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【十年高考】江苏省2004-2013年高考数学真题分类汇编:排列组合、二项式定理、算法初步(1)


【十年高考】江苏省 2004-2013 年高考数学真题分类汇编: 排列组合、二项式定理、算法初步
一、选择填空题
9 1.(江苏 2003 年 4 分) ( x 2 ? 1 ) 9 的展开式中 x 系数是 2x



【答案】 ?

21 。 2

【考点】二项式定理的应用。

1 r 1 r 9?r 18?3r 2? 9 ? r ? ?r 【分析】根据题意,对于 ( x 2 ? 1 ) 9 ,有 Tr+1= C9 , ( ? ? ) ? (? ) ? C9 ? x 9 ?x 2x 2 2x
令 18 ? 3r ? 9 ,得 r=3,

1 3 6 9 21 21 9 当 r=3 时, 有 T4= ∴ ( x 2 ? 1 ) 9 的展开式中 x 系数是 ? 。 (? ) ? C9 ? x ? ? x9 。 2 2 2 2x
2.(江苏 2003 年 4 分)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图)现要 栽种 4 种不同颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 不同的栽种方 法有 ▲ 种(以数字作答) 6 2 5 1 3

【答案】120。 【考点】分步乘法计数原理。 【分析】从题意来看 6 部分种 4 种颜色的花,又从图形看知必有 2 组同颜色的花,从 同颜色的花入手分类求:

4

(1)若②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,∴共有 N1=4× 3× 2× 2× 1=48 种; (2)若③与⑤同色,则②④或⑥④同色,∴共有 N2=4× 3× 2× 2× 1=48 种; (3)若②与④且③与⑥同色,则共有 N3=4× 3× 2× 1=24 种。 ∴共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120 种。 3.(江苏 2004 年 5 分)从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必 须既有男生 又有女生,则不同的选法共有【 (A)140 种 【答案】D。 【考点】排列、组合及简单计数问题。
4 【分析】从 7 个人中选 4 人共 C 7 种选法,去掉不合题意的只有男生的选法 C 4 4 就可得有既有

】 (C)35 种 (D)34 种

(B)120 种

男生,又有
4 女生的选法: C 7 - C4 4 =34。故选 D。

4.(江苏 2004 年 5 分) (2 x ? x ) 4 的展开式中 x3 的系数是【 (A)6 【答案】C。 【考点】二项式定理。
?r 【分析】根据题意,对于 (2 x ? x ) 4 ,有 Tr+1= C4 4 ? ? 2x ? 4? r



(B)12

(C)24

(D)48

r ?r ( ? x 2) ? 24?r ? C4 4 ?x

1

4?

r 2



令4?

r ? 3 ,得 r=2, 2

2 当 r=2 时, 有 T3= 22 ? C4 ∴ (2 x ? x ) 4 的展开式中 x 3 系数是 24。 故选 C。 ? x3 ? 24 x9 。

5.(江苏 2005 年 5 分)设 k ? 1,2,3,4,5 ,则 ( x ? 2) 的展开式中 x 的系数不可能是【】
5

k

A.10 【答案】C。 【考点】二项式定理。

B.40

C.50

D.80

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的 x 的系数,将 k 的值代入求出各种情况 的系数:
k 5? k ∵ ( x ? 2) 的展开式中 x 的系数为 C5 2

k

5

k

5 ?1 2 5 ?2 5?3 ? 80 ;当 k =2 时, C5 2 ? 80 ;当 k =3 时, C3 ? 40 ; ∴当 k =1 时, C1 52 52 4 5? 4 5 ?5 2 ? 10 ;当 k =5 时, C5 ?1。 当 k =4 时, C5 52

∴展开式中 x 的系数不可能是 50。故选 C。 6.(江苏 2005 年 5 分)四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表 的化工产品放在同一仓库是危险的, 没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库 是安全的,现打算用编号为①.②.③.④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不 同方法种数为【】 A.96 【答案】B。 B.48 C.24 D.0

k

【考点】排列、组合的实际应用,空间中直线与直线之间的位置关系。 【分析】由题意分析,如图,先把标号为 1,2,3,4 号化工产品分别放 入①②③④4 个仓库内共有 A4 ? 24 种放法;再把标号为 5,6,7,8
4

P 1 A 5 B 6 C 2 8 3 7 4 D

号化工产品对应按要求安全存放:7 放入①,8 放入②,5 放入③,6 放 入 ④;或者 6 放入①,7 放入②,8 放入③, 5 放入④两种放法。 综上所述:共有 A4 ? 2 ? 48 种放法。故选 B。
4

7.(江苏 2006 年 5 分) ( x ? (A)0

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是【 3x



(B)2 (C)4 (D)6

【答案】B。 【考点】二项式展开的通项公式。
3r ?10 1 ? ? r r 1 10 ? r r 1 10 ? r 【分析】∵ ? x ? ? C10 ( ) x 2 ,因此含 x 的 ? 的展开式通项为 C12 ( x ) ( ) 3x ? 3x 3 ?

