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2019年湖南师大附中高三摸底考试(高二上学期期末考试)理数试题有答案-(数学)名师版

炎德·英才大联考湖南师大附中

春季高二期末考试暨高三摸底考试

数 学(理科)

时量:120 分钟

满分:150 分

得分:______________

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

1.已知复数满足(2+i)=2-i(i 为虚数单位),则等于 A.3+4i B.3-4i C.35+45i D.35-45i
2.已知 P={|2-5+4<0},Q={x|y= 4-2x},则 P∩Q 等于
A.(1,4) B.[2,4) C.(1,2] D.(-∞,2] 3.已知两组样本数据{1,2,…,n}、{y1,y2,…,ym}的平均数分别为 h 和,则把两组数据合并成一组 以后,这组样本的平均数为 A.h+2 k B.nmh++nmk C.mmh++nnk D.hm+ +kn 4.已知{an}为等比数列,a1>0,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a4+a7+a10 等于 A.-7 B.-5 C.5 D.7

5.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点,在此几何 体中,给出下面 4 个结论:
①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确的有

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

x2 y2

y2 x2

6.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)以及双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线将第一象限三等分,则双

x2 y2 曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为

A.2 或2 3 3 B. 6或2 3 3

C.2 或 3 D. 3或 6

7.函数 f()=sin(2+φ )(0≤φ ≤π )图像向右平移π6 个单位后关于 y 轴对称,则 φ 的值是

A.0 B.π6 C.π3 D.5π6

8.在正三角形 ABC 内任取一点 P,则点 P 到 A,B,C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为

A.1-

3π 6

B.1-

3π 12

C.1-

3π 9

D.1-

3π 18

9.底面是边长为 1 的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为

A.2

2π 3

B.

3π 3

C.2

3π 3

D.

2π 3

10.在平面直角坐标系中,A,B 分别是轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为
A.45π B.34π C.(6-2 5)π D.54π 11.已知函数 f()=?????exx2, +xa≤x+0, 1,x>0,F()=f()--1,且函数 F()有 2 个零点,则实数 a 的取值范围 为 A.(-∞,0] B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(0,+∞)
12.已知[x)表示大于的最小整数,例如[3)=4,[-1.3)=-1,下列命题中正确的是 ①函数 f()=[x)-的值域是(0,1];
②若{an}是等差数列,则{[an)}也是等差数列; ③若{an}是等比数列,则{[an)}也是等比数列;
④若∈(1,2 018),则方程[x)-=12有 2 017 个根.
A.②④ B.③④ C.①③ D.①④ 选择题答题卡

题号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分

答案 第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 13.从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名参加体能测试,则恰有 1 名男同学参加体能测试的概率为 ________.(结果用最简分数表示) 14.《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堡壔,周四丈八尺, 高一丈一尺,问积几何?答曰:二千一百一十二.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆
1 堡壔就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡壔(圆柱体)的体积 V=12 ×(底面的圆周长的平方×高),则该问题中圆周率π 的取值为________.(注:一丈=10 尺)
15.???1+x12???(1+)6 展开式中 2 的系数为________.(结果用数字表示)
16.如图 2,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点 O 且三组对边分别平行.点 A,B 是“六芒星”(如图 1)的两个顶点,动点 P 在“六芒星”上(内部以及边界),若→OP=→OA+yO→B,则+y 的最 大值是________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 11 分) 如图,△ABC 是等边三角形,D 是 BC 边上的动点(含端点),记∠BAD=α ,∠ADC=β . (1)求 2cos α -cos β 的最大值; (2)若 BD=1,cos β =17,求△ABD 的面积.

18.(本小题满分 11 分)

已知正项等比数列{an}的公比为

q,且

7 a3+a4+a5=16,3a5



a3,a4

的等差中项.数列{bn}满足

b1=1,

{ } 数列 ( ) bn+1-bn ·an 的前 n 项和为 2n2+n.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{bn}的通项公式.

