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一元二次方程复习教案


课时课题:一元二次方程
课题 授课人 考试目标要 求 一元二次方程 课时 共 1 课时 授课时间 课型 复习课

2013.4.3 星期三

1、了解一元二次方程的有关概念. 2、能灵活运用配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程. 3、 会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 了解根与系数的关系. 4、会列一元二次方程解实际问题. 一元二次方程是中学数学的主要内容, 既是已学知识的巩固和发展, 又是后 续学习的基础,一元二次方程的概念基本解法及应用都是重要的基础知识. 为此通过本节课的复习巩固对一元二次方程的概念解法及其根的判别式使 学生更深入的掌握, 从而让学生在充分感受和经历实际问题中抽象出数学模 型, 并回到实际问题中进行解释检验和应用, 体会方程是刻画现实世界的一 个有效的数学模型.教学方法:学生合作探究,教师适时引导 多媒体课件,学案

教学分析及 教学方法

课前准备

课前预习: 知识梳理: (参考相应的数学课本,完成知识梳理)

知识结构梳理
(1)含有 个未知数。 (2)未知数的最高次数是 (3)是 方程。 (4)一元二次方程的一般形式是 (1)

1、概念



法,适用于能化为 x ? m) ? n?n ? 0
2

?

?

的一元。

二次方程 (2) 法,即把方程变形为 ab=0 的形式, (a,b 为两个因式), 则 a=0 或 (3) 法 (4) 法,其中求根公式是 当 时,方程有两个不相等的实数根。 (5) 当 时,方程有两个相等的实数根。 当 时,方程有没有的实数根。 可用于解某些求值题

一 元 二 次 方 程

2、解法

(1) 一元二次方程的应用 (2) (3) 可用于解决实际问题的步骤 (4) (5) (6) 设计意图:以填空的方式帮助学生总结一元二次方程相关的内容,在学生充分思考、交流及 查找相应课本的基础上,让学生在课前梳理本章的知识框架,为后面的题组训练打好基础,

以帮助学生更好的掌握本部分知识. 预习(复习)检测题: 1. 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( A C



3?x ? 1? ? 2?x ? 1?
2

B D
2

1 1 ? ?2?0 x2 x
x 2 ? 2x ? x 2 ? 1


ax2 ? bx ? c ? 0

2. (2012?临沂)用配方法解一元二次方程 x ? 4 x ? 5 时,此方程可变形为( A.

? x ? 2?

2

?1

B.

? x ? 2?
2

2

? 1 C.

? x ? 2?

2

? 9 D.

? x ? 2?


2

?9

3. (2012?河池)一元二次方程 x + 2x + 2 = 0 的根的情况是( A.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 D.无实数根

4. (2012?成都)一件商品的原价是 100 元,经过两次提价后的价格为 121 元,如果每次提 价的百分率都是 x ,根据题意,下面列出的方程正确的是( A. 100(1 ? x) ? 121 C. 100(1 ? x) ? 121
2



B. 100(1 ? x) ? 121 D. 100(1 ? x) ? 121
2

5. (2012?聊城)一元二次方程 x2﹣2x=0 的解是
2



6. (2012?枣庄)已知关于 x 的方程 x ? mx ? 6 ? 0 的一个根为 2,则这个方程的另一个根 是 7. 将方程 ?x ? 2??x ? 3? ? 8 化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和 常数项. 8..用直接开平方法解下列一元二次方程 ? x ? 5? ? 16 ? 0
2

9. (2011?无锡市)用公式法解方程:x?-4x+2=0 设计意图: 通过几道简单的一元二次方程的题目进行课前检测, 主要考查一元二次方程的概 念、解法、应用及根的判别式和根与系数的关系.通过课前检测让学生了解一元二次方程的 内容.教师在课前进行批改,了解学生掌握情况.

教学过程: 中考要求: 1、了解一元二次方程的有关概念. 2、能灵活运用配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程. 3、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.了解根与系数的关系. 4、会列一元二次方程解实际问题. 设计意图:让学生了解、明确中考对本知识点的要求,使学生复习过程中明确复习的方向. 师:结合中考要求,你能结合课本总结一下有关一元二次方程的相关知识吗? 生: (小组讨论、总结,结合课本总结一元二次方程的知识点) 师: (指导小组交流,师生共同总结画出知识树) 构建知识树:

根与系数的关系
当b2-4ac>0时, 方程有两个不相等的实数根; 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 当b2-4ac<0时,方程没有实数根.

x1 ? x2 ? ?

b a

x1 x2 ?

