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[中学联盟]四川省成都七中实验学校2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题


成都七中实验学校 2016-2017 学年下期半期考试

高二年级

数学试题(理)
审题:周俊龙

命题:刘家云

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。 ) ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ???? 1、在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c ,则 A 1B 等于(
A、 a ? b ? c

)

? ? ?

B、 a ? b ? c
'

? ? ?

C、 ?a ? b ? c

? ? ?

D、 ?a ? b ? c ) D、 0 )

? ? ?

2、函数 f ( x) ? sin x ? e x ,则 f A、 1 B、 2

? 0?

的值为(

C、 3

3、已知 m、n 表示 两条不同直线, ? 表示平面.下列说法正确的是( A、若 m ?? , n ?? ,则 m ? n C、若 m ? ? , m ? n ,则 n ? ? 4、函数 f ( x) ? A、 (1, ??)

B、若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D、若 m ?? , m ? n ,则 n ? ? ) D、 (e, ??)

x ? x ? 1? 的单调递减区间是( ln x
B、 (1, e2 )

C、 (1, e)

5、在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是底面 ABCD 的中心, E、F 分别是

CC1、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于(
A、

)

15 5

B、

10 5

C、

4 5

D、

2 3

6、已知函数 f ? x ? ? x ? sin x ,若 x1 , x2 ? ? ? 则下列不等式中正确的是( A、 x1 ? x2 B、 x1 ? x2 )

? ? ?? ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 , , ? 2 2? ?

C、 x1 ? x2 ? 0

D、 x1 ? x2 ? 0

7、某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 , 则正视图中的 x 的值是( A、 3 B、 ) C、

9 2

3 2

D、 2 )

8、若对任意的 x ? 0 ,恒有 ln x ? px ?1? p ? 0? 成立,则 p 的取值范围是(

A、 ? 0,1?

B、 ? 0,1?

C、 ?1, ?? ?

D、 ?1, ?? ?

9、甲、乙两人约定在下午 4 : 30 ? 5 : 00 间在某地相见,且他们在 4 : 30 ? 5 : 00 之间到达的 时刻是等可能的,约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟,若另一人仍不到则可以 离去,则这两人能相见的概率是( A、 ) D、

3 4

B、

8 9

C、

7 16

11 12

10、如图在一个 60 ? 的二面角的棱上有两个点 A、B ,线段 AC 、

C A D B

BD 分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱 AB ,
且 AB ? AC ? 1, BD ? 2 ,则 CD 的长为( A、 2 B、 5
3 2

) D、 1 y 1 -1 0 2 x

C、 3

11、已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d 的图象如图所示, 则

b ?1 的取值范围是( a?2

) C、 ? ?

A、 ? ?

? 2 1? , ? ? 5 2?

B、 ? ?

? 1 3? , ? ? 2 2?

? 3 5? , ? ? 2 2?

D、 ? ?

? 3 1? , ? ? 2 2?

12、已知曲线 C1 : y ? tx ? y ? 0, t ? 0 ? 在点 M ? , 2 ? 处的切线与曲线 C2 : y ? ex?1 ?1 也
2

?4 ?t

? ?

4e2 相切,则 t ln 的值为( ) t
A、 4e
2

B、 8e

C、 8

D、 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分。 )
13、

?

1

0

x2 dx ? _______
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线 C2 : x2 ? y2 ? 4 有相同的右焦点 F2 ,点 P 是 2 a b

14、已知椭圆 C1 :

椭圆 C1 与双曲线 C2 在第一象限的公共点,若 PF2 ? 2 ,则椭圆 C1 的离心率等于_______

15、已知函数 f ? x ?? x ? R ? 的导函数为 f 的解集为 _____

'

? x ? ,满足 f ?3? ? 7 , f ' ? x ? ? 2 ,则 f ? x ? ? 2x ?1

16、已知函数 f ? x ? ? 1 ?

me x ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 ,则实数 m ? ____ x2 ? x ? 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。 )
17(10 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , 点 D 是 AB 的中点,求证: (Ⅰ) AC ? BC1 ; (Ⅱ) AC1 // 平面 B1CD 。 A
A1
1

C1
1

B1
1

C D

B

18(12 分) 、某校举行汉字听写比赛,为了了解本次比赛成绩情况,从得分不低于 50 分的试卷中随 机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数,满分 100 分)进行统计,请根据频率分布表中所提供 的数据,解答下列问题: 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 (Ⅰ)求 a、 b 的值; (Ⅱ)若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字听写比赛,并从中选 出 2 人做种子选手,求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率。 19(12 分) 、已知函数 f ? x ? ? x ? 2a ln x 。
2

分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

频数 5

频率 0.05 0.35

a
30 20 10 100

b
0.20 0.10 1.00

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若函数 g ? x ? ?