19.(本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其中正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图 为直角梯形.
(1)设 Μ 为 Α Β 中点,若B→P=13P→C.求证:Μ Ρ ∥平面 CΝ Β 1; (2)设二面角 Β -CΒ 1-Ν 大小为 θ ,求 sin θ 的值.

20.(本小题满分 12 分) 某卫生监督检查部门对 5 家餐饮店进行卫生检查,若检查不合格,则必须整改.若整改后经复查仍不 合格,则强制关闭.设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的,且每家餐饮店整改前合格的概率是 0.5,整 改后复查合格的概率是 0.8.计算: (1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率; (2)平均有多少家餐饮店必须整改; (3)至少关闭一家餐饮店的概率.(精确到 0.01)

21.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 y2 C:a2+b2=1(a>b>0),其焦点为

F1,F2,离心率为

22,若点

P???

22,

23???满足|PF1|+|PF2|=

2a.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)若直线 l:y=+m(,m∈R)与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△AOB 的重心 G 满足:F→1G·F→2G

=-59,求实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f()=ln(+a)+2. (1)若 f()为定义域上的单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 g()=e+2-f(),当 a≤2 时,证明:g()>0.

炎德·英才大联考湖南师大附中 春季高二期末考试暨高三摸底考试
数学(理科)参考答案 一、选择题
2-i (2-i)(2-i) 3 4 1.D 【解析】由(2+i)=2-i,得=2+i=(2+i)(2-i)=5-5i,故选 D. 2.C 【解析】解 2-5+4<0,即(-1)(-4)<0,得 1<<4,故 P=(1,4).Q 表示函数 y= 4-2x的 定义域,所以 4-2≥0,所以∈(-∞,2],即 Q=(-∞,2].故 P∩Q=(1,2].故选 C. 3.B 【解析】因为样本数据{1,2,…,n}的平均数为 h,{y1,y2,…,ym}的平均数为,所以第一组数 据和为 nh,第二组数据和为 m,因此把两组数据合并成一组以后,这组样本的平均数为nmh++nmk,故选 B. 4.B 【解析】由等比数列的性质可得 a5a6=a4a7=-8,又 a4+a7=2,解得 a4=-2,a7=4 或 a7=-2, a4=4,因为 a7=a1q6>0,所以 a4=-2,a7=4,a7=a4q3=-2q3=4,所以 q3=-2,所以 a1=aq43=1,a10=a7q3 =-8,所以 a1+a4+a7+a10=-5,故选 B.

5.B 【解析】将展开图还原为几何体(如图),因为 E,F 分别为 PA,PD 的中点,所以 EF∥AD∥BC, 即直线 BE 与 CF 共面,①错;因为 B?平面 PAD,E∈平面 PAD,E?AF,所以 BE 与 AF 是异面直线,②正确; 因为 EF∥AD∥BC,EF 平面 PBC,BC 平面 PBC,所以 EF∥平面 PBC,③正确;平面 PAD 与平面 BCE 不一定

垂直,④错.故选 B.

x2 y2

b

6.A 【解析】由题意可知,双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线的倾斜角为 30°或 60°,则=a,

∴= 3或 33,则 e=ca,∴e=

c2 a2=

a2+b2 a2 =

b2

23

1+a2=2 或 3 .

7.D

【 解 析 】 f() = sin(2 + φ )(0≤φ ≤ π

)













π 6

个单位后得到的函数是

g() =

sin???2x-π3 +φ ???,又 g(0)=sin???-π3 +φ ???=±1,得 φ -π3 =π +π2 (∈),∴φ =π +5π6 (∈),故选 D.

8.A 【解析】满足条件的正三角形 ABC 如图所示:设边长为 2,其中正三角形 ABC 的面积 S△ABC= 43×4 = 3.满足到正三角形 ABC 的顶点 A,B,C 的距离至少有一个小于 1 的平面区域如图中阴影部分所示,其加

起是一个半径为

1

的半圆,则

S

1 阴影=2π

,则使取到的点到三个顶点

A,B,C

的距离大于

1

的概率

P=1-

3π 6



故选 A.