b a

1、根据具体问题中的数量关 系,列出方程。 2、能根据具体问题的实际意 义,检验结果是否合理。

配方法

公式法

因式分解法

匀变速运 动问题 直接开 平方法 解法 降次 传播问题

概念

应用 几何图形 面积问题

一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0)

理 解

掌 握

重 点

一 元 二 次 方 程

会 增长率问题 关键是找准 题目中的等 量关系。

难 点

设计意图: 以知识树的形式帮助学生总结实数的内容, 可以让学生更好的了解实数的知识框

架,更好的从整体把握实数内容,使知识更加科学、系统. 中考常见题型 师:根据我们的知识网络,下面我们看一下常考的中考题,独立完成例 1 至例 4,做题时注 意一下几个问题:1.考查了什么知识点?2.解题思路?3.做题关键是什么? 生: (先独立完成例 1 至例 4,并找四个学生黑板板书例 2、例 3、例 4.小组交流讨论) 考点一、概念 ① ② ③ (1)定义: 只含有一个未知数,并且 未知数的最高次数是 2,这样的 整式方程就是一元二 ........ .......... .... 次方程. (2)一般表达式: ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

⑶难点:如何理解 “未知数的最高次数是 2” : ①该项系数不为“0” ; ②未知数指数为“2” ; ③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论. 典型例题: 例 1(2012?兰州)下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( ) A.x2+

1 =0 x2

B.ax2+bx+c=0 D.3x2-2xy-5y2=0

C.(x-1)(x+2)=1 生 1: 【考点】一元二次方程的概念

【分析】一元二次方程必须满足四个条件: (1)未知数的最高次数是 2; (2)二次项系数不为 0; (3)是整式方程; (4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案. 生 2:解:A、原方程为分式方程;故本选项错误; B、当 a=0 时,即 ax2+bx+c=0 的二次项系数是 0 时,该方程就不是一元二次方程;故本选 项错误; C、由原方程,得 x2+x-3=0,符合一元二次方程的要求;故本选项正确; D、方程 3x2-2xy-5y2=0 中含有两个未知数;故本选项错误. 故选 C. (师生共同)点评:本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程, 首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2. 变式训练: 1.(2012?惠山区)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0 的一个根为 0,则 a= . 生:解:∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0 的一个根为 0, ∴a+1≠0 且 a2-1=0, ∴a=1. 故答案为 1. 考点二、解法 ⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法 ⑵关键点:降次

典型例题: 例 2.(2012?安徽省)解方程: x 2 ? 2x ? 2x ? 1 生 1:【考点】解一元二次方程 【分析】根据一元二次方程的几种解法,本题不能直接开平方,也不可用因式分解法.先将 方程整理一下,可以考虑用配方法或公式法. 师:解:原方程化为:x2-4x=1 配方,得 x2-4x+4=1+4 整理,得(x-2)2=5 ∴x-2= ? 5 ,即 x1 ? 2 ? 5 , x 2 ? 2 ? 5 。 生 2:点评:此题考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为 1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方; (4)选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为 1,一次项的系数是 2 的倍数. 注意事项:在教学中,教师在学生完成的基础上进行规范步骤. 巩固训练 类型一、直接开方法: x ? m?m ? 0?, ? x ? ? m
2

※※对于 ?x ? a ? ? m , ?ax ? m ? ? ?bx ? n ? 等形式均适用直接开方法
2 2 2

典型例题: 1.(2012?永州)解方程: (x﹣3) ﹣9=0. 生 1:解:移项得: (x﹣3) =9, 开平方得:x﹣3=± 3, 则 x﹣3=3 或 x﹣3=﹣3, 解得:x1=6,x2=0 类型二、因式分解法: ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x ? x1 , 或x ? x2 ※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”. ※方程形式:如 ?ax ? m ? ? ?bx ? n ? , ?x ? a ??x ? b? ? ?x ? a ??x ? c ? ,
2 2

2

2

x 2 ? 2ax ? a 2 ? 0
典型例题:

2.(2012?巴中)解方程: 2(x ? 3) ? 3x(x ? 3) 生 2:解:2(x-3)=3x(x-3) 移项得:2(x-3)-3x(x-3)=0 整理得:(x-3)(2-3x)=0 x-3=0 或 2-3x=0 解得:x1=3 或 x2=

2 3
2

b ? b 2 ? 4ac ? 类型三、配方法 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? ? ? x ? ? ? 2a ? 4a 2 ?
2

※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题. 典型例题:
2 3.(2012?临沂)用配方法解一元二次方程 x - 4 x ? 5 时,此方程可变形为(



( A. x ? 2) ? 1
2

B. (x - 2) ? 1
2

C. (x ? 2) ? 9
2

D. (x - 2) ? 9
2

生 3:解:根据配方法,若二次项系数为 1,则常数项是一次项系数的一半的平方,若二次 项系数不为 1,则可先提取二次项系数,将其化为 1 后再计算.
2 2 配方法得, x - 4 x ? 4 ? 5 ? 4, (x - 2) ? 9 .选 D.

