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数列高考知识点归纳(非常全!) - 含答案


数列高考知识点大扫描
第一节等差数列的概念、性质及前 n 项和

例 1.等差数列{an}中, a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 20 ,求 S20 [思路]等差数列前 n 项和公式 S n ?

(a1 ? an )n n(n ? 1) ? na1 ? d: 2 2

1、 由已知直接求 a1,公差 d. 2、 利用性质 m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq [解题 ] 由 a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 20 , a6 ? a15 ? a9 ? a12 ? a1 ? a20 ,得 2(a1 ? a20 ) ? 20 ,

? a1 ? a20 ? 10 ,? S n ?

(a1 ? a20 ) ? 20 ? 100 。 2

[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。
练习:

1.等差数列{an}满足 a1 ? a2 ? ? ? a101 ? 0 ,则有() A、

a1 ? a101 ? 0

B、

a2 ? a100 ? 0

C、

a3 ? a99 ? 0

D、

a51 ? 51

2.等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S13 。

3.等差数列{an}共 10 项, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 20 , an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 60 ,求 Sn. [思路] 已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想 Sn 公式推导方法。 [解题] 已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 20 , an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 60 , 又 4(a1 ? an ) ? 80 ,得 a1 ? an ? 20 ,? S n ?

(a1 ? an ) ? n 20 ? ?10 ? 100 , 2 2

[收获] 1、重视倒加法的应用,恰当运用通项性质: m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq ,快捷准确; 1、 求出 a1 ? an 后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。
4.等差数列{an}前 n 项和为 18 ,若 S3

? 1 , an ? an?1 ? an?2 ? 3 ,

求项数 n .

第 2 变已知前 n 项和及前 m 项和,如何求前 n+m 项和 [变题 2] 在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>n),求 Sn+m 的值。

[思路] [解题]

Sn , Sm , Sm?n 下标存在关系:m+n=m+n,
由 Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+??+am=b

这与通项性质 m ? n ?

p ? q ? am ? an ? a p ? aq 是否有关?

得 a n+1+an+2+??+am =b-a,

1



an ?1 ? am a ? am b ? a (m ? n) ? b ? a ,得 n ?1 ? 2 2 m?n
得 an+1+am=a1+am+n

由(n+1)+m=1+(n+m), 故 S m? n

?

a1 ? am ? n a ?a b?a (m ? n) ? n ?1 m (m ? n) ? (m ? n). 2 2 m?n
[请你试试 1——3]

1、在等差数列{an}中, S6 2、在等差数列{an}中, S3

? 15 , S9 ? 55 ,求 S15 。 ? 1 , S9 ? 3 ,求 S12 。

第 3 变已知已知前 n 项和及前 2n 项和,如何求前 3n 项和 [变题 3] [思路] [解题] 在等差数列{an}中, S10

? 20 , S20 ? 40 ,求 S30
? S10 , S30 ? S20 之间的关系。

由 S10 , S20 , S30 寻找 S10 , S20 设数列{an}公差为 d , ? S10

? a1 ? a2 ? ? ? a10 ,S20 ? S10 ? a11 ? a12 ? ? ? a20 ,S30 ? S20 ? a21 ? a22 ? ? ? a30 ,

?(S20 ? S10 ) ? S10 ? 10 ?10d , (S30 ? S20 ) ? (S20 ? S10 ) ? 10 ?10d ,
所 以

S1 ,0S ? 2S 0 10 , S ? S20 3

0成

等 差 数 列 , 公 差

100d

,

于 是

, 得 2S (2 0 ? 1 S0 ) ? S1 ? (S 3?02 S 0 0 )

S3 0 ? 3 (S 2?0 0 ? 10 S ) ? 3 ? 2 。
[ 收 获 ] 1 、 在 等 差 数 列 {an} 中 ,

6 0
成等差数列,即

S1 0, S 2 0 ? S10 , S 3? 0 S20

a1 ? a2 ?? ? a1 0, a1 1 ? a 1 2?? ? a 2, 0

,??,成等差数列,且 a2 1 ? a 2 2?? ? a 3 S30 ? 3(S20 ? S10 ) 。 0 3、 可推广为 S5n

? 5(S3n ? S2n ) , S7 n ? 7(S4n ? S3n ) ,??, S(2k ?1) n ? (2k ?1)[Skn ? S(k-1)n ] 。
[请你试试 1——4]

1、在等差数列{an}中, a1 ? a2 2、在等差数列{an}中, a1 ? a2 3、在等差数列{an}中, S10 4、数列{an}中, Sn

? 3 , a3 ? a4 ? 6 ,求 a7 ? a8 ? ? ? a10 ? 10 , a11 ? a12 ? ? ? a20 ? 20 ,求 a31 ? a32 ? ? ? a40

? 20 , S20 ? 30 ,求 S50 及 S100 。

? a , S2n ? b ,求 S3n 。 ? ? 75 ,求中间 k 项和 S中 。 ? 25 ,后 2k 项和 S2k

5、等差数列{an}共有 3k 项,前 2k 项和 S2k

第 4 变迁移变换重视 Sx=Ax2+Bx 的应用 [变题 4] 在等差数列{an}中,Sn=m,,Sm=n,(m>n),求 Sn+m 的值。

[思路] 等差数列前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,若所求问题与 a1 , d 无关时,常设为 S=An2+Bn 形式。 [解题] 由已知可设 Sn=An2+Bn=mSm=Am2+Bm=n , 2

两式相减,得 得 Sm?n

A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n ,又 m>n ,所以

A(n ? m) ? B ? ?1,

? A(m ? n)2 ? B(m ? n) ? (m ? n)[ A(m ? n) ? B] ? ?(m ? n) 。

[收获] “整体代换”设而不求,可以使解题过程优化。 [请你试试 1——5] 1、 在等差数列{an}中, S12 2、 在等差数列{an}中, Sm 3、 在等差数列{an}中, a1

? 84 , S20 ? 460 ,求 S32
,求 S m+n ? Sn ,(m ? n) ,

? 0 , S10 ? S15 ,求当 n 为何值时, Sn 有最大值
第 5 变归纳总结,发展提高

[题目] 在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>n),求 Sn+m 的值。 (仍以变题 2 为例) 除上面利用通项性质 m ? n ? 1、 基本量求解:

p ? q ? am ? an ? a p ? aq 求法外,还有多种方法。现列举例如下:

n(n ? 1) m(m ? 1) d ? a, S m ? ma 1 ? d ?b, 2 2 m ? n ?1 (m ? n)( m ? n ? 1) d ] ? a ? b , S m ? n ? (m ? n)a1 ? d 相减得 ( n ? m)[ a1 ? 2 2 (m ? n)( a ? b) 代入得 S m ? n ? 。 n?m
由 Sn

? na1 ?