9.D 【解析】设四棱锥为 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA=PB=PC=PD=1 的外接球

的半径为 R,过 P 作 PO1⊥底面 ABCD,垂足 O1 为正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 的交点,设球心为 O,连接 AO,

由于

AO=PO=R,AO1=PO1=

22,OO1=

22-R,在

Rt△AOO1 中,???

22-R???2+???

22???2=R2,解得

R=

22,V

4 球=3

π R3=43π ??? 22???3=

2π 3

.

10.A 【解析】设直线 l:2+y-4=0.因为|OC|=12|AB|=d1,其中 d1 为点 C 到直线 l 的距离,所以

圆心

C

的轨迹为以

O

为焦点,l

为准线的抛物线.圆

C

半径最小值为12d2=12×

4= 5

2 ,其中 5

d2 为点

O

到直

线 l 的距离,圆 C 面积的最小值为π ??? 25???2=4π5 .故选 A. 11.B 【解析】因为 F()=f()--1,且函数 F()有 2 个零点,即 f()--1=0 有 2 个实数根,所以

当≤0 时,令 e--1=0,解得=0,此时只有一个实数根,当>0 时,令 f()--1=0,即 2+(a-1)=0,

即[-(1-a)]=0,此时解得=1-a,要使得函数 F()有 2 个零点,则 1-a>0,所以 a<1,故选 B.
12.D 【解析】当∈时,[x)=+1,f()=[x)-=+1-=1;当 时,令=n+a,n∈,a∈(0,1), 则[x)=n+1,f()=[x)-=1-a∈(0,1),因此 f()=[x)-的值域是(0,1];0.9,1,1.1 是等差数列, 但[0.9)=1,[1)=2,[1.1)=2 不成等差数列;0.5,1,2 是等比数列,但[0.5)=1,[1)=2,[2)=3

不成等比数列;由前分析可得当∈时,f()=1;当 ,=n+a,n∈,a∈(0,1)时,f()=1-a=1-(-n)

=n+1-,所以 f(+1)=f(),即 f()=[x)-是周期为 1 的函数,由于∈(1,2)时 f()=2-=12,=32,即

一个周期内有一个根,所以若∈(1,2 018),则方程[x)-=12有 2 017 个根.①④正确,故选 D.

二、填空题

13.35 【解析】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名参加体能测试,则恰有 1 名男同学参加体能测

试的概率为CC13C25 12=35.

14.3 【解析】圆柱体体积公式 V=π r2h,而由题意有 V=112×(2π r)2×h,所以π =3.

15.30 【解析】因为???1+x12???(1+)6=1·(1+)6+x12·(1+)6,则(1+)6 展开式中含 2 的项为 1·C262=

152,x12·(1+)6 展开式中含 2 的项为x12·C464=152,故 2 的系数为 15+15=30.

16.5 【解析】令正三角形边长为 3,则→OB=(1,0),→OA=???-32, 23???,设直线 AB 与 OC 的交点为点 D, 若→OD=→OA+yO→B,则+y=1.又由线性规划知识知当 P 在 C 点时,+y 有最大值,此时→OP=5O→D,故+y 的最
大值是 5. 三、解答题

17.【解析】(1)由△ABC 是等边三角形,得 β =α +π3 ,

0≤α ≤π3 ,故 2cos α -cos β =2cos α -cos???α +π3 ???= 3sin???α +π3 ???, 故当 α =π6 ,即 D 为 BC 中点时,原式取最大值 3.5 分