2 ? f ? x ? 在 ?1, 2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围。 x

20(12 分) 、在四棱锥 P - ABCD 中, D PAB 为正三角形,四边形 ABCD 为矩形, 平面 PAB ? 平面 ABCD , AB = 2 AD , M 、 N 分别为 PB、PC 的中点。 (Ⅰ)求证: MN //平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 B ? AM ? C 的大小。
M A N D P

B

C

21(12 分) 、已知椭圆 C :

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经过点 P (1, ) ,离心率 e ? 。 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设过点 E ? 0, ?2 ? 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,求 ?OPQ 的面积的最大值。

22(12 分) 、已知 f ( x ) ?

1 2 x , g ( x) ? a ln x(a ? 0) 。 2

(Ⅰ)求函数 F ( x) ? f ( x) g ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 G( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (a ? 1) x 在区间 ( , e) 内有两个零点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:当 x ? 0 时, ln x ?

1 e

3 1 ? x ?0。 2 4x e

成都七中实验学校 2016-2017 学年下期半期考试

高二年级
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.D; 2.B; 3.B; 7.A; 8.D; 9.B; 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、

数学试题(理)
参考答案
4.C; 10.A; 5.A; 11. D; 6.C; 12. C;

1 3

14、

2 2

15、 ?3, ???

16、 ?

? 7 3? , ? 2 ? e e?
C1 A1
1 1

三、解答题(共 70 分) 17、证明: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC , 所以, CC1 ? AC , 又 AC ? BC , BC ? CC1 ? C ,所以, AC ? 平面 BCC1B1 , 所以, AC ? BC1 . ………..………(5 分) (2)设 BC1 与 B1C 的交点为 E ,连结 DE , A
B1
1

C D

B

BCC1B1 为平行四边形,所以 E 为 B1C 中点,
又 D 是 AB 的中点,所以 DE 是三角形 ABC1 的中位线, DE / / AC1 ,

又因为 AC1 ? 平面 B1CD , DE ? 平面 B1CD ,所以 AC1 // 平面 B1CD ………(10 分) 18、 (Ⅰ)a=100-5-30-20-10=35,b=1-0.05-0.35 -0.20-0.10=0.30. ………(4 分) (Ⅱ )因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 6 6 6 每组分别为,第 3 组: × 30=3 人,第 4 组: × 20=2 人,第 5 组: × 10=1 人, 60 60 60 所以第 3、4、5 组应分别抽取 3 人、2 人、1 人.……..………(6 分) 设第 3 组的 3 位同学为 A1、A2、A3,第 4 组的 2 位同学为 B1、B2,第 5 组的 1 位同学为 C1,则 从 6 位同学中抽 2 位同学有 15 种可能,如下: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1), (A3,B1),(A 3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).其中第 4 组被入选的有 9 种, 9 3 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有 1 位同学 入选的概率为 = .……………(12 分) 15 5 19、 (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). ①当 a≥0 时,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); ②当 a<0 时,f′(x)= 2(x+ -a)x- -a? . x

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) (0, -a) - ?? -a 0 极小值 ( -a,+∞) + ??

由上表可知,函数 f(x)的单调递减区间是(0, -a); 单 调递增区间是( -a,+∞). 6分

2 2 2a (Ⅱ )由 g(x)= +x2+2aln x,得 g′(x)=- 2+2x+ , x x x 由已知函数 g(x)为[1,2]上的单调减函数,则 g′(x)≤0 在[1,2]上恒成立, 2 2a 1 即- 2+2x+ ≤0 在[1,2]上恒成立.即 a≤ -x2 在[1,2]上恒成立. x x x 令 h ? x? ? 9分

1 1 1 ? x 2 ? x ? ?1, 2?? ,则 h′(x)=-x2-2x=-(x2+2x) x

? x ??1, 2? ?h' ? x ? ? 0 ,所以 h(x)在[1,2]上为减函数,
7 7 h(x)min=h(2)=- , 所 以 a≤- . 2 2 20、 (Ⅰ)证明:∵M,N 分别是 PB,PC 中点 ∴MN 是△ ABC 的中位线 ∴MN∥BC∥AD 12 分
P z

又∵AD?平面 PAD,MN ? 平面 P AD

M A O B

N D y C

所以 MN∥平面 PAD. ………………5 分
(Ⅱ)过点 P 作 PO 垂直于 AB,交 AB 于点 O, 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABC D,
x

如图建立空间直角坐标系设 AB=2,则 A(-1,0,0),C(1,1,0),M(

1 3 ,0, ), 2 2

B(1,0,0) ,N(

???? ? 3 ??? ? 3 1 1 3 , , ) ,则 AC ? (2,1,0) , AM ? ( , 0, ) 2 2 2 2 2

?? ???? ?? ? ? n1 ? AC ? 0 设平面 CAM 法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 ? ?? ???? ? n ? AM ?0 ? ? 1

可得

? 2 x1 ? y1 ? 0 ?? ? ,令 x1 ? 1 ,则 y1 ? ?2, z1 ? ? 3 ,即 n1 ? (1, ?2, ? 3) ?3 3 z1 ? 0 ? x1 ? ?2 2

平面 ABM 法向量 n2

?? ?