2、利用等差数列前 x 项和公式 Sx=Ax2+Bx 求解 由 Sx=Ax2+Bx,得 两式相减,得 即 Sn=An2+Bn,Sm=Am2+Bm A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b

A(n ? m) ? B ?

a ?b n?m 2 ( a ? b) 故 S m ? n ? A(m ? n) ? B ( m ? n) ? n?m n?m

3、利用关系式

Sn ? An ? B 求解 n
与 n 成线性关系,从而点集{(n,



Sn S ? An ? B 知 n n n
Sm m

Sn n

)}中的点共线,即(n,

Sn n

),

(m, 化简,

sn sm sm?n sn sm ? n a a b ? ? ? ? Sm?n n m m ? n n n m m ? n n ),(m+n, )共线,则有 ,即 ? ? m?n n?m m?n?n n?m m n ma ? nb na ? nb n?m sm ? n ? ?a ? ( a ? b) . 得 ,即 sm ? n ? m?n n?m n?m n?m
Sn n Sm m



4、利用定比分点坐标公式求解
? Sm?n AP m?n?n m )三点共线,将点 P 看作有向线段 AB 的定比分点,则 ? ? ? ? ?? , m?n n PB m ? (m ? n)
?

由 A(n,

),B(m,

),P(m+n,

3

sn m s a b ? (? ) m ? sm ? n n n m n n ? a ?b , 可得 ? ? m m m?n n?m 1 ? (? ) 1? n n n?m ( a ? b) . 即 sm ? n ? n?m
[请你试试 1——6] 若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S2=3,S6=4,则 S12______. 第二节等比数列的概念、性质及前 n 项和 题根二等比数列{an} , a5

? 4, a7 ? 6 ,

求 a9 。

[思路] 1、由已知条件联立,求,从而得 2、由等比数列性质,知成等比数列。 [解题 1] 由 a5

? a1q4 ? 4, a7 ? a1q6 ? 9 ,
?

两式相除,得 q

2

?

3 3 2 ,? a9 ? a7 q ? 6 ? ? 9 。 2 2

[解题 2] 由 a5 , a7 , a9 成等比,得 a9

a7 2 62 ? ? 9。 a5 4

[收获] 1、灵活应用性质,是简便解题的基础; 2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列。 [请你试试 2 ——1]

等比数列{an} , a1

? 0, q ? 2 ,若 a1 ? a2 ? a3 ?? a30 ? 230 ,则 a3 ? a6 ? a9 ?? a30 ? _______。

第 1 变连续若干项之和构成的数列仍成等比数列 [变题 2] 等比数列{an} , a1 ? a2

? a3 ? 2, a4 ? a5 ? a6 ? 6 ,求 a10 ? a11 ? a12 。

[思路] 等比数列中,连续若干项的和成等比数列。 [解题] 设 b1

? a1 ? a2 ? a3 , b2 ? a4 ? a5 ? a6 ,??, b4 ? a10 ? a11 ? a12 , ? 2, q ? 3 ,?b4 ? b1q3 ? 2 ? 33 ? 54 ,即 a10 ? a11 ? a12 ? 54 。
? ?1 时, Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ,??成等比数列,但总有 Sk ? (S3k ? S2k ) ? (S2k ? Sk )2 。当 k 为

则 {bn } 是等比数列, b1

[收获] 等比数列{an} , q 偶数时, q
k

? 0 恒成立。
[请你试试 2——2]

1、等比数列{an} , q 2、等比数列{an} , q

? ?1 时, S2 ? 2, S4 ? 6 ,求 S6 。 ? ?1 时, S2 ? 1, S6 ? 21 ,求 S4 。
4

第2变

S3 , S9 , S6 成等差,则 a3 , a9 , a6 成等差

[变题 3] 等比数列{an} 中, S3 , S9 , S6 成等差,则 a3 , a9 , a6 成等差。 [思路]

S3 , S9 , S6 成等差,得 S3 ? S6 ? 2S9 ,要证 a3 , a9 , a6 等差,只需证 a3 ? a6 ? 2a9 。
? S6 ? 2S9 ,
, 由 a1

[解题]由 S3 , S9 , S6 成等差,得 S3 当 q=1 时, S3

? 3a1 , S6 ? 6a1 , S9 ? 9a1

? 0 得 S3 ? S6 ? 2S9 ,? q ? 1 。

a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q9 ) 由 S3 ? S6 ? 2S9 ,得 , ? ? 1? q 1? q 1? q
整理得 q
3

? q6 ? 2q9 ,? q ? 0 ,得 1 ? q3 ? 2q6 , ? a6 ? 2a9 ,即 a3 , a9 , a6 成等差。

两边同乘以 a3 ,得 a3

[收获] 1、等比数列{an} 中, S3 , S9 , S6 成等差,则 a2 , a8 , a5 成等差。 2、等比数列{an} 中, Sn , Sm , Sk 成等差,则 an?d , am? d , ak ? d (其中 m ? d , n ? d , k ? d ? N 3、等比数列{an} 中, an , am , ak 成等差,则 an?d , am? d , ak ? d (其中 m ? d , n ? d , k ? d ? N
*

, d ? Z )成等差

*

, d ? Z )成等差。

[请你试试 2——3] 1、 等比数列{an} , q

? 1 , a3 , a5 , a6 成等差,求 a11 ? (a9 ? a10 ) 的值。

2、等比数列{an} , a1 , a7 , a4 成等差,求证 2S3 , S6 , S12

? S6 成等比。

第3变

{Sn } 是等比, {an } 也是等比数列 ? 0 且 S1 , S2 ,?, Sn ,? ,是等比数列,公比 q ( q ? 1 ),求证 {an } ( n ? 2 )
an an ?1
为常数。 也是等比数列。

[变题 4]数列 {an } 中, a1

[思路]

? an ? Sn ? Sn?1 ,欲证 {an } 为等比数列,只需证 ? an ? Sn ? Sn?1 , an?1 ? Sn?1 ? Sn

[解题]

, (

n ? 2 ),



an ?1 Sn ?1 ? Sn ? an Sn ? Sn ?1

,而

Sn ? Sn?1 ? q , Sn?1 ? Sn?1 ? q2 ,

?

an?1 Sn?1 ? q(q ? 1) ( n ? 2 ), ? ?q, an Sn?1 (q ? 1)

故 {an } 从第二项起,构成等比数列,公比为 q 。

第 4 变等比数列在分期付款问题中应用 问题顾客购买一售价为 5000 元的商品时,采用分期付款方法,每期付款数相同,购买后 1 个月付款一次,到第 12 次付款后全部 付清。如果月利润为 0.8%,每月利息按复利计算,那么每期应付款多少?(精确到 1 元) 分析一:设每期应付款 x 元,则 5

第 1 次付款后,还欠

5000(1+0.8%)-x(元)

第 2 次付款后,还欠[5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元) 第 3 次付款后,还欠{5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元) ???? 最后一次付款后,款已全部还清,则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x(1+0.8%)10-??-x(1+0.8%)-x=0, 移项 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+??+x(1+0.8%)+x,即 x ?