1

43

(2)由 cos β =7,得 sin β = 7 ,

故 sin

α

=sin???β

-π3 ???=sin

β

cos

π 3

-cos

β

sin

π 3

=3143,7



AB

BD

由正弦定理sin∠ADB=sin∠BAD,

43

故 AB=ssiinn

β α

BD= 3

7

3×1=83,9



14

故 S△ABD=12AB·BD·sin

B=12×83×1×

3 23 2 = 3 .11 分

18.【解析】(1)依题意,a3+a4+a5=176,6a5=a3+a4,则 a5=116,a3+a4=38,得aq52+aq5=38,

即 6q2-q-1=0,解得 q=12或 q=-13(舍),所以 q=12,a1=1,

∴数列{an}的通项公式为 an=???12???n-1.5 分 (2)设 cn=(bn+1-bn)·an,数列{cn}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=2n2+n,所以 cn=?????SS1n-( Sn-n1=1()n≥2),
解得 cn=4n-1.7 分 所以 bn+1-bn=(4n-1)·2n-1,故 bn-bn-1=(4n-5)·2n-2,n≥2,
bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)

=(4n-5)·2n-2+(4n-9)·2n-3+…+7·21+3,9 分 设 Tn=3+7·21+…+(4n-9)·2n-3+(4n-5)·2n-2, 2Tn=3·2+7·22+…+(4n-9)·2n-2+(4n-5)·2n-1, 所以,-Tn=3+4·21+…+4·2n-3+4·2n-2-(4n-5)·2n-1, 因此 Tn=(4n-9)·2n-1+5,n≥2,又 b1=1, 所以 bn=(4n-9)·2n-1+6.11 分 19.【解析】(1)证明:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形,∴BA,BC,BB1 两两垂直.且 BC=4,BA=4,BB1=8,AN=4, 以 BA,BB1,BC 分别为,y,轴建立空间直角坐标系,如图

则 N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4),∴M(2,0,0). ∵PBCP=13,∴P(0,0,1),则→MP=(-2,0,1),设 n2=(,y,)为平面 NCB1 的一个法向量,

??n2·C→N=0 则???n2·N→B1=0

??(x,y,z)·(4,4,-4)=0 ???(x,y,z)·(-4,4,0)=0

??x+y-z=0, ???-x+y=0,

取 n2=(1,1,2),∴→MP·n2=(-2,0,1)·(1,1,2)=0,又 PM 平面 CNB1,∴MP∥平面 CNB16 分

(2)由(1)可知平面 Β CΒ 1 的一个法向量为→BA=(4,0,0),平面 CΒ 1Ν 的法向量为 n2=(1,1,2),

则 cos θ =????|→B→BAA· ||nn22|????=(4,0,0)4×·(6 1,1,2)= 66,∴sin θ = 630.12 分

【注】本题只给出向量法,其他方法请参照标准酌情给分.

20.【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是 1-0.5=0.5,且每家餐饮店是否整改是相互独立的.

所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是 P1=C25×(1-0.5)2×0.53=156.4 分

(2)由题知,必须整改的餐饮店数 ξ 服从二项分布 B(5,0.5).从而 ξ 的数学期望是

Eξ =5×0.5=2.5,即平均有 2.5 家餐饮店必须整改.8 分

(3)某餐饮店被关闭,即该餐饮店第一次检查不合格,整改后经复查仍不合格,所以该餐饮店被关闭的

概率是 P2=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1,从而该餐饮店不被关闭的概率是 0.9.由题意,每家餐饮店是否被关 闭是相互独立的,所以至少关闭一家餐饮店的概率是 P3=1-0.95≈0.41.12 分

21.【解析】(1)由

e=

22,可设椭圆

C

x2 2y2 的方程为a2+ a2 =1,

点 P??? 22, 23???满足|PF1|+|PF2|=2a,等价于点 P 在椭圆上,∴21a2+23a2=1,∴a2=2, 所以椭圆 C 的方程为x22+y2=1.5 分 (2)设 A(1,y1),B(2,y2),联立得方程组?????yx=2+k2xy+2-m,2=0, 消去 y 并整理得(1+22)2+4m+2m2-2=0,
Δ >0 1+2k2>m2
???则 x1+x2=1-+42kkm2 ①.7 分 ??x1x2=21m+2-2k22

