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高中数学第二章平面解析几何初步224点到直线的距离学案新人教B版必修2(数学教案)

2.2.4 点到直线的距离 [学习目标] 1.掌握点到直线的距离公式,会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距 离公式,并会求两平行线之间的距离. [知识链接] 1.已知点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两点间的距离|P1P2|= ?x2-x1? +?y2-y1? . 2.如图平面上点 P 到直线 l 的距离,是指从点 P 到直线 l 的垂线段的长度. 2 2 [预习导引] 1.点到直线的距离公式 点 P(x1,y1)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= |Ax1+By1+C| . A2+B2 2.两平行线间的距离 (1)求法:两平行线间的距离可转化为一条直线上一点到另一条直线的距离. |C1-C2| (2)结论:两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离为 d= 2 . A +B2 要点一 点到直线的距离 例 1 求点 P(3,-2)到下列直线的距离: 3 1 (1)y= x+ ;(2)y=6; 4 4 (3)x=4. 解 3 1 (1) 把 方 程 y = x + 写 成 3x - 4y + 1 = 0, 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 d = 4 4 |3×3-4×?-2?+1| 18 = . 2 2 5 3 +?-4? 1 (2) 方 法 一 把 方 程 y = 6 写 成 0·x + y - 6 = 0, 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 d = |0×3+?-2?-6| =8. 2 2 0 +1 方法二 因为直线 y=6 平行于 x 轴,所以 d=|6-(-2)|=8. (3)因为直线 x=4 平行于 y 轴,所以 d=|4-3|=1. 规律方法 1.求点到直线的距离,首先要把直线化成一般式方程,然后再套用点到直线的距离 公式. 2.当点与直线有特殊位置关系时,也可以用公式求解,但是这样会把问题变复杂了,要注意数 形结合. 3.几种特殊情况的点到直线的距离: (1)点 P0(x0,y0)到直线 y=a 的距离 d=|y0-a|; (2)点 P0(x0,y0)到直线 x=b 的距离 d=|x0-b|. 跟踪演练 1 若点(a,2)到直线 l:y=x-3 的距离是 1,则 a=________. 答案 5± 2 解析 直线 l:y=x-3 可变形为 x-y-3=0. 由点(a,2)到直线 l 的距离为 1,得 解得 a=5± 2. 要点二 两平行线间的距离 例 2 求两平行线 l1:2x-y-1=0 与 l2:4x-2y+3=0 之间的距离. 解 方法一 在直线 l1:2x-y-1=0 上任取一点,不妨取点 P(0,-1), 则点 P 到直线 l2:4x-2y+3=0 的距离为 |a-2-3| 1+?-1? 2 =1, d= |4×0+?-2?×?-1?+3| 5 = , 2 2 2 4 +?-2? 5 . 2 ∴l1 与 l2 间的距离为 3 方法二 将直线 l2 的方程化为 2x-y+ =0. 2 又 l1 的方程为 2x-y-1=0, 3 ∴C1=-1,C2= , 2 又 A=2,B=-1, 由两平行直线间的距离公式得:d= ?-1-3? ? 2? ? ? 2 +?-1? 2 2 = 5 . 2 规律方法 1.针对这个类型的题目一般有两种思路: 2 (1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直 线的距离. |C1-C2| (2)利用两条平行直线间距离公式 d= 2 . A +B2 2.当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时,可利用数形结合来解决. (1)两直线都与 x 轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2, 则 d=|x2-x1|; (2)两直线都与 y 轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2, 则 d=|y2-y1|. 跟踪演练 2 求与直线 l:5x-12y+6=0 平行且与直线 l 距离为 3 的直线方程. 解 ∵与 l 平行的直线方程为 5x-12y+b=0, 根据两平行直线间的距离公式得 解得 b=45 或 b=-33. 所以所求直线方程为 5x-12y+45=0 或 5x-12y-33=0. 要点三 距离公式的综合应用 例 3 已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点. (1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. ?2x+y-5=0 ? 解 方法一 联立? ?x-2y=0 ? |b-6| 5 +?-12? 2 2 =3, ? 交点 P(2,1), 当直线斜率存在时,设 l 的方程为 y-1=k(x-2), 即 kx-y+1-2k=0, ∴ |5k+1-2k| 4 =3,解得 k= , 2 3 k +1 4 ∴l 的方程为 y-1= (x-2), 3 即 4x-3y-5=0. 而直线斜率不存在时直线 x=2 也符合题意, 故所求 l 的方程为 4x-3y-5=0 或 x=2. 方法二 经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+λ (x-2y)=0, 即(2+λ )x+(1-2λ )y-5=0, 3 ∴ |5?2+λ ?-5| ?2+λ ? +?1-2λ ? 2 2 =3, 1 2 即 2λ -5λ +2=0,解得 λ =2 或 , 2 ∴l 的方程为 4x-3y-5=0 或 x=2. ?2x+y-5=0 ? (2)由? ?x-2y=0 ? , 解得交点 P(2,1), 过 P 任意作直线 l,设 d 为 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立), ∴dmax=|PA|= 10. 规律方法 数形结合、 运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我 们能直观观察到一些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范围. 跟踪演练 3 两条互相平行的直线分


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