1 ? 1.00812 ? 5000 ?1.00812 1 ? 1.008

算得 x

?

5000 ?1.00812 ? (1.008 ? 1) ? 438.6 (元) 1.00812 ? 1
m n

一般地,购买一件售价为 a 元的商品,采用分期付款时,要求在 m 个月内将款还至 b 元,月利润为 p,分 n(n 是 m 的约数)次

付款,那么每次付款数计算公式为 x

?

[a(1 ? p) ? b][(1 ? p) ? 1] . (1 ? p)m ? 1
m

分析二:设每月还款 x 元,将商家的 5000 元折算成 12 个月后的钱要计算 12 个月的利息,而顾客第一次还的钱也应计算 11 个月 的利息,第二次还的钱应计算 10 月的利息??,于是得方程 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+??+x(1+0.8%)+x,解得 x 分析三:设每次还款 x 元,把还款折成现在的钱,可得

? 438.6 (元)

5000 ?

x x x ? ??? 2 1 ? 0.8% (1 ? 0.8%) (1 ? 0.8%)11

,解得 x

? 438.6 (元) 。

将上述方法应用到其他实际问题中,如木材砍伐,人口增长等。 [请你试试 2——4] 某地现有居民住房的总面积为 a m2,其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况 下, 仍以 10%的住房增长率建设新住房。 如果 10 年后该地的住房总面积正好比目前翻一番, 那么每年应拆除的旧住房总面积 x 是多少? (取 1.110 为 2.6) 第三节常见数列的通项及前 n 项和 [题根 3] 求分数数列

1 1 1 , , ,? 的前 n 项和 Sn 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

[思路] 写出数列通项公式,分析数列特点:分母中两因数之差为常数 1。 [解题] 数列通项公式 an

?

1 1 1 ,亦可表示为 an ? ? , n n ?1 n(n ? 1)

所以 S n [收获]

1 1 1 1 1 1 n ? 1? ? ? ?? ? ?1? ? 。 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

将数列每一项裂为两项的差,再相加,使得正负抵消。 第 1 变分母中两因数之差由常数 1 由到 d

[变题 1]

求分数数列

1 1 1 , , ,? 的前 n 项和 Sn 。 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

[思路] 写出通项公式,裂项求和。 , [解题]

? an ?

1 1 ? 1 1 ? ? ?? ? ?, (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
6

1 ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? n 。 ? Sn ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2 ? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1
[收获]1、求分数数列的前 n 项和 Sn 时,将数列每一项裂为两项的差,称裂项法。 2、用裂项法可求解: (1) 若 {an } 为等差数列, an

? 0, k ? 1, 2,? ,公差为 d,则
.

1 1 1 1 n ? ? ?? ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a4 an ? an?1 a1 ? an?1

3、常见裂项法求和有两种类型:分式型和根式型。如分式型 an

?

1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ?; n(n ? 3) 3 ? n n ? 3 ?
。 另 外 还 有 : nn!=(n+1)!-n! ,

根式型

an ?
m

1 ? n ?1 ? n
m

n? 1 ?

n;

1 1 ? ( a ? b) a ? b a ?b

C

m ?1 n

? C n ?1 ? C n



[请你试试 1、求分数数列

3——1]

1 1 1 1 , , , ,? 的前 n 项和 Sn 2 6 12 20 1 1 1 1 , 2 , 2 , 2 ,? 的前 n 项和 Sn 。 2、求分数数列 2 1 ? 2 2 ? 4 3 ?6 4 ?8 8 ?1 8 ? 2 8 ? 3 8 ? 4 2、 求分数数列 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 ,? 的前 n 项和 Sn 。 1 ?3 3 ?5 5 ?7 7 ?9
第 2 变分母中因数由 2 到 3 [变题 2] 求分数数列

1 1 1 , , ,? 的前 n 项和 Sn 。 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5

[思路] 数列中的项的变化:分母因数由两个变为三个,是否还可裂项呢? [解题] 由 an

?

? 1 1 ? 1 1 , ? ?? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ?

得? S n

? 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? )?( ? ) ??? ? 2 ? 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ?

? 1 ? 1 1 n(n ? 3) 。 ? ?? ? ?? 2 ? 1? 2 (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)(n ? 2)
[收获] 1、分母为连续三因数的积,仍拆为两项的差,再相加,使得正负抵消。 2、对于公差为 d ( d

? 0 )的等差数列 {an }

,有

1 1 1 1 ? ?( ? ) a1 ? a2 ? ak (k ? 1)d a1 ? a2 ? ak ?1 a2 ? a3 ? ak

.

[请你试试

3——2] 7

1 1 1 , , , ??的前 n 项和 Sn 。 1? 3 ? 5 3 ? 5 ? 7 5 ? 7 ? 9 1 1 1 , , , ??的前 n 项和 Sn 。 2、求分数数列 1? 2 ? 3 ? 4 2 ? 3 ? 4 ? 5 3 ? 4 ? 5 ? 6
1、求分数数列 3、求分数数列

1
3 3

C C C
4

,

1
3

,

1
3 5

,?,

1

C

3 n

,? ??的前 n 项和 Sn 。

第 3 变由分数数列到幂数列 [变题 3] 求数列 1
2

, 22 ,32 , ??的前 n 项和 Sn 。
3

[思路] 利用恒等式 (k ? 1) [解题] 由恒等式 (k ? 1)
3

? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1 ,取 k=1,2,3,??,相加正负抵消可解。

? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1

取 k=1、2、3??,得

23 ? 13 ? 3 ?12 ? 3 ?1 ? 1 33 ? 23 ? 3 ? 22 ? 3 ? 2 ? 1
????