设△AOB 的重心为 G(,y),由F→1G·F→2G=-59,可得 2+y2=49.②

由重心公式可得 G???x1+3 x2,y1+3 y2???,代入②式, 整理可得(1+2)2+(y1+y2)2=4 (1+2)2+[(1+2)+2m]2=4,③ 将①式代入③式并整理,得 m2=(11++24kk22)2,10 分

则 m2=(11++24kk22)2=1+1+4k44k2=1+ 4 4 1 .又由 Δ >0 可知≠0,令 t=k12>0,∴t2+4t>0, k2+k4

∴m2>1,∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).12 分

22.【解析】(1)解法 1:f()的定义域为(-a,+∞),f′()=2x2+x+2aax+1

方程 22+2a+1=0 的判别式 Δ =4a2-8.

(ⅰ)若 Δ <0,即- 2<a< 2,在 f()的定义域内 f′()>0,故 f()单调递增.

(ⅱ)若 Δ =0,则 a= 2或 a=- 2.

若 a=

2,∈(-

2,+∞),f′()=(

2x+1)2 .

x+ 2

当=- 22时,f′()=0,当∈???- 2,- 22???∪???- 22,+∞???时,f′()>0,所以 f()单调递增. 若 a=- 2,∈( 2,+∞),f′()=( 2x-1)2>0,f()单调递增.
x- 2

(ⅲ)若 Δ >0,即 a> 2或 a<- 2,



22+2a+1=0

有两个不同的实根

-a-

1=

2

a2-2 -a+

,2=

2

a2-2 .

当 a<- 2时,1<-a,2<-a,从而 f′()在 f()的定义域内没有零点,故 f()单调递增. 当 a> 2时,1>-a,2>-a,f′()在 f()的定义域内有两个不同的零点,

即 f()在定义域上不单调.综上:实数 a 的取值范围为 a≤ 2.6 分 解法 2:很显然 f′()不可能有连续零点,若 f()为定义域上的单调函数, 则 f′()≤0 或 f′()≥0 恒成立,又 f′()=x+1 a+2,因为+a>0,

所以 f′()<0 不可能恒成立,所以 f()为定义域上的单调函数时,只可能 f′()≥0 恒成立, 即x+1 a+2≥0 恒成立,即x+1 a+2(+a)-2a≥0,即 2a≤x+1 a+2(+a),而x+1 a+2(+a)≥2 2,

所以 2a≤2 2,a≤ 2,即实数 a 的取值范围为 a≤ 2.

解法

3:由解法

2

可知∈(-a,+∞),x+1 a+2≥0

2x2+2ax+1 恒成立,得 x+a ≥0

恒成立,

即 22+2a+1≥0 恒成立,(ⅰ)当 a≤0 时,-a-???-a2???=-a2≥0,

所以 22+2a+1>2a2-2a2+1=1,所以当 a≤0 时 22+2a+1≥0 恒成立;

(ⅱ)当 a>0 时,-a-???-a2???=-a2<0,所以(22+2a+1)min=-a22+1,

a2 所以- 2 +1≥0



22+2a+1≥0

恒成立,解得

0<a≤

2,综上:实数 a 的取值范围为 a≤

2.

(2)因为 g()=e+2-f()=e-ln(+a),

当 a≤2,∈(-a,+∞)时,ln(+a)≤ln(+2),故只需证明当 a=2 时,g()>0.

当 a=2 时,函数 g′()=e-x+1 2在(-2,+∞)上单调递增,

又 g′(-1)<0,g′(0)>0,故 g′()=0 在(-2,+∞)上有唯一实根 0,且 0∈(-1,0),

当∈(-2,0)时,g′()<0,当∈(0,+∞)时,g′()>0,从而当=0 时,g()取得最小值 g(0).



g′(0)=0



1 e0=x0+2,ln(0+2)=-0,

故 g(0)=e0-ln(0+2)=x0+1 2+0=x20+x02+x02+1=(xx00++12)2>0,所以 g()≥g(0)>0.

综上,当 a≤2 时,g()>0.12 分



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