类型四、公式法 ⑴条件: a ? 0, 且b ? 4ac ? 0
2

?

?

⑵公式: x ? 典型例题:

? b ? b 2 ? 4ac 2 , ?a ? 0, 且b ? 4ac ? 0? 2a
2

4.(2012?无锡)解方程:x ﹣4x+2=0 生 4:解:∵△=4 ﹣4× 2=8,∴ x ? 1×
2

4? 8 ? 2? 2 , 2

∴原方程的解为 x1 ? 2 ? 2, x 2 ? 2 ? 2 。 考点三、根的判别式 b ? 4ac
2

根的判别式的作用: ①定根的个数;运用根的判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程的根的情况:

b 2 ? 4ac ﹥0 ? 方程有两个不相等的实数根; b 2 ? 4ac =0 ? 方程有两个相等的实数根; b 2 ? 4ac ﹤0 ? 方程没有实数根;

②求待定系数的值; ③应用于其它. 考点四、根与系数的关系 ⑴前提:对于 ax ? bx ? c ? 0 而言,当满足① a ? 0 、② ? ? 0 时,
2

才能用韦达定理. ⑵主要内容: x1 ? x 2 ? ?

b c , x1 x2 ? a a
x ? x2 1 1 ? ? 1 x1 x 2 x1 x 2

⑶应用:根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系: (1) x1 ? x 2 ? ?x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2
2 2 2

(2)

(3) ( x1 ? a)( x2 ? a) ? x1 ? x2 ? a?x1 ? x2 ? ? a ;
2

典型例题: 例 3.(2012?南充)关于 x 的一元二次方程 x2+3x+m-1=0 的两个实数根分别为 x1,x2. (1)求 m 的取值范围. (2)若 2(x1+x2)+ x1x2+10=0.求 m 的值. 生 1:【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,解一元一次不等式和一元一次 方程. 【分析】 (1)因为方程有两个实数根,所以△≥0,据此即可求出 m 的取值范围. (2)根据一元二次方程根与系数的关系,将 x1+x2=-3,x1x2=m-1 代入 2(x1+x2) + x1x2+10=0,解关于 m 的方程即可. 生 2:解:(1)∵方程有两个实数根,∴△≥0。 ∴9-4× (m-1)≥0,解得 m≤ 1×

13 。 4

(2)∵x1+x2=-3,x1x2=m-1, 2(x1+x2)+ x1x2+10=0, ∴2× (-3)+m-1+10=0,解得 m=-3。 变式训练:1.(2012?日照)已知关于 x 的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0 有两个不 相等的实数根,则 k 的取值范围是【 (A) k> 】 (C) k >

4 且 k≠2 3

(B)k≥

4 且 k≠2 3

3 且 k≠2 4

(D)k≥

3 且 k≠2 4

生2:解:∵方程为一元二次方程,∴k-2≠0,即k≠2。 ∵方程有两个不相等的实数根,∴△>0, ∴(2k+1)2-4(k-2)2>0,即(2k+1-2k+4) (2k+1+2k-4)>0,

∴5(4k-3)>0,k> ∴k的取值范围是k>

3 。 4

3 且k≠2。故选C。 4

考点五、应用解答题 ⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题; ⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题 典型例题: 例 4.(2012?济宁)一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买力一批树苗,园林公司规 定:如果购买树苗不超过 60 棵,每棵售价 120 元;如果购买树苗超过 60 棵,每增加 1 棵, 所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元,但每棵树苗最低售价不得少于 100 元,该校最终 向园林公司支付树苗款 8800 元,请问该校共购买了多少棵树苗? 生 1:【考点】一元二次方程的应用。 【分析】根据设该校共购买了 x 棵树苗,由题意得:x[120﹣0.5(x﹣60)]=8800,解出即可。 生 2:解:∵60 棵树苗售价为 120 元× 60=7200 元<8800 元, ∴该校购买树苗超过 60 棵,设该校共购买了 x 棵树苗,由题意得: x[120﹣0.5(x﹣60)]=8800, 解得:x1=220,x2=80. 当 x1=80 时,120﹣0.5× (80﹣60)=110>100, 当 x2=220 时,120﹣0.5× (220﹣60)=40<100,∴x2=220 不合题意,舍去。 ∴x=80。 答:该校共购买了 80 棵树苗。 (师生共同):点评:本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根 据题目给出的条件,找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键. 设计意图:将一元二次方程按常考的典型题型进行总结,并配以相应的变式训练,使学生对 每种题型能够熟练掌握,总结归纳其解题的思想方法,并达到举一反三的目的. 注意事项:在教学中,教师要组织学生通过分组讨论、合作交流等形式,启发学生对问题进 行分析,探究,形成解题思路,进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律. 探讨收获 课时小结 师:通过本节课的复习,你都掌握了哪些数学知识,运用了哪些数学思想方法?你还有什 么疑难问题吗? (学生先独立思考, 小组交流然后由学生口答, 老师重点梳理一元二次方程 的解法,规范做题步骤;对于一元二次方程的实际应用让学生总结总结的方法思路) 设计意图: 鼓励学生对一元二次方程内容特别是做题的方法和思路进行总结, 使知识更加系 统、完善,形成体系.