(n ? 1)3 ? n3 ? 3n2 ? 3n ? 1
各式相加得 (n ? 1)
3

?13 ? 3(12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? 3(1 ? 2 ? ?? n) ? n

得 Sn

1 1? n(n ? 1) ? ? 12 ? 22 ? ? ? n2 ? [(n ? 1)3 ? 3(1 ? 2 ? ? ? n) ? n ? 1] ? ?(n ? 1)3 ? 3 ? ? n ? 1? 3 3? 2 ?
1 n(n ? 1)(2n ? 1) 。 6

?

[收获]

? n(n ? 1) ? 利用恒等式 (k ? 1) ? k ? 4k ? 6k ? 4k ? 1 ,类似可得 Sn ? 1 ? 2 ? ?? n ? ? ? 2 ? ?
4 4 3 2

2

3

3

3



注意:正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。 [请你试试 3——3] 求和(1) Sn
3 3 3 3 3 3 (2) Sn ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ?1) , (3) Sn ? 2 ? 4 ? ?? (2n) 。 ? 22 ? 42 ??? (2n)2 ,

第 4 变由幂数列到积数列 [变题 4] 求数列 1? 2, 2 ? 3,3 ? 4, ??的前 n 项和 Sn 。 [思路 1]写通项公式,由通项特征求解。 [解题 1]? an

? n(n ? 1) ? n2 ? n ,

?Sn ? (12 ?1) ? (22 ? 2) ? ?? (n2 ? n) ? (12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)
8

1 n(n ? 1) 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 。 6 2 3 1 [思路 2] 利用 an ? n(n ? 1) ? ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ( n ? 1) n( n ? 1) ? 裂项相加。 3 1 [解题 2] 由 an ? n(n ? 1) ? ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ( n ? 1) n( n ? 1) ? 3 ?
得 Sn

? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3? 4 ? ?? n(n ? 1)

1 ?(1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2) ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) ? ? ? n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1) ? 3 1 ? n(n ? 1)(n ? 2) 。 3 ?
[收获] 对于通项为两因数的积,可推广到通项为 k 个因数的积,如求数列 1? 2 ? 3? k , 2 ? 3?(k ? 1),3 ? 4?(k ? 2), ??的前 项和 Sn 。 由 an

? n ? (n ? 1) ?? (n ? k ? 1) ?

1 [n(n ? 1)? (n ? k ) ? (n ? 1)n ? (n ? k ? 1)], 将每一项裂为两项的差,相加即 k ?1

可正负抵消。 [思路 3] 联想组合数公式,可见 [解题 3] 由 an

C

2 n

?

1 n(n ? 1) ,利用组合数性质可得。 2

1 2 2 2 2 2 ? n(n ? 1) ? 2C n ,得 S n ? 2(C 2 ? C 3 ? ? ? C n ?1) ? 2C n ? 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) 。 3
[请你试试 3——4]

求数列 1? 2 ? 3, 2 ? 3 ? 4,3 ? 4 ? 5, ??的前 n 项和 Sn 。

第 4 变由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列

[变题 5]

? 10 ? 2 在数列 {an } 中, an ? (n ? 1) ? ? (1)分别求出 an?1 ? an ? 0 和 an?1 ? an ? 0 的 n 取值范围; (2)求 ? ? n ? n, 11 ? ?
数列最大项; (3)求数列前 n 项和 Sn 。

n

[思路]

1、解正整数不等式,2、利用函数单调性,3、利用错位相消法。

[解题] (1)由 an?1 ? an 当 n<9 时, an?1 ? an

? 10 ? ? (n ? 2) ? ? ? ? 11 ?

n ?1

? 10 ? 9 ? n ? 10 ? ? (n ? 1) ? ? ? ? ?? ? 11 ? 11 ? ? 11 ?

n

n

,当 n<9 时, an?1 ? an

? 0 ,即 an?1 ? an ;

? 0 ,即 an?1 ? an 。
9 9

(2)

9 ? 9 ? 10 ? ? 10 ? 当 n=9 时, a10 ? a9 ? ? ? ? ? 0 ,? a9 ? a10 ? 10 ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ? 10 ? 10 ? ? 10 ? 设 Sn ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ?
2 n

是数列的最大项。

(3)

????(1)

9

10 ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 则 Sn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?
2 3 n

2

3

n ?1

????(2)

1 10 ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 120 ? 10 ? 相减得 Sn ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? ? ? (n ? 12) ? ? ? 11 11 ? 11 ? ? 11 ? 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?
[请你试试 3——5] 1、 求数列 {n ? 2 2、 求和 Sn 3、 求和 S n
n

n

n



} ??的前 n 项和 Sn 。

? 1 ? 3x ? 5x2 ? 7 x3 ??? (2n ?1) xn?1 。
? 1 3 5 2n ? 1 ? ? ??? n 。 2n 4n 8n 2 ?n

4、 已知数列 {an } , a1

a ? ?1, an ? 2n ? 3 数列 {bn } , b1 ? 4, bn ? 2n?1 ,求数列 { n } 的前 n 项和 Sn 。 bn

第四节递推数列的通项公式及前 n 项和 1、利用不动点求数列通项 [题根三]数列 {an } 满足 a1

? 1 , an?1 ? 2an ? 1 ,求通项公式 an 。

[思路] 1、写出 a1 , a2 , a3 , a4 ? ,由不完全归纳法得 an 表达式。 2、构造新数列,转化成等比数列求解。 [解题] 在的 an?1 得 an [收获]

? 2an ? 1 两边加 1,则数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

? 1 ? 2 ? 2n?1 ,即 an ? 2 ? 2n?1 ?1 ? 2n ?1 即为所求。

an?1 ? pan ? q( p ? 1) 型递推数列,当 p=1 时,数列为等差数列;当 q ? 0, p ? 0 时,数列为等比数列。下面给出 p ? 1 时递

推式的通项公式的求法: 方 法 1 、因 为

p ? 1, 所 以 一 定存 在 ? 满 足 ? ? p? ? q

,从而得 ?

?

q 1? p

, 此 为 函数

f ( x) ? px ? q 的 不 动 点 。 由

n?1 得 {an ? ?} 是首项为 a1 ? ? , 公比为 p 的等比数列, 于是 an ? ? ? (a1 ? ? ) p , an?1 ? ? ? pan ? q ?( p ? ?q ) ?p (a ? ), n ?

