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2014年高考数学理科分类汇编专题09


专题 9 圆锥曲线
1. 【2014 高考福建卷】设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最大 10

距离是( A. 5 2

) B. 46 ? 2 C. 7 ? 2 D. 6 2

[解析] 设圆心为点 C,则圆 x2+(y-6)2=2 的圆心为 C(0,6),半径 r= 2.设点 Q(x0,y0)是椭圆上任意一点,
2 x0 2 2 2 则 +y0 =1,即 x0 =10-10y0 , 10 2 2 ∴|CQ|= 10-10y2 0+(y0-6) = -9y0-12y0+46=

2 2 y0+ ? +50, -9? 3? ? 2+r=6 2.

2 当 y0=- 时,|CQ|有最大值 5 3

2,则 P,Q 两点间的最大距离为 5

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1 的( 2. 【2014 高考广东卷理】若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线 25 9 ? k 25 ? k 9
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等



[解析] 本题考查双曲线的几何性质,注意利用基本量的关系进行求解. ∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0. x2 y2 对于双曲线 - =1,其焦距为 2 25+9-k=2 34-k; 25 9-k x2 y2 对于双曲线 - =1,其焦距为 2 25-k+9=2 34-k.所以焦距相等. 25-k 9 3. 【2014 高考湖北卷理】 已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点, 且 ?F1PF2 ? 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A. ) D.2

?
3

,

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

[解析] 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,r1>r2,椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,椭圆、双曲线的离心 2 2 2 率分别为 e1,e2.则由椭圆、双曲线的定义,得 r1+r2=2a1,r1-r2=2a2,平方得 4a2 1=r1+r2+2r1r2,4a2= 2 2 2 2 2 2 2 2 r1-2r1r2+r2.又由余弦定理得 4c =r1+r2-r1r2,消去 r1r2,得 a1+3a2=4c , 1 1 ?2 ? 1 1 3 ?2 1 3 1 16 1 3 1 1 4 3 + =? + × ? ≤? 2+ 2??1+ ?= .所以 + ≤ 即 2+ 2=4.所以由柯西不等式得? .故选 A. ?e1 e2? ?e1 3 e2 ? ?e1 e2?? 3? 3 e1 e2 e1 e2 3 4. 【2014 高考湖南卷】如图 4,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a, b ? a ? b ? ,原点 O 为 AD 的中点, 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 经过 C , F 两点,则
2

b ? _____ . a

1

图 14

? ? ? ? ? ? 2 2 2 [解析] 依题意可得 C? ,-a?,F? +b,b?,代入抛物线方程得 a=p,b =2a? +b?,化简得 b -2ab-a ?2 ? ?2 ? ?2 ?
a a a
=0,即

b2 ?b? b -2? ?-1=0,解得 =1+ 2 a a ?a?

5. 【2014 江西高考理】过点 M (1,1) 作斜率为 ? 若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为

1 x2 y 2 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 2 a b
.
[来源:Zxxk.Com]

?a +b =1, [解析] 设点 A(x ,y ),点 B(x ,y ),点 M 是线段 AB 的中点,所以 x +x =2,y +y =2,且? x y ?a +b =1,
2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 1-x2 两式作差可得 2 = a 2 -(y2 (x1+x2)(x1-x2) -(y1+y2)(y1-y2) y1-y2 b2 1-y2) ,即 = ,所以 =- 2, 2 2 2 b a b a x1-x2

2 x1

y2 1

b2 1 b2 1 即 kAB=- 2.由题意可知,直线 AB 的斜率为- ,所以- 2=- ,即 a= 2b.又 a2=b2+c2, a 2 a 2 所以 c=b,e= 2 . 2
2

6. 【2014 辽宁高考理】已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限 相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. )

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 3

7. 【2014 辽宁高考理第 15 题】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点 9 4
.

的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? 10.D

p [解析] 因为抛物线 C:y2=2px 的准线为 x=- ,且点 A(-2,3)在准线上,所以 p=4.设直线 2 AB 的方程为 x+2=m(y-3),与抛物线方程 y2=8x 联立得到 y2-8my+24m+16=0,由题易知Δ =0,解得 8-0 1 m=- (舍)或者 m=2,这时 B 点的坐标为(8,8),而焦点 F 的坐标为(2,0),故直线 BF 的斜率 kBF= = 2 8-2 4 . 3
2

8. 【2014 全国 1 高考理】已知 F 为双曲线 C : x 2 ? my2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近 线的距离为( A. ) B. 3 C.