? (0,1,0)

?? ?? ? n1 ? n2 2 所以,二面角 B ? AM ? C 的余弦值 cos ? ? ?? ?? ? ? 2 n1 n2
因为二面角 B ? AM ? C 是锐二面角, 所以二面角 B ? AM ? C 等于 45? ………………12 分 21、解: (Ⅰ)由点 P (1,

1 3 3 ) 在椭圆上得, 2 ? 2 ? 1① a 4b 2

又e ?

3 c 3 ② , 所以 ? 2 a 2
2 2 2

由①②得 c ? 3, a ? 4, b ? 1,故椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1……………….5 分 4

(II)当l ? x轴时不合题意,故设l : y=kx ? 2, P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ).

x2 将y ? kx ? 2代入 ? y 2 ? 1得 4
由? =16(4k 2 ? 3) ? 0 3 4 16k 12 因为x1 +x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 4k ? 1 4k ? 1 得 k2 ?

(4k 2 ? 1) x2 ?16kx ? 12 ? 0.

所以 PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 又点O到直线PQ的距离d ? 2 k 2 ?1

? x1 +x2 ?

2

? 4 x1 x2 =

4 1 ? k 2 ? 4k 2 ? 3 . 4k 2 ? 1

.所以?OPQ的面积

1 4 4k 2 ? 3 S?OPQ = d ? PQ ? . 2 4k 2 ? 1
设 4k 2 ? 3 ? t , 则t ? 0, S ?OPQ ?
2

......................9 分

4t 4 ? . t ?4 t? 4 t 4 7 因为t ? ? 4, 当且仅当t ? 2,即k ? ? 时等号成立,且满足? ? 0. t 2 ?OPQ的面积最大值为1......................12分
22(Ⅰ)解: F ( x) ? f ( x) g ( x) ?

1 2 ax ln x( x ? 0) 2

∴ F ( x) ? ax ln x ?
'

1 1 ax ? ax(ln x ? ) ………1 分 2 2
? 1 2

由 F ( x) ? 0 得 x ? e
'
? 1

;由 F ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e
'
? 1

?

1 2

∴ F ( x) 在 (0, e 2 ] 上单调递减,在 [e 2 , ??) 上单调递增, ∴ F ( x)的极小值为F (e 2 ) ? ?
? 1

a , F ( x) 无极大值. ………4 分 4e

(Ⅱ)解: G ( x) ?

1 2 x ? a ln x ? (a ? 1) x 2

∴ G ( x) ? x ?
'

a ( x ? a)( x ? 1) ? a ?1 ? x x

又 a ? 0,

1 ?1 ? ? x ? e ,易得 G ( x) 在 ? ,1? 上单调递减,在 ?1, e ? 上单调递增, e ?e ?

要使函数 G ( x ) 在 ( , e ) 内有两个零点,

1 e

a ?1 ? 1 ? 1 ? 2e2 ? e ? a ? 0 G ( ) ? 0 ? e ? ? ?1 需 ?G (1) ? 0 ,即 ? ? a ? 1 ? 0 ,………5 分 2 ?G ( e ) ? 0 ? ? ? e2 ? ? ? (a ? 1)e ? a ? 0 ?2
2e ? 1 ? ? a ? 2e 2 ? 2e ? 1 2e ? 1 1 2e ? 1 1 ? ? a ? ,即的取值范围是 ( 2 , ) . ………8 分 ∴ ?a ? ,∴ 2 2e ? 2e 2 2e ? 2e 2 2 ? ? 2e ? e 2 a ? ? 2e ? 2 ?
3 1 x2 3 2 (Ⅲ)要证 ln x ? 2 ? x ? 0 , 即证 x ln x ? x ? 4x e e 4
2 由(1)知,当 a ? 2 时, F ? x ? ? x ln x 且 F ? x ? min ? ?

x ? x ? 2? x2 3 ? ? x ? 0 ? , 则 h' ? x ? ? ? x e 4 ex ' ' 由 h ? x ? ? 0 得 0 ? x ? 2 ;由 h ? x ? ? 0 得 x ? 2
设 h ? x? ? 所以 h ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上单调递增, 在 ? 2, ??? 上单调递减

1 2e

4 3 ? e2 4 1 ? 4 3? 1 4 3 3e2 ? 2e ? 16 ? 3e ? 8?? e ? 2 ? ?? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?0 2e ? e 4 ? 2e e 4 4e2 4e2 x2 3 2 所以 x ln x ? x ? ? F ? x ?min ? h ? x ?max e 4 3 1 故当 x ? 0 时, ln x ? 2 ? x ? 0 ………12 分 4x e
从而 h ? x ? 的极大值即最大值为 h ? 2 ? ?


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