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&1.4绝对值三角不等式


复习
(一)绝对值的定义: 对任意实数a,

?a (当a ? 0时) ? a ? ?(当a ? 0时) 0 ?? a(当a ? 0时) ?

(二)绝对值的几何意义:
实数a的绝对值 |a|,表示数轴上坐标为 a的点A到原点的距离(图1)。
|a| O

A

x

设a,b是任意两个实数,那么|a-b| 的几 何意义是什么?
A a |a-b| b B x

用恰当的方法在数轴上把|a| , |b| ,|a±b| 表示出来,你能发现它们之间有何关系?

&1.4绝对值三角不等式

探究
用恰当的方法在数轴上把|a| , |b| ,|a+b| 表示出来,你能发现它们之间有何关系?
定理1 如果a,b是实数,则

|a+b| ≤|a| +|b| ,
当且仅当ab≥0时,等号成立。
绝对值三角 不等式

探究?
? ? 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ,能得出什么结论?你能解释其几 a, b
何意义吗?

? ? (1) 当 a , b 不共线时有 ? ? ?
(2) 当

? a?b ? a ? b

? ? a, b

共线且同向时有

绝对值三角 不等式

? ? ? ? a?b ? a ? b

如何证明定理1?

探究
你能根据定理1的研究思路,探究一下|a| , |b| ,|a+b|, |a-b|之间的其它关系吗?

结论:
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|

注意:1? 左边可以“加强”同样成立,即

| a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b |
2? 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边

a, 3? a, b 同号时右边取“=”,b 异号时左边取“=”
推论: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b |
证明:在定理中以?b 代b, 得: | a | ? | ?b |? | a ? (?b) |? | a | ? | ?b |
即: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b |

例题
例1 已知ε >0,x-a ? 求

ε
4

, y ?b ?

ε
6

,

2x+3y-2a-3b ? ε

定理2 如果a,b,c是实数,那么

a ?c ? a ?b ? b ?c
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立 如何证明定理2? 你能给出定理2的几何解释吗?

例2 已知 x ? a ? , 0 ? y ? b ? , y ? M , a ? M , 2 2 求证 xy ? ab ? M ? . 证明: ? ab ? xy ? ya ? ya ? ab ? y?x ? a? ? a? y ? b? xy
? y x ? a ? a y ? b ? M ? ? M ? ? M?. 2 2

?

?

?

?

例、已知实数a, b, c满足不等式 a-b ? c, 证明不等式 x ? a ? x ? b ? c的解集为R.

例题
例3 求证
a?b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b

.
1

证明:在 a ?b ? 0 时,显然成立. 当 a ?b ? 0 时,左边 ?
1 a b 1? a ? b
1 ?1 a?b

?

1 ?1 1? a ? b a?b

?

?

?

a 1? a

?

b 1? b

.

例2已知 | x | ? .

?
3

, | y |?

?
6

, | z |?

?
9

求证:x ? 2 y ? 3z | ? ? |
证明:x ? 2 y ? 3z | ? | x | ? | 2 y | ? | ?3z | |

?| x | ? | 2 || y | ? | ?3 || z |
? | x |?

?
3

?| x | ?2 | y | ?3 | z |
, | y |?

?

6

, | z |?

?

9

2? 3? ?? ? | x | ?2 | y | ?3 | z | ? ? ? 3 6 9

?

? | x ? 2 y ? 3z | ? ?

练习
1 1 1.①已知 x ? r ? 0, a ? 0 ,求证 ax ? a r .
? ? 2.已知 A ? a ? , B ? b ? ,求证: 2 2

②已知 an ?l ? 1, 求证 an ? l ? 1 .

① ? A ? B? ? ?a ? b? ? ? ; ②

?A ? B? ? ?a ? b? ? ? .

a?b 例.3.已知 | a | ? 1, | b | ? 1, 求证 ?1 1 ? ab
a?b (a ? b)2 证明: ?1? ?1 2 1 ? ab (1 ? ab)

? a2 ? 2ab ? b2 ? 1 ? 2ab ? a2b2

? 1 ? a 2 ? b2 ? a 2 b2 ? 0

? (1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? 0
由 | a | ? 1, | b | ? 1, 可知(1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? 0 成立,
a?b 所以 ?1 1 ? ab

例4.设 a, b, c, d 都是不等于 0 的实数,求证 a b c d ? ? ? ?4 b c d a

a b c d 证明: ? ? 0, ? 0, ? 0, ?0 b c d a a a b a b a b ? 2 ① ? ? ?2 ? ?2 ? c b c b c b c c d c d c d c ② ? ?2 ? ?2 ? ?2 d a d a d a a
又 a ? c c ?2 a a ? c c a
? 24 a c ? ?2 c a



a b c d 由①,②,③得, ? ? ? ?2 c d a ? a ? b c
? 2? ? ? c ? ? ?4 a ? ?

a ?2 c

c a

课堂练习:
1.(1)已知|h|< ? ,| k |? ? (? ? 0), 求证 | hk | ? ?
解: 0 ?| h |? ? ,0 ?| k |? ? , ?

?0 ?| h | ? | k | ? ? ? ? 即 | hk | ? ? h (2)已知 | h | ? c? , | x | ? c (c ? 0, ? ? 0), 求证 ? ? x 1 1 解:由0 ? c ? | x | 可知 0 ? ? |x| c 且0 ? | h | ? c?
1 1 ? ? | h | ? ? c? |x| c

h 即 ?? x


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