3

3m

D. 3m

[解析] 双曲线的一条渐近线的方程为 x+ my=0.根据双曲线方程得 a2=3m,b2=3,所以 c= 3m+3,双 | 3m+3| 曲线的右焦点坐标为( 3m+3,0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 = 3. 1+m 9. 【2014 全国 1 高考理】已知抛物线 C: y 2 ? 8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 得一个焦点,若 PF ? 4FQ ,则 QF ? ( A. )

7 2

B.

3

C.

5 2

D.

2

→ [解析] 由题知 F(2,0),设 P(-2,t),Q(x0,y0),则 FP=(-4,t),FQ=(x0-2,y0),由 FP=4FQ,得 -4=4(x0-2),解得 x0=1,根据抛物线定义得|QF|=x0+2=3. 10. 【2014 全国 2 高考理】 设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两点, O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( A. )

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4
2

y2 11. 【2014 高考安徽卷理】设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ? 2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交 b
椭圆 E 于 A, B 两点,若 AF 1 ? 3 BF 1 , AF 2 ? x 轴,则椭圆 E 的方程为__________ [解析]

设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= 1-b2, 则可设 A(c,b2),B(x0,y0),由|AF1|=3|F1B|,
?-2c=3x0+3c, ? → → 可得AF1=3F1B,故? 2 即 ? ?-b =3y0,

?x =-3c, 25(1-b ) 1 代入椭圆方程可得 + b =1,解得 b ? 9 9 1 ?y =-3b ,
0 2 2 0 2

5

2

2 3y2 = ,故椭圆方程为 x2+ =1. 3 2
3

12. 【2014 高考北京版理】设双曲线 C 经过点(2,2) ,且与 为 ;渐近线方程为 .

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的方程 4

y2 22 x2 y2 [解析] 设双曲线 C 的方程为 -x2=λ,将(2,2)代入得 -22=-3=λ,∴双曲线 C 的方程为 - =1. 4 4 3 12 y2 2 令 -x =0 得渐近线方程为 y=± 2x. 4 13. 【2014 江西高考理】 在平面直角坐标系中,A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点, 若以 AB 为直径的圆 C 与 直线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为( A. ? )

4 5

B. ?

3 4

C. (6 ? 2 5)?

D. ?

5 4

[解析] 由题意知,圆 C 必过点 O(0,0),故要使圆 C 的面积最小, 则点 O 到直线 l 的距离为圆 C 的直径, 4 2 4 即 2r= ,所以 r= ,所以 S= π . 5 5 5 14. 【2014 山东高考理】 已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1, ,双曲线 的方 程为 C 2 a2 b2 a 2 b2


C1 与 C2 的离心率之积为
A. x ? 2 y ? 0

3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2
C. x ? 2 y ? 0

B. 2 x ? y ? 0

D. 2 x ? y ? 0

[解析] 椭圆 C1 的离心率 e1= b?2 1-? ?a? ×

a2-b2 a2+b2 a2-b2 a2+b2 ,双曲线 C2 的离心率 e2= .由 e1e2= · = a a a a

2 b?2 3 ?b? =1,所以b= 2,所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y=± 2x.故选 A. 1+? = ,解得 ?a? 2 ?a? 2 a 2 2

15. 【2014 四川高考理】已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,
2

,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是( OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) A. 2 B. 3



C.

17 2 8

D. 10

1 ? → → 2 2 2 2 [解析] 由题意可知,F? ?4,0?.设 A(y1,y1),B(y2,y2),∴OA·OB=y1y2+y1y2=2, 解得 y1y2=1 或 y1y2=-2.又因为 A,B 两点位于 x 轴两侧,所以 y1y2<0,即 y1y2=-2. y1-y2 1 2 2 当 y2 (x-y2 2(x-y1)= 1≠y2时,AB 所在直线方程为 y-y1= 2 1), y1-y2 y1+y2 令 y=0,得 x=-y1y2=2,即直线 AB 过定点 C(2,0). 1 1 1 1 1 1 于 是 S △ ABO + S △ AFO = S △ ACO + S △ BCO + S △ AFO = × 2|y1| + × 2|y2| + × |y1| = (9|y1| + 8|y2|) ≥ × 2 2 2 4 8 8
4

2 2 9|y1|×8|y2|=3,当且仅当 9|y1|=8|y2|且 y1y2=-2 时,等号成立.当 y2 1=y2时,取 y1= 2,y2=- 2,则

1 1 1 17 2 17 2 AB 所在直线的方程为 x=2,此时求得 S△ABO+S△AFO=2× ×2× 2+ × × 2= ,而 >3 2 2 4 8 8 16. 【201 4 浙江高考理】设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )两条渐近线分别 a2 b2

交于点 A, B ,若点 P ( m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心率是__________ b [解析] 双曲线的渐近线为 y=± x,渐近线与直线 x-3y+m=0 a

? -am , bm ?,B? -am , -bm ?.设 AB 的中点为 D,由|PA|=|PB|知 AB 与 DP 垂直,则 的交点为 A? ? ? ? ?a+3b a+3b? ?a-3b a-3b? -a2m -3b2m ? ?,k =-3,解得 a2=4b2,故该双曲线的离心率是 5. , D? ? 2 ?(a+3b)(a-3b) (a+3b)(a-3b)? DP
17. 【2014 重庆高考理】设 F1,F2 分别为双曲线 点 P 使得 | PF1 | ? | PF2 |? 3b, | PF1 | ? | PF2 |? A.