即 an

? ? ? (a1 ? ? ) pn?1 ,将 ? ?

q q q ? (a1 ? ) p n?1. ??????(I) 代入上式,得通项公式为 an ? 1? p 1? p 1? p
,则 bn

方法 2、由 an?1

? pan ? q , an ? pan?1 ? q ,得 an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ,令 bn ? an ?1 ?an
n ?1

? pbn?1 ,则 {bn } 是

b1 (1 ? p n ?1 ) 首项为 b1 ,公比为 q 的等比数列,得 an ? a1 ? ? bk ? a1 ? 1? p k ?1 ? a1 ? (a2 ? a1 )(1 ? p n?1 ) ;当 n=1 时,(*)式也成立。 (n ? 2) (*) 1? p
[请你试试 4——1] 10

数列 {an } 满足 a1

? 9 , 3an?1 ? an ? 4 ,求 an 。
? 1 , an ?1 ?
2an 求通项公式 an 。 2an ? 1

[变题 1]数列 {an } 满足 a1

[思路] 常见解法:先求数列 ?

?1? ? 的通项公式 ? an ?
n ?1

1 1 1 1 ?1? [解题]由将已知关系式取倒数得 ? ? ? 1 ,由(#)式得 ? 2 ? ? ? an an?1 2 an ?2?
[收获]

,所以 an

?

1 2 ? 21? n



an ?1 ?

pan 型递推数列的通项公式的求法: ran ? s


令x

?

px p?s 1 1 s 1 r ,得 x1 ? 0 或 x2 ? 为两不动点。由于 ? ? ? ? rx ? s r an?1 ? x1 an ?1 p an p

设 bn

?

s r 1 1 ? bn ? , , 则 bn ?1 ? 此为 an?1 ? pan ? q( p ? 1) 模型。 同样, p p an an ?1 ? x2
1 1 1 r ? ? ? , an ?1 ? x1 an ?1 an p
设 bn

也可化为 an?1

? pan ? q( p ? 1)

模型,由(I)式可求得 an 。更为特殊的是 p=s 时,

?

1 则数列 {bn } 是等差数列。我们常取 an

an ?1 ?

pan 的倒数求解,原因恰是为此。 ran ? p
? 3 3nan?1 , an ? (n ? 2, n ? N * ) 求通项公式 an 。 2 2an?1 ? n ? 1

[变题 2](06 年江西理第 22 题)数列 {an } 满足 a1

[解答]

an ?

1 2 1 1 3 2 3nan?1 n 1 n ?1 2 ? bn ? 1 ? ? (bn ?1 ? ) , 即 bn ? ? bn ?1 ? 又 a1 ? , 得 b1 ? ? 1 , ? ? ? ? , 3 3 3 3 2 3 2an?1 ? n ? 1 an 3 an?1 3
n ?1

2 ?1? 所以 bn ? ( ? 1) ? ? ? 3 ? 3?
f ( x) ?

n ? 3n ,得 an ? n 。 3 ?1
[请你试试 4——2]

函数

x * , 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) , (n ? N ) , ( 1 ) 求 {an } 的 通 项 公 式 an 3x ? 1
,求 Sn 。 1

; (2)设

Sn ? a ? ?a 1 ?a 2 ? a 2 ?a 3 ? n ?a n ?
[变题 2]数列 {an } 中, a1

? 0, an ?

an?1 ? 4 ,(n ? 2) ,求 an an?1 ? 2

[思路 1] 令 x

?

x?4 x?2

,得 x1

?a ? 4? ? 4, x2 ? ?1 ,即两不动点,可得 ? n ?1 ? 是等比数列, ? an ?1 ? 1 ?

11

[解法 1]由 an

?4 ?

an?1 ? 4 ?3an?1 ? 12 3(an?1 ? 4) , ?4 ? ?? an?1 ? 2 an?1 ? 2 an?1 ? 2 3bn ?1 ????????(a an ?1 ? 2


令 bn

? an ? 4 ,则 bn ? ?

由 an

?1 ?

an?1 ? 4 2(an?1 ? 1) , ?1 ? an?1 ? 2 an?1 ? 2 2cn ?1 ????????(b) an ?1 ? 2

令 cn

? an ? 1 ,则 cn ?

(a) 式除以(b)式得

?b ? bn b a ?4 3 b ? ? ? n ?1 ,即 ? n ? 是首项为 1 ? 1 ? ?4, c a ? 1 cn 2 cn ?1 c 1 1 ? n?
n ?1

公比为 ?

3 b ? 3? 的等比数列,? n ? ?4 ? ? ? ? 2 cn ? 2?
n ?1

?

an ? 4 , an ? 1

? 3? ?4 ? ? ? ? 4 20 ? 2? ? an ? ? 4? . n ?1 n ?1 ? 3? ? 2? 4 ?? ? ? ?1 4??? ? ? 2? ? 3?
[思路 2]

1 1 和 均可化为 an?1 ? pan ? q( p ? 1) 型递推式, an ?1 ? x1 an ?1 ? x2 a ?2 1 2 1 ? ? n?1 ?? ? . an ? 4 3(an?1 ? 4) 3(an?1 ? 4) 3

[解法 2]由

令 bn

?

2 1 1 ,则 bn ? ? bn ?1 ? ,由(I)式得 3 3 an ? 4

n ?1 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 1 ? 2? 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? ? bn ? ??? ? ? ? ? 5 20 ? 3 ? an ? 4 2 ? 4 2? ? 1? 1? ? ? 3 ? 3 ? 3?

?

所以 an

? 4?

1 1 1 ? 2? ? ? ?? ? 5 20 ? 3 ?
n ?1

? 4?

20 ? 2? 4??? ? ? 3?
n ?1

.

[解法 3]由

1 3 1 1 ?? ? ? ,亦可求得 an ? 4 ? an ? 1 2 an?1 ? 1 2

20 ? 2? 4??? ? ? 3?
n ?1

.

[收获] 求解 an ?1

?

pan ? q 型递推数列的通项公式的方法: ran ? s

12



x?

px ? q rx ? s

,设其两根为

?a ? x ? 1 x1 , x2 即两不动点 。于是 ? n ?1 1 ? 是等比数列,并且 an ?1 ? x1 ? an?1 ? x2 ?



