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精编高中数学北师大版必修四教学案:第一章 §7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质 Wo

精编北师大版数学资料 第 1 课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质 [核心必知] 1.正切函数 π (1)定义:如果角 α 满足:α ∈R,α ≠ +kπ (k∈Z),那么,角 α 的终边与单位圆交于 2 点 P(a,b),唯一确定比值 .根据函数的定义,比值 是角 α 的函数,我们把它叫作角 α 的正切 π 函数,记作 y=tan_α ,其中 α ∈R,α ≠ +kπ ,k∈Z. 2 sin x (2)与正弦、余弦函数的关系: =tan_x. cos x b a b a (3)三角函数:正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,它们统称为 三角函数. (4)正切值在各象限内的符号如图. 2.正切线 单位圆与 x 轴正半轴交于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线 AT,与角 α 的终边或其反向延长线交 于点 T.则称线段 AT 为角 α 的正切线.当角 α 的终边在 y 轴上时,角 α 的正切线不存在. 3.正切函数的图像和性质 函数 y=tan x 性质 图像 续表 函数 y=tan x 性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 π {x|x∈R 且 x≠kπ + ,k∈Z} 2 R 最小正周期为 T=π 奇函数 π π 在(kπ - ,kπ + )(k∈Z)上是增加 2 2 的 对称性 图像的对称中心( 单调性 kπ 2 ,0)k∈Z [问题思考] 1.你能描述正切曲线的特征吗? π 提示:正切曲线是被互相平行的直线 x=kπ + (k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的,是间 2 断的,它没有对称轴,只有对称中心. 2.正切曲线在整个定义域上都是增加的吗? π π 提示:不是.正切函数定义域是{x|x≠kπ + ,k∈Z},正切曲线在每一个开区间(kπ - , 2 2 kπ + )(k∈Z)上是增加的,它是周期函数,但在整个定义域上不是增加的. π 3.函数 y=|tan x|的周期是 吗? 2 提示:不是.y=|tan x|的周期仍为π . π 2 讲一讲 1.已知 tan α =2,利用三角函数的定义求 sin α 和 cos α . [尝试解答] 在 α 的终边上取一点 P(a,2a)且 a≠0, 则有 x=a,y=2a,r= a +4a = 5|a|. ∵tan α =2>0,∴α 在第一象限或第三象限. 当 α 在第一象限时,a>0,则 r= 5a. ∴sin α = = 2 2 y r 2a 5a = 2 5 x a 5 ,cos α = = = . 5 r 5a 5 当 α 在第三象限时,a<0,则 r=- 5a. ∴sin α = = y 2a 2 5 =- , r - 5a 5 x a 5 cos α = = =- . r - 5a 5 1.若 P(x,y)是角 α 终边上任一点,则 sin α = ,cos α = ,tan α = (x≠0),其中 r = x +y . 2.当角 α 的终边上的点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况及解题的需要对 参数进行分类讨论. 练一练 3 1.角 α 的终边经过点 P(-b,4)且 cos α =- ,求 tan α 的值. 5 解:由已知可知点 P 在第二象限,∴b>0. 3 b 3 ∵cos α =- ,∴- 2 =- ,解得 b=3, 5 5 b +16 4 tan α =- . 3 2 2 y r x r y x 讲一讲 2.画出函数 y=|tan x|的图像,并根据图像写出使 y≤1 的 x 的集合. [尝试解答] ∵y=|tan x|= ? ?tan x, ? ? ?-tan x, kπ ≤x<kπ + ,(k∈Z), kπ - <x<kπ ,(k∈Z), π 2 π 2 画出其图像,如图所示实线部分. π π 由图像可知 x 的集合为{x|kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z}. 4 4 1.三点两线画图法 π π ? π ? ?π ? “三点”是指?- ,-1?,(0,0),? ,1?;“两线”是指 x=- 和 x= .在三点、两 4 4 2 2 ? ? ? ? ? π π? 线确定的情况下,类似于五点法作图,可大致画出正切函数在?- , ?上的简图,然后向右、 ? 2 2? 向左扩展即可得到正切曲线. 2.如果由 y=f(x)的图像得到 y=f(|x|)及 y=|f(x)|的图像,可利用图像中的对称变换法 完成;即只需作出 y=f(x)(x≥0)的图像,令其关于 y 轴对称便可以得到 y=f(|x|)(x≤0)的图 像;同理只要作出 y=f(x)的图像,令图像“上不动下翻上”便可得到 y=|f(x)|的图像. 3.利用函数的图像可直观地研究函数的性质,如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等. 练一练 2.[多维思考] 根据讲 2 中函数 y=|tan x|的图像,讨论该函数的性质. π 解:(1)定义域:{x|x∈R,x≠ +kπ ,k∈Z}. 2 (2)值域:[0,+∞). (3)周期性:是周期函数,最小正周期为π . (4)奇偶性:图像关于 y 轴对称,函数是偶函数. (5)单调性: 在每一个区间(- π π ? ? +kπ , kπ ](k∈Z)上是减少的, 在每一个区间?kπ , +kπ ? 2 2 ? ? (k∈Z)上是增加的. (6)对称性:对称轴 x= kπ 2 ,k∈Z. 讲一讲 ?1 π ? 3.(1)求函数 y=tan? x- ?的单调区间. 4? ?2 21π 17π (2)比较 tan 与 tan 的大小. 4 5 π ? π ? [尝试解答] (1)∵y=tan x,在?- +kπ , +kπ ? 2 ? 2 ? π 1 π π (k∈Z)上是增加的,∴- +kπ < x- < +kπ ,k∈Z. 2 2 4 2 π 3π ∴2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z, 2 2 ?1 π ?


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