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上存在一 a 2 b2
) D.3

4 3

B.

5 3

9 ab, 则该双曲线的离心率为( 4 9 C. 4

[解析] 不妨设 P 为双曲线右支上一点,根据双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=2a,联立|PF1|+|PF2|=3b,平方 9b2-4a2 9b2-4a2 9 b?2 b 4 c 相减得 |PF1| · |PF2| = ,则由题设条件,得 = ab ,整理得 = ,∴ e = = 1+? ?a? = 4 4 4 a 3 a 4?2 5 1+? ?3? =3. 18. 【2014 天津高考理】 已知双曲线

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y = 2 x + 10 , a 2 b2
) (C)

双曲线的一个焦点 在直线 l 上,则双曲线的方程为( (A)

x2 y 2 =1 5 20

(B)

x2 y 2 =1 20 5

3x 2 3 y 2 =1 25 100

(D)

3x 2 3 y 2 =1 100 25

b b [解析] 由题意知,双曲线的渐近线为 y=± x,∴ =2.∵双曲线的左焦点(-c,0)在直线 l 上,∴0=-2c+ a a x2 y2 10,∴c=5.又∵a +b =c ,∴a =5,b =20,∴双曲线的方程为 - =1. 5 20
2 2 2 2 2

5

19. 【2014 大纲高考理】已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 , 2 a b 3


过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 3 2

x2 ? y2 ? 1 B. 3

x2 y 2 ? ?1 C. 12 8

x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

[解析] 根据题意, 因为△AF1B 的周长为 4 3, 所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 3, c 3 x2 y2 所以 a= 3.又因为椭圆的离心率 e= = ,所以 c=1,b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆 C 的方程为 + a 3 3 2 =1. 20. 【2014 大纲高考理】已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F 1 、 F2 ,点 A 在 C 上,若 F 1A ? 2 F 2A , 则 cos ?AF2 F 1 ?( )

A.

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3

[来源:Zxxk.Com]

[解析] 根据题意,|F1A|-|F2A|=2a,因为|F1A|=2|F2A|,所以|F2A|=2a,|F1A|=4a.又因为双曲线的离心率 e c = = 2 , 所 以 c = 2a , |F1F2| = 2c = 4a , 所 以 在 △AF1F2 中 , 根 据 余 弦 定 理 可 得 cos ∠ AF2F1 = a |F1F2|2+|F2A|2-|F1A|2 = 2|F1F2|·|F2A| 16a2+4a2-16a2 1 = . 4 2×4a×2a 21. 【2014 高考安徽卷】 如图, 已知两条抛物线 E1 : y ? 2 p1 x? p1 ? 0? 和 E2 : y ? 2 p2 x? p2 ? 0?, 过原点 O
2 2

的两条直线 l1 和 l 2 , l1 与 E1 , E2 分别交于 A1 , A2 两点, l 2 与 E1 , E2 分别交于 B1 , B2 两点. (1)证明: A1B1 // A2 B2 ; (2)过原点 O 作直线 l (异于 l1 , l 2 )与 E1 , E2 分别交于 C1 , C 2 两点.记 ?A1B1C1 与 ?A2 B2C2 的面积分别为 S 1 与 S 2 ,求

S1 的值. S2

6

22. 【2014 高考北京理第 19 题】已知椭圆 C : x ? 2 y ? 4 .
2 2

(1)求椭圆 C 的离心率;
2 2 (2) 设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 y ? 2 上, 且 OA ? OB , 试判断直线 AB 与圆 x ? y ? 2

的位置关系,并证明你的结论. 23. 【2014 高考大纲理第 21 题】 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且

| QF |?

5 | PQ | . 4

(I)求 C 的方程; (II)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相较于 M,N 两点,且 A,M,B, N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 24. 【 2014 高 考 福 建 理 第 19 题 】 已 知 双 曲 线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 条 渐 近 线 分 别 为 a 2 b2

l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x .
(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别在第一, 四象限) ,且 ?OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公 共点的双曲线 E ?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

7

25. 【2014 高考广东理第 20 题】 已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 a 2 b2

?