1 an ?1 ? x2

均可化为

an?1 ? pan ? q( p ? 1)型递推式。
[请你试试 4——3] 写出解法 3 的详细过程。 [变题 3] 设数列 {an } 前 n 项和为 Sn

? 4an ? 3n ? 2 ,求 an 及 Sn 。

[思路] 将已知关系中 Sn 的化为 an ,再进一步变形。 [解题] 由 Sn

1 ? 4an ? 3n ? 2 ,得 a1 ? 4a1 ?1,即 a1 ? . 3 4 an ?1 ? 1 . 3

an ? Sn ? Sn?1 ? 4an ? 3n ? 2 ? [4an?1 ? 3(n ?1) ? 2] ? 4an ? 4an?1 ? 3,得 an ?
这是 an

? pan?1 ? q 型递推式,由(#)式得

? ? n ?1 ?1 1 ? ?4? 4n?1 an ? ?? ? ? ? ? ? ?3 ? 10 ? n . ? 4 ?3 4 3 1? 1? ? ? 3 ? 3 ? 3? 1
? 4? ? Sn ? 4an ? 3n ? 2 ? ?10 ? 10 ? ? ? 3n. ? 3?
第 1 变递推式 an?1 2、累积错位相消法求数列通项 [变题 4]数列 {an } 满足 a1
n

? f (n)an

? 1 , an?1 ? 2n an ,求通项公式 an 。

[思路] 观察 a1 与 a2 、 a2 与 a3 存在的关系,思考解题方法。 [解题]

? a2 ? 2a1 , a3 ? 2a2 , a4 ? 2a3 ,??, an ? 2an?1 ,各式相乘得 an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 。 ? f (n)an 型递推式,通项公式求解方法如下:

[收获] 1、若 f(n)为常数, 则 {an } 为等比数列。2、 an?1

an a a ? f (n ? 1), n?1 ? f (n ? 2),? 2 ? f (1). an?1 an?2 a1
各式两边分别相乘,得 an 当 n=1 时, (II)仍成立 [变题 5]在数列 {an } 中, a1

? a1 f (1) f (2)? f (n ?1), ???????????(II)

? 1, nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ?an ) ,
? 4an?1 an 2 an? 2 2
,求 {bn } 的前 n 项和 Sn 。

(1 )

求 {an } 通项公式(2)令 bn

[思路] 将题中递推式转化、归类,再求解。 13

[解题] (1)将题中递推式转化为:

nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ?an ) ? 2(a1 ? a2 ? ?? an?1 ) ? 2an ? (n ?1)an ? 2an .
即 an ?1

?

n ?1 an n

.由 (II)式得 {an } 通项公式 an

2 3 n ? a1 ? ? ? ? n. 1 2 n ?1

(2) 由 {an } ? n ,得 bn

?
n

4an?1 4(n ? 1) 1 1 ? 2 ? 2? . 2 2 2 an an? 2 n (n ? 2) n (n ? 2)2
n

所以数列 {bn } 前 n 项和: Sn

? ? bk ? ? [
k ?1 k ?1

1 1 ? ] 2 k (k ? 2)2

1 1 1 1 1 1 1 5 2n 2 ? 6 n ? 5 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ??? ? ? ? ? ? . 3 2 4 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n2 (n ? 2)2 4 (n ? 1)2 ? (n ? 2) 2
第2变 3、累加错位相消法求数列通项 [变题 6] 已知数列 {an } 中, a1

an?1 ? an ? f (n) 型递推数列
? 1 , an ?1 ? an ?

1 , (n ? 1)n

求 {an } 的通项公式。

[思路] 将题中递推式变形 an ?1

? an ? ? an ?

1 1 ? ,利用错位相消法。 n ?1 n 1 1 ? , n ?1 n ? an ?1 ? 1 1 ? n ? 2 n ?1

解将题中递推式表示为: an ?1

于是 a2

? a1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 , a3 ? a2 ? ? , a4 ? a3 ? ? ,??, an 2 2 3 3 4

各式相加得 (a2 得 an

? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? an ? a1,

1 1 1 1 1 1 1 ? a1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 3 4 n ? 2 n ?1 1 1 ? 1?1? ? 2? 即为所求通项公式。 n ?1 n ?1

[收获] 对于数列 {an } ,设 bn

? an?1 ? an , n ? 1,2,? 则称数列 {bn } 是 {an } 差数列,则
n ?1

b1 ? b2 ? ?? bn?1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? an ? a1, 得 an ? a1 ? ? bk .
k ?1

所以 {an } 的通项公式为 an

? a1 ? ? f (k ), (n ? 2) ????(III).
k ?1

n ?1

当 n=1 时,也满足(III)式。

[变题 7] 在数列 {an } 中, a1 [思路] 题中关系式不是 an?1

? 2 , nan?1 ? (n ? 1)an

, 求 {an } 通项公式。

? an ? f (n) 型的递推式,但两边同除以 n(n+1),经过变量替换,可化为 an?1 ? an ? f (n) 型递推式。
14

[解题]在递推式 nan?1

? (n ? 1)an 两边同除以 n(n+1),得
? bn ?

an?1 an 1 ? ? n ? 1 n n(n ? 1)

令 bn

?

an n

得 bn ?1

a1 1 ? 2 。由(III)式得 bn 表达式为: , b1 ? 1 n(n ? 1)

bn ? b1 ? ?

n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 3? . ? b1 ? ? ( ? ) ? 2 ? (1 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n n k ?1 k ?1 k (k ? 1) k ?1 k

n ?1

于是 {an } 通项公式为 an

1 ? nbn ? n(3 ? ) ? 3n ? 1. n

[请你试试 4——4] 求数列 1、4、11、26、57、120、??,的通项公式。

第3变

an?1 ? pan ? q(n) 型递推数列

4、两边同除以 [变题 8]

pn?1 ,经过变量替换,化为 an?1 ? an ? f (n) 型递推式 ? 2 , an?1 ? 2an ? 2n ? 3 ,求 an 。
,经过变量替换,可化为 an?1

数列 {an } 满足 a1

[思路] 递推式两边同除以 2 [解题]在 an?1 令 bn

n ?1

? an ? f (n) 型递推式。

? 2an ? 2n ? 3 两边同除以 2 n ?1 ,得
? bn ?

an ?1 an 2n ? 3 ? ? n ?1 2n ?1 2n 2

?

an 2n

,则 bn ?1
n ?1

2n ? 3 ,此为模型 an ?1 2n ?1

? an ? f (n) 。

于是 bn

? b1 ? ?