【备考真题过关】
一、选择题 1. (2012?荆门) 用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2-2x-3=0, 配方后的方程可以是 ( ) A.(x-1)2=4 B.(x+1)2=4 C.(x-1)2=16 D.(x+1)2=16 2.(2012?宜宾)将代数式 x2+6x+2 化成(x+p)2+q 的形式为( ) 2 2 2 A.(x-3) +11 B.(x+3) -7 C.(x+3) -11 D.(x+2)2+4 3.(2012?淮安)方程 x2-3x=0 的解为( ) A.x=0 B.x=3 C.x1=0,x2=-3 D.x1=0,x2=3 2 4. (2012?泸州)若关于 x 的一元二次方程 x ﹣4x+2k=0 有两个实数根,则 k 的取值范围是 ( ) A. k≥2 B.k≤2 C.k>﹣2 D.k<﹣2 二、填空题 5.(2012?吉林)若方程 x2-x=0 的两根为 x1,x2(x1<x2),则 x2-x1= . 6. (2012?丹东)美丽的丹东吸引了许多外商投资,某外商向丹东连续投资 3 年,2010 年初 投资 2 亿元,2012 年初投资 3 亿元.设每年投资的平均增长率为 x,则列出关于 x 的方程 为 . 三、解答题 7.(2012?温州)解方程:x2-2x=5. 8. (2012?湘潭)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形 花园 ABCD(围墙 MN 最长可利用 25m) ,现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料,试设计一 2 种砌法,使矩形花园的面积为 300m .

设计意图:A组题目为必做题,要求学生在5~8分钟内完成.规定时间和内容,一方面可 以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况,同时也可以培养学生快速准确解答问题的能 力. B组 1.(2012?乌鲁木齐)关于 x 的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0 的一个根是 0,则实数 a 的 值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1 2.(2012?襄阳)为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召,我市某单位准备将院内 一块长 30m,宽 20m 的长方形空地,建成一个矩形花园,要求在花园中修两条纵向平行和 2 一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为 532m ,那 么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行 四边形)

3.(2012?遵义)根据遵义市统计局发布的 2011 年遵义市国民经济和社会发展统计公报相关 数据,我市 2011 年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①,2010 年与 2011 年社会消费 品销售额按行业划分绘制条形统计图②,根据图中信息回答下列问题: (1)图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是 度,乡村消费品销售额为 亿元; (2)2010 年到 2011 年间,批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行 业是 ; (3)预计 2013 年我市的社会消品总销售额到达 504 亿元,求我市 2011-2013 年社会消费品 销售总额的年平均增长率.

设计意图:B组问题为学有余力的同学设计,努力使每个学生在课堂上都有所发展,也充分 利用课堂时间提高了优秀生解决问题的能力, 这一问题也可以放到课下作为其他学生的课后 作业. 布置作业: A组 市编资料第 25 页必做 10,12 B组 市编资料第 24 页 7, 第 26 页 13 板书设计: 一元二次方程 知识结构 一、概念 例题 二、解法 例题 三、根的判别式及根与系数的关系 例题 四、实际应用 例题 练习

教学反思
1.成功之处: (1)本节课利用学案为载体,采用题组复习法可以有效的提高课堂效率。题组 的按知识点进行设计有利于学生对本部分知识形成知识网络.

(2)本节课学生课前有了充分的复习教材,对知识点有了总结,学习过程中学生做完学生 讲,学生纠错,学生整理知识点,因此本节课效率较高. (3)问题设计体现了“精”、“典”,使整个教学过程更具连贯性.这样不仅大大激发了学 生的学习兴趣,充分发挥了学生的主体作用,通过引导点拨促使学生将知识不断完善,逐步 趋于系统化. 2.不足之处:课堂上题量较大,一些中等偏下的学生有点跟不上节奏.



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