 b1=b2. ∴假设不成立,从而原命题得证. [规律方法] 巧用反证法证明唯一性命题
当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命 题时,由于反设结论易于推出矛盾,故常用反证法证明.
用反证法证题时,如果欲证明命题的反面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就 可以;若结论的反面情况有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立.
证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性. [跟踪训练] 2.求证:两条相交直线有且只有一个交点. [证明] 假设结论不成立,则有两种可能:无交点或不止一个交点. 若直线 a,b 无交点,则 a∥b 或 a,b 是异面直线,与已知矛盾. 若直线 a,b 不只有一个交点,则至少有两个交点 A 和 B,这样同时经过点 A,B 就有两条直线, 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.

用反证法证明“至多”“至少”问题

[探究问题]

1.你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有 n 个”等量词的含义吗?

提示:

量词

含义

至少有一个

有 n 个,其中 n≥1

3

至多有一个

有0或1个

至少有 n 个

大于等于 n 个

2.在反证法证明中,你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有 n 个”等量词的反设词吗?

提示:

量词

反设词

至少有一个

一个也没有

至多有一个

至少有两个

至少有 n 个

至多有 n-1 个

已知 a≥-1,求证三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a

=0 中至少有一个方程有实数解.

[证明] 假设三个方程都没有实根,则三个方程中:它们的判别式都小于 0,即:

?? a 2- -4a+ ? a- 2-4a2<0, ?? a 2+4×2a<0



?? -32<a<12, ?? a>31或a<-1,? -32<a<-1, ??-2<a<0.

这与已知 a≥-1 矛盾,所以假设不成立,故三个方程中至少有一个方程有实数解. 母题探究:1.(变条件)将本题改为:已知下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2 =0,x2+2ax-2a=0 至少有一个方程有实数根,如何求实数 a 的取值范围? [解] 若方程没有一个有实根,

??16a2- -4a , 则? a- 2-4a2<0,
??4a2+8a<0,

?? -32<a<12, ? 解得 a>13或a<-1,即-32<a<-1,
??-2<a<0.

故三个方程至少有一个方程有实根,实数 a 的取值范围是

?????a???a≥-1或a≤-32

?? ? ??

2.(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有 2 个方程有实数根,求实数 a 的取值范围.

[解] 假设三个方程都有实数根,则

?? a 2- -4a+ ? a- 2-4a2≥0, ?? a 2+4×2a≥0,



?? 4a2+4a-3≥0,

即?3a2+2a-1≤0,

??a2+2a≥0,

4

?? a≤-23或a≥12, ? 解得 -1≤a≤13,
??a≤-2或a≥0.

即 a∈?.

所以实数 a 的取值范围为实数 R.

[规律方法] 当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、 “都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时,宜用反证法
提醒:对于此类问题,需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义,弄清结论 的否定是什么,避免出现证明遗漏的错误.
[当 堂 达 标·固 双 基] 1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是( ) A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 C [“最多只有一个”的否定是“至少有两个”,故选 C.] 2.如果两个实数之和为正数,则这两个数( )
【导学号:48662085】 A.一个是正数,一个是负数 B.两个都是正数 C.至少有一个正数 D.两个都是负数 C [假设两个数分别为 x1、x2,且 x1≤0,x2≤0,则 x1+x2≤0,这与两个数之和为正数矛盾, 所以两个实数至少有一个正数,故应选 C.] 3.已知平面 α ∩平面 β =直线 a,直线 b? α ,直线 c? β ,b∩a=A,c∥a,求证:b 与 c 是异面直线,若利用反证法证明,则应假设________. b 与 c 平行或相交 [∵空间中两直线的位置关系有 3 种:异面、平行、相交,∴应假设 b 与 c 平行或相交.] 4.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°相矛盾,则∠A=∠B =90°不成立;

5

②所以一个三角形中不能有两个直角; ③假设∠A、∠B、∠C 中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°. 正确顺序的序号排列为________.
【导学号:48662086】 ③①② [根据反证法证题的三步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论.] 5. 设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和.求证:数列{Sn}不是等比数列. [证明] 假设数列{Sn}是等比数列,则 S22=S1S3, 即 a21(1+q)2=a1·a1(1+q+q2), 因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 所以数列{Sn}不是等比数列.
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