1 2n ? 1 a 2k ? 3 , b1 ? 1 ? 1. 则 bn ? 1 ? ? n . k ?1 2 2 2 k ?1 2

所以 an

3 2n ? 1 ? bn ? 2n ? ( ? n ) ? 2n ? 2n ?1 ? 16n ? 8. 2 2

[收获] 在 an?1

? pan ? q(n),( p ? 1) 中,当 q(n)是常数 q 时,即为模型 an?1 ? pan ? q( p ? 1) 。


在 an?1

? pan ? q(n),( p ? 1) 两边同除以 pn?1 ,

an ?1 an q(n) a q ( n) ? n ? n ?1 ,令 bn ? n , ? f ( n) , n ?1 p p p p n p n ?1

得 bn?1

? bn ? f (n)

3 2n ? 1 ? pnbn = p n ( ? n ). 2 2 4 1 n ?1 2 ? ,n=1,2,??,求通项 an 。 [变题 9](2006 年全国理第 22 题)设数列 {an } 前 n 项和为 S n ? an ? ? 2 3 3 3 4 1 n ?1 2 4 1 2 ? ? a1 ? a1 ? ? 22 ? ? a1 ? 2 。 因 为 an ? Sn ? Sn?1 ( n ? 2) , 所 以 由 题 设 得 : [ 解 答 ] S n ? an ? ? 2 3 3 3 3 3 3
即可求出 {bn } 的通项公式,从而得 an

an an ?1 2n 4 1 n ?1 2 4 1 n 2 n an ? ( an ? ? 2 ? ) ?( an ?1 ? ? 2 ? ) ? an ? 4an?1 ? 2 ? n ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 4 4 4

,即

15

1 ?1? bn ? bn?1 ? ? ? ? bn ? 1 ? n 2 ?2?
[规律小结] 根据数列性质 an

n

,得 an

? 4n ? 2n 。

? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 可得出递推关系,然后再根据结构特征求通项公式。

[请你试试 4——5] 1、数列 {an } 满足 a1

? 1 , an?1 ? 2an ? 3? 5n ,求 an 。

2、数列 {an } 的前 n 项和 Sn

? an?1 ? n2 , a1 ? 0 ,

求 an

第 3 变 an?1 4、两边取对数,变形转化为模型 an?1

? pan q ,( p ? 0, an ? 0) 型

? f (n)an
,令 bn (1)求数列 {bn } 的通项公式, (2)设 T ? ? ? lgan ,

[变题 10]

数列 {an } 中 a1

? 10, an?1 ? n an

bk ?1 k ? 2 bk ?1

n

,求 lim T 。
n ??

[思路] 利用对数运算法则变形转化。 解: (1)由已知得 b1

? 1, bn ?1 ? lg an?1 ? lg

n

an

?

1 an 1 lg ? bn ,即模型 an?1 ? f (n)an , n n

由(II)式,得 bn

1 1 1 1 1 1 ? b1 ? ? ? ? ? ? 。 1 2 3 n ? 1 1? 2 ? 3? (n ? 1) (n ? 1)!

bn ?1 (2)由 ? bn ?1

1 n 1 n ! ? 1 ,得 T ? bk ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n (n ? 1)n k ? 2 bk ?1 (n ? 2)! 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ?? ? ? ? 1 ? . 则 lim T ? lim(1 ? ) ? 1 。 n ?? 2 2 3 n ?1 n n n?? n

[收获] 令 bn

a a p 当 q=1 时, 当 q ? 1 时, 对递推式两边取常用对数, 得 lg n?1 ? q lg n ? lg , {an } 为等比数列。 an?1 ? panq ,( p ? 0, an ? 0) ,

? lgan ,

得 bn?1

? qbn ? lg p ,此为模型 an?1 ? pan ? q( p ? 1) ,即题根。

第 4 变 an?1 5、利用特征根求通项公式 [变题 11] 在数列 {an } 中, a1

? pan ? qan?1 型

? 0, a2 ? 1 , 4an?1 ? 4an ? an?1 ,求 an ? pan ? qan?1 ,求其通项公式方法介绍如下:当 p ? q ? 1 时,存在 ?1 , ?2 满足

[ 思路]

在数列 {an } 中,已知 a1 , a2 ,且 an?1

,即 an?1 ? (?1 ? ?2 )an ? ?1?2 an?1 ,与 an?1 ? pan ? qan?1 比较系数,得 an?1 ? ?1an ? ?2(an ? ?1an? 1) (*) 根与系数的关系知 ?1 , ?2 是二次方程 t
2

{? ?

?1 ? ?2 ? p
1 2 ?q

,由

此方程称为递推式的特征方程。 易见, 只需将递推式中的 an?1 , an , an?1 ? pt ? q ? 0 两实根, 16

换成

t 2 , t , 1即 可 得 特 征 方 程 。 由 ( * ) 式 知 数 列 an ? ?1an?1

是等比数列,于是

an?1 ? ?1an ? ?2n?1 (a2 ? ?1a1 )



an?1 ? ?2an ? ?1n?1 (a2 ? ?2a1 ) 。当 p ? q ? 1时,将

p=1-q 代入递推式,得 an?1 ? an

? ?q(an ? an?1 ) ,则 {an?1 ? an } 是以

a2 ? a1 为首项,-q 为公比的等比数列,从而 an?1 ? an ? (?q)n?1 (a2 ? a1 ) ,利用错位相消法即可求解。
[解题] 递推式特征方程为

4? 2 ? 4? ? 1, 解 得 ?1 ? ?2 ?

1 2

,所以递推式可表示为

1 1 1 an ?1 ? an ? (an ? an ?1 ) , 数 列 2 2 2
n ?1

1 1 1 ? ? ?an?1 ? an ? 是首项为 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 2 2 2 ? ?
得2
n?1

的等比数列,所以 an ?1 ?

1 ?1? an ? ? ? 2 ?2?