5, 0 , 离心率为

?

5 . 3

(2)若动点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 26. 【2014 高考湖北理第 21 题】在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹为 C .
[来源:学科网]

(1)求轨迹为 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共 点时 k 的相应取值范围.
[来源:学科网 ZXXK]

27. 【2014 高考湖南理第 21 题】如图 7, O 为坐标原点,椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 a 2 b2

F1 , F2 , 离心率为 e1 ; 双曲线 C2 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 的 左右焦点 分别为 F3 , F4 , 离 心率为 e2 , 已知 e1e2 ? ,且 2 a b 2

F2 F4 ? 3 ? 1 .
(1)求 C1 , C2 的方程;

AB , M 为 AB 的中点 , 当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时 , 求四边形 (2) 过 F 1 点作 C1 的不垂直于 y 轴的弦

APBQ 面积的最小值.

8

28. 【2014 高考江苏第 18 题】如图:为保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC ,同时设立一个圆形保护 区,规划要求,新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古 桥两端 O 和 A 到该圆上任一点的距离均不少于 80 m ,经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于 点 O 正东方向 170 m 处, ( OC 为河岸) , tan ?BCO ? (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

4 . 3

29. 【2014 高考江苏第 17 题】如图在平面直角坐标系 xoy 中, F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

左右焦点, 顶点 B 的坐标是 (0, b) , 连接 BF2 并延长交椭圆于点 A , 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C , 连接 FC . 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; (2)若 FC ? AB ,求椭圆离心率 e 的值. 1

4 1 3 3

9

30. 【2014 高考江西理第 20 题】如图,已知双曲线 Cn

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点 F ,点 A, B 分别在 C 的 2 a

两条渐近线上, AF ? x 轴, AB ? OB, BF ∥OA ( O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P( x0, y0 )( y0 ? 0) 的直线 l : 点 N ,证明点 P 在 C 上移动时,

x0 x 3 ? y0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M ,与直线 x ? 相交于 2 2 a

MF 恒为定值,并 求此定值. NF

31. 【2014 高考辽宁理第 20 题】圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三
2 2

角形面积最小时,切点为 P(如图) ,双曲线 C1 : (1)求 C1 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a 2 b2

(2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为 直径的圆心过点 P,求 l 的方程.

10

32. 【2014 高考全国 1 第 20 题】已知点 A (0, 2) ,椭圆 E:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ;F 是椭圆 2 a b 2

E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 (I)求 E 的方程;

2 3 ,O 为坐标原点 3

(II)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点。当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的直线方程.
2 x2 y 33. 【2014 高考全国 2 第 20 题】设 F 1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点,M 是 C 上一点

a

b

且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率 ;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b.
2

[来源:学科网 ZXXK]

34. 【2014 高考山东卷第 21 题】已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意 一点, 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B , 交 x 轴的正半轴于点 D , 且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时,

?ADF 为正三角形.
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只 有一个公共点 E , (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 35. 【2014 高考陕西第 20 题】如图,曲线 C 由上半椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和部分抛物线 a 2 b2

C2 : y ? ?x2 ? 1( y ? 0) 连接而成, C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为
11

3 . 2

(1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点 A, B ) ,若 AP

? AQ ,求直线 l 的方程.

36【2014 高考上海理科第题】若抛物线 y2=2 px 的焦点与椭圆 线方程为___________.

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准 9 5

37. 【 2014 高考上海理科第 22 题】 在平面直角坐标系 xoy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点

P (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c). 若? <0 ,则称点 P1 , P2 被直线 l 分隔.若曲线 C i ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 记 ? ?
与直线 l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1,P 2 被直线 l 分隔, 则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.

1,2),B(? 1, 0) ⑴ 求证:点 A( 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔;
⑵ 若直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围;
2 2

⑶ 动点 M 到点 Q(0,2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 E,求证:通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是 E 的分割线. 38. 【2014 高考四川第 16 题】已知椭圆 C: 长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (i)证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; (ii)当

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4,其短轴的两个端点与 a 2 b2

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

x2 y 2 39. 【2014 高考天津第 18 题】设椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点为 F1 , F2 ,右顶点为 A ,上 a b

12

顶点为 B .已知 AB = (Ⅰ )求椭圆的离心率;

3 F1F2 . 2

(Ⅱ ) 设 P 为椭圆上异于其顶点的一点 , 以线段 PB 为直径的圆经过点 F 经过原点 O 的直线 l 与该圆相切, 1, 求直线 l 的斜率. 40. 【2014高考浙江理第21题】如图,设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0?, 动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 a 2 b2

P ,且点 P 在第一象限.
(1)已知直线 l 的斜率为 k ,用 a, b, k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b .

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