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2005年全国高中数学联赛试卷及答案


二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题
1. 使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是 A.

6? 3

B.

3

C.

6? 3

D.

6

2. 空间四点 A、B、C、D,满足 | AB |? 3 、 | BC |? 4 、 | CD |? 11 、 | DA |? 9 ,则 AC ? BD 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个 3. △ ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线交此圆于 A1、B1、C1 三点,则

A B C AA ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 1 ? cos 2 2 2 的值是 sin A ? sin B ? sin C

D'

C'

A' D

B' C B

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 A 4. 如图,ABCD-A'B'C'D'为正方体,任作平面 α 与对角线 AC'垂直,使 α 与正方体的 每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则 A. S 是定值,l 不是定值 B. S 不是定值,l 是定值 C. S、l 均是定值 D. S、l 均不是定值 5. 方程

x2 y2 ? ? 1 表示的曲线是 sin 2 ? sin 3 cos 2 ? cos 3
B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线

A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 6. 记集合 T ? ?0,1,2,3,4,5,6} ,M ? ? 序排列,则第 2005 个数是

? a1 a2 a3 a4 ? ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T , i ? 1,2,3,4? ,将 M 中的元素按从大到小顺 ?7 7 7 7 ?

5 5 6 3 5 5 6 2 1 1 0 4 1 1 0 3 ? 2 ? 3 ? 4 B. ? 2 ? 3 ? 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 二、填空题 7. 将 多 项 式 f ( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? x19 ? x 20 表 示 为 关 于 y 的 多 项 式 g ( y ) ?
A.

a0 ? a1 y ? a2 y2 ? ? ? a19 y19 ? a20 y20 ,且 y ? x ? 4 ,则 a0 ? a1 ? ? ? a20 =__________。
8. f(x) 是定义在 (0,+∞) 上的减函数,若 f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 4a ? 1) 成立,则实数 a 的取值范围是 _____________。 9. 设 α、β、γ 满足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,若对任意 x ? R ,cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? 0 成立, 则 ? ? ? =_____。
2 2

1 AC ? 2 ,则 CD=_________。 ,∠ACB=45° , AD ? BC ? 6 2 11. 正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两顶点在 y ? x2 上 , D
10. 如图,四面体 DABC 的体积为 则正方形面积的最小值为_____________。 12. 若自然数 a 的各位数字之和为 7, 则称 a 是 “吉祥数” 。 将所有 “吉 大排成一列:a1、a2、a3?,若 an=2005,则 a5n=______。
C A B

祥数” 从小到

三、解答题
2 7an ? 45an ? 36 13. 数列{an}满足 a0=1, an?1 ? , n ? N ,证明: 2 n ? N ,a 为整数;(2)对于任意 n ? N , an an?1 ? 1为完全平方数。

(1) 对 于 任 意

14. 将编号为 1、2、3、?9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各一个小球,设圆 周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S,求值 S 达到最小值的方法的概率(若某种方法,经旋转或 镜面反射可与另一种方法重合,则认为是相同方法) 。 2 15. 过抛物线 y=x 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛物线上,E 在线段 AC 上,

AE BF ? ?1 ,F 在线段 BC 上, ? ?2 ,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交于 P,当 C 在抛物线上移动时,求 EC FC

P 的轨迹方程。


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