, n ? 1, 2, ??,两边同除以 2 n ?1 ,

an?1 ? 2n?2 an ? 1,
n?2

于是

?2

? an ? 是首项为 0,公差为 1 等差数列,故 2n?2 ? an ? n ?1,? an ?

n ?1 。 2n ?2

[收获] 一般的, 在数列 {an } 中, 已知 a1 , a2 , 且 an?1 时, 通项公式 an 推出。 利用这一结论可方便的推出通项公式 an 。 [变题 12] 在数列 {an } 中, a1 解:特征方程

2 它的特征方程 ? ? p? ? q ? 0 两根为 ?1 , ?2 , 则, 当 ?1 ? ?2 ? pan ? qan?1 ,

? ( An ? B)?1n?1 ;当 ?1 ? ?2 时,通项公式 an ? A?1n?1 ? B?2n?1, n ? 1, 2, ??,其中 A,B 为常数,可由 a1 , a2

? 1, a2 ? 2 , an?2 ? 7an?1 ?12an ,求 an
A=2 , B=-1 , 故

? 2 ? 7? ? 12 两 根 为 ?1 ? 3, ?2 ? 4 。 设 an ? A ? 3n?1 ? B ? 4n?1 , 由 a1 ? 1, a2 ? 2 , 得

an ? 2 ? 3n?1 ? 4n?1,(n ? 1, 2,?) 。
[请你试试 1、在数列 {an } 中, a1 4——6]

? 1, a2 ? 3 , an?2 ? 6an?1 ? 9an ,求 an 。
? 1, a2 ? 2 , an ? 2
?a a
3 n ?1 2 n

2、在数列 {an } 中, a1

,求 an 。

第六章数列请你试试答案与提示

[请你试试 1—1]:1、? S101

?

(a1 ? a101 ) ?101 ? 0 ,? a1 ? a101 ? 0 ? a3 ? a99 ? 0 ,选 2

C

2、a3+a7-a10+a11-a4= a7

? 12 ,得 S13 ? 13a7 ? 156 。
? 555 ? 24 ? 6660 ; 2
17

[请你试试 1—2]:1、略; 2、n=27; 3、由 123 ? 432 ? 555 , S 24

4、倒加法

Sn ? n ? 2n?1 。

[请你试试 1—3]:1、200; 2、4 。

[请你试试 1—4]:1、12; 2、40; 3、 0、110; 4、3 (b-a);5、 S2k

?k ? 100 ? 4S中 ? S中 ? 25 。 ? S2

[请你试试 1—5]:1、1504;2、0;3、12 或 13。 [请你试试 1—6]: S12

? ?7 。 A ? a1 ? a4 ? a7 ?? a28 , B ? a2 ? a5 ? a8 ?? a29


[ 请 你 试 试 2 — 1] : 等 比 数 列 中 某 些 项 的 积 的 问 题 , 利 用 性 质 解 。 设

C ? a3 ? a6 ? a9 ?? a30 ,易见 A,B,C 成等比,公比为 q? ? 210 。由 B 2 ? A ? C 且 A ? B ? C ? 230 ,得 B3 ? 230 ,即
B ? 210 ,?C ? Bq? ? 210 ? 210 ? 220 。
[请你试试 2—2]:1、 S6 。 ? 14 ;2、 S4 ? 5 或 S4 ? ?4 (舍去)

[请你试试 2—3]:1、 S8 , S10 , S11 等差,则 S11 ? S10 2、略。
10

? S10 ? S8 ,得 a11 ? a9 ? a10 ,即 a11 ? (a9 ? a10 ) =0;

[请你试试 2—4]:由上例分析得 a(1+10%)

(1.110 a ? 2a)(1.1 ? 1) -x(1+10%) -??-x(1+10%)-x=2a,即 x ? , 1.110 ? 1
9



2.6a-16x=2a

?x ?

3 a。 80

n (2n ? 1)2 ? 1 1 ?3 2n ? 3 ? [请你试试 3—1]:1、 S n ? ;2、 Sn ? ? ? ? 。 ? ;3、 Sn ? n ?1 (2n ? 1)2 2 ? 2 (n ? 1)(n ? 2) ?
[请你试试 3—2]:1、

? n(n ? 2) 1 ?1 1 ;2、 ? ? ? ?; 3(2n ? 1)(2n ? 3) 3 ? 6 (n ? 1)(n ? 2) ?
? 1
3 4

3、 S n

?

1
3 3

C C C

?

1
3 5

? ??

1

C

3 n

? 1 ? 1 1 1 ? 6?? ? ? ? ?? ? (n ? 2)(n ? 1)n ? ? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5

? 1 ? 1 1 6n(n ? 3) 。 ? 6? ?? ? ?? 2 ? 1? 2 (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)(n ? 2)
[请你试试 3—3]:1、 [请你试试 3—4]:

2 n(n ? 1)(2n ? 1) ;2、 n2 (2n2 ?1) ;3、 2n2 (n ? 1)2 。 3

1 n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 。 4

[请你试试 3—5]:1、 Sn

1? 2n ? 3 ? ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ;2、分 x ? 1 和 x ? 1 两种情形;3、 Sn ? ? 3 ? n ? ; n? 2 ?

4、 S n

?

1 2n ? 1 ? 。 2 2n ?1
18

1 4 ? 1? [请你试试 4—1]:由 3an?1 ? an ? 4 得 an ?1 ? ? an ? ,可得 an ? 1 ? 8 ? ? ? ? 3 3 ? 3?
或由 3(an?1 ? 1) ? ?(an [请你试试 4—2]:提示: an [请你试试 4—3]:略

n ?1



?1) 求。
? 1 n ; Sn ? 。 3n ? 2 3n ? 1

[请你试试 4—4]:由原数列得一阶差数列 {bn } :3、7、15、31、63、??;由 {bn } 得二阶差数列 {cn } : 4、8、16、32、??,易得 cn

? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,得 bn ,最后得原数列通项公式 an ? 2n?1 ? n ? 2 。
n ?1

[请你试试 4—5]: 1、两边同除以 2

a ?1 an 3 ? 5 ? , 得 n ? ? ?? ? 2n?1 2n 2 ? 2 ?

n

3 ?5? , 即 bn ?1 ? bn ? ? ? ? 2 ?2?

n

, 得 an

? 5n ? 2n?1 。2、由 Sn ? an ,

得 an

? Sn ? Sn?1 ? an?1 ? n2 ? [an ? (n ?1)2 ] ? an?1 ? an ? 2n ?1 ,? an?1 ? 2an ? 2n ? 1。
2

[请你试试 4—6]:1、特征方程 ?

? 6? ? 9 两根为 ?1 ? ?2 ? 3 ,设 an ? (An ? B ) ? 3 n?1 ,由 a1 ? 1, a2 ? 3 ,得
a ? 3lgan?1 ? 2lgan , 令 bn ? lg
n

A=0,B=1,故

lg 2、 取对数, an ? 3n?1 。
an ? 10(2
n?1

an?2

, 则 b1

?g l

a1

? 0

, b2

且 bn?2 ? 3bn?1 ? 2bn , ??, ? lg2 ,

?1)lg 2



19


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