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§8.1.5椭圆的简单几何性质(2)


一.课题:椭圆的几何性质(2) 二.教学目标:1.了解椭圆的第二定义,并会用第二定义解决相关问题,理解准线的概念; 2.能根据焦距、长轴长、离心率、准线方程,求椭圆的标准方程. 三.教学重、难点:用坐标法研究椭圆的另一种定义;理解焦点与相应准线的相互关系及其相互转 化关系. 四.教学过程: (一)复习:

x2 y2 1.椭圆的几何性质: 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) a b 顶点坐标: ( ± a, 0) , (0, ±b)
对称性:对称轴为坐标轴,对称中心是原点,长轴长 2a ,短轴长 2b 焦点坐标: ( ±c, 0) , c = 离心率: e =

a 2 ? b2

c ( 0 < e < 1) a

(二)新课讲解: 1.椭圆的第二定义: 例 1.点 M ( x, y ) 与定点 F (c, 0) 的距离和它到定直线 l : x = 求点 M 的轨迹. 解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,

a2 c 的距离比是常数 ( a > c > 0 ) , c a

| MF | c 由题意,所求点 M 属于集合 P{M | = }, d a

l′

y l M O F

( x ? c) 2 + y 2 c = , a2 a | ?x| c 将上式两边平方,化简得 (a 2 ? c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 ? c 2 )
由此得 设 a ? c = b ,上式可化为
2 2 2

x

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) ,为椭圆的标准方程. a2 b2 c 为离心率, a

所以, M 的轨迹是长轴、 点 短轴长分别为 2a, 2b 的椭圆, 这个定点是椭圆的焦点,e = 定直线为这个焦点对应的准线. 说明: x =

a2 a = a ? > a ?1 = a . c c

2.椭圆的准线方程: (1)

x2 y2 a2 + 2 = 1 ,对应焦点 F (c, 0) 的准线方程: x = ,右准线; a2 b c a2 对应焦点 F ( ?c, 0) 的准线方程: x = ? ,左准线. c

椭圆的几何性质(2)

(2)

y 2 x2 a2 + 2 = 1 ,对应焦点 F (0, c) 的准线方程: y = ; a2 b c a2 对应焦点 F (0, ?c ) 的准线方程: y = ? . c 例 2. (1)求椭圆 x 2 + 4 y 2 = 4 和 4 x 2 + y 2 = 4 的准线方程;
2 2

(2) 已知椭圆 9x + 25 y = 900 上的点 P 到它的右准线的距离为 8.5 , P 到左焦点的距离为 则 分别为 10 和 14 ,则椭圆的方程是 解: (1)由 x + 4 y = 4 得
2 2 2 2 2 2



(3)椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,准线方程为 y = ±18 ,椭圆上一点到两焦点的距离 .

x 4 4 3 a2 + y 2 = 1 ,∴准线方程为 x = ± = ± =± , 4 c 3 3

y2 a2 4 3 由 4x + y = 4 得 x + = 1 ,∴准线方程为 y = ± = ± . 4 c 3 x2 y2 (2)由 9x2 + 25 y 2 = 900 得 + =1, 100 36 又∵ P 到它的右准线的距离为 8.5 , 8 68 ∴ P 到右焦点的距离为 8.5e = 8.5 × = , 10 10 F1 又∵ P 到左、右焦点距离和为 2a = 20 , 68 66 ∴ P 到左焦点的距离为 20 ? = . 10 5

y P

O

F2

x

说明:1.椭圆的第二定义其实贯穿了一个转化思想,把椭圆上的点到焦点的距离转化为它到对应准 线的距离; 2.有时根据题目需要,要同时用到椭圆的两种定义.

?2a = 10 + 14 ?a = 12 ? 2 2 2 (3)由题意, ? a 2 ,∴ b = a ? c = 80 , ?? c=8 ? ? = 18 ?c y2 x2 + = 1. 所以,椭圆的方程为 144 80
3.椭圆的焦半径: (1)椭圆上任意一点到焦点的线段称为椭圆的焦半径. (2)焦半径公式: ①椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的左、 右焦点分别为 F1 ( ?c, 0) ,F2 (C , 0) ,P ( x1 , y1 ) 是椭圆上一点, a2 b2 则 | PF1 |= a + ex1 , | PF2 |= a ? ex1 . y 2 x2 + = 1 (a > b > 0) 的焦点分别为 F1 (0, ?c) , F2 (0, c) , P( x1 , y1 ) 是椭圆上一点,则 a 2 b2 | PF1 |= a + ey1 , | PF2 |= a ? ey1 . a2 的距离为 d , c 椭圆的几何性质(2)

②椭圆

证明:以①为例,设 P 到右准线 l : x =

y



a2 | PF2 | c > x1 且 =e= , c d a 2 a ∴ | PF2 |= ed = ( ? x1 ) ? e , c ∴ | PF2 |= a ? ex1 ,同理 | PF1 |= a + ex1 .

P O

d

F2

x

x2 y 2 12 + = 1 上一点 M ( , 4) 分别到两焦点 F1 、 F2 的距离. 16 25 5 37 13 (答案: | MF1 |= , | MF2 |= ) 5 5 x2 y2 例 3.已知 P 是椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0 )上的一点, F1 、 F2 上两焦点, P 到两准线的距离分 a b y o 别为 10 和 8 ,且 ∠F1 PF2 = 60 ,求此椭圆的方程.
【练习】求椭圆

a2 = 10 + 8 = 18 ,即 a 2 = 9c c 又∵ | PF1 |= 10e , | PF2 |= 8e ,
解:由题意得 2 × 在 ?PF1 F2 中,由余弦定理得:



P

F1

O

F2

x

| F1 F2 |2 =| PF1 |2 + | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 | ? cos ∠F1 PF2 , 1 2 2 2 2 2 ∴ 4c = 100e + 64e ? 2 × 10e × 8e × ,∴ 4c = 84e ② 2 c a2 7 2 又∵ e = ,代入②得 a = 21 ,代入①得 c = = , a 9 3 49 140 x2 9 y 2 2 2 2 ∴ b = a ? c = 21 ? = ,所以,椭圆的方程为 + = 1. 9 9 21 140
说明:一般涉及椭圆的焦半径的问题,用第二定义比较方便. 五.小结:1.椭圆的第二定义; 2.椭圆的准线方程、焦半径. 六.作业:课本第 103 页习题 第 8,10 题, 补充:1.若 A(1,1) 是 5 x 2 + 9 y 2 = 45 内一点,F 是椭圆的左焦点,点 P 在椭圆上,则 | PA | + | PF | 的最大值为 ,最小值为 .

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 上一点, F1 、 F2 是两焦点,且 F1 P ⊥ F2 P ,若点 P 到两 a2 b2 准线的距离分别为 6 和 12 ,求此椭圆方程; x2 y 2 3.已知 P 点在椭圆 + = 1 上,且点 P 到椭圆左、右两焦点的距离之比为 1: 4 ,求点 P 到两准 25 16
2.已知 P 是椭圆 线的距离;

x2 y 2 4.已知椭圆 C : + = 1 , F1 、 F2 是两个焦点,问能否在椭圆 C 上找一点 M ,使 M 到左准 4 3 线的距离 | MN | 是 | MF1 | 和 | MF2 | 的等比中项;若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由.

椭圆的几何性质(2)


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