10

正整数次幂的项只有当 r ? 8, 10 时,共有 2 项。故.选 B。 8.(江苏 2006 年 5 分)今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个 球排成一列有 ▲ 种不同的方法(用数字作答) 。 【答案】1260。 【考点】排列组合。 【分析】由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,先在 9 个位置中选 4 个位置排白球,有 C94 种排法,再从剩余的 5 个位置中选 2 个位置排红球,有 C52 种排法,剩
3 4 3 ? C52 ? C3 ? 1260 种不同的方法。 余的三个位置排黄球有 C3 种排法,共有 C9

x ? 2) ? a 2(x ? 2) ? a 3 (x ? 2) 9.(江苏 2007 年 5 分)若对于任意实数 x ,有 x ? a 0 ? a 1 (
3 2

3



则 a2 的值为【 A. 3 【答案】B。

】 B. 6 C. 9 D. 12

【考点】二项式定理的应用. 【分析】由等式右边可以看出是按照 x ? 2 的升幂排列,故可将 x 写为 2 ? x ? 2 ,利用二项

式定理的通项公式可求出 a2 的值: x ? [2 ? ( x ? 2)] , a 2 ? C3 2 ? 6 。故选 B。
3 3
2

10.(江苏 2007 年 5 分)某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间 相同,至多选一门,学校规定每位同学选修 4 门,共有 值作答) 【答案】75。 【考点】排列、组合及简单计数问题。 【分析】由题意知本题需要分类来解:
3 第一类,若从 A、B、C 三门选一门有 C1 3 C 6 =60,



种不同选修方案。 (用数

0 4 第二类,若从其他六门中选 4 门有 C3 C6 =15,

∴根据分类计数加法得到共有 60+15=75 种不同的方法。 11.(江苏 2008 年 5 分)某地区为了解 70 ? 80 岁的老人的日平均睡眠时间(单位: h ) ,随 机选择了 50 位老人进行调查,下表是这 50 位老人睡眠时间的 频率分布表: 开始 S? 0 i?1
序号 分组 (睡眠时间)
[4,5) [5, 6) [6, 7) [7,8)

组中值 ( Gi )

频数 频率 ( Fi ) (人数)

i
1 2 3 4 5

i? i+1 6 10 20 10 4
0.12 0.20 0.40 0.20

输入 Gi , Fi S? S+Gi·Fi i≥5 Y 输出 S 结束

4.5

N

5.5 6.5 7.5 8.5

[8,9]

0.08

在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出的 S 的值为 【答案】6.42。 【考点】频率分布表,工序流程图(即统筹图) 。



【分析】由算法流程图可知 S 为 5 组数据中的组中值( Gi )与对应频率( Fi )之积的和:

S ? G 1 F1 ? G 2 F2 ? G 3 F3 ? G 4 F4 ? G 5 F5

? 4.5 ? 0.12 ? 5.5 ? 0.20 ? 6.5 ? 0.40 ? 7.5 ? 0.2 ? 8.5? 0.08

? 6.42 。
12.(江苏 2009 年 5 分)右图是一个算法的流程图,最后输出的 W 【答案】22。 【考点】循环结构的算法流程图。 【分析】根据流程图可知,计算出 S,判定是否满足 S≥10,不满足则循环,直到 满足就跳出循环,最后求出 W 值即可: 由流程图知,第一次循环:T=1,S=1,不满足 S≥10; 第二次循环:T=3,S=32-1=8,不满足 S≥10; 第三次循环:T=5,S=52-8=17,满足 S≥10。 此时跳出循环,∴W=5+17=22。 13.(江苏 2010 年 5 分)下图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 ▲

?

▲ .

【答案】63。 【考点】设计程序框图解决实际问题。 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环求满足条件 S=1+2+22+…+2n≥33 的最小的 S 值,并输出: ∵ 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 31 ? 33 不 满 足 条 件 , 继 续 循 环 ;
2 4

1 ? 2 ? 22 ? ? ? 25 ? 63 > 33 满足条件,输出。
∴输出 S 的值是 63。 14.(江苏 2011 年 5 分)根据如图所示的伪代码,当输入 a, b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值是 ▲ Read a,b If a>b Then m ?a Else m ?b End If Print m

【答案】3。 【考点】算法的含义,基本算法语句,选择结构和伪代码。 【分析】∵ a ? 2, b ? 3 , a ? b, ∴ m ? b ? 3 。 15. (2012 年江苏省 5 分)下图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ .

【答案】5。 【考点】程序框图。 【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表: 是否继续循环 循环前 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 第六圈 ∴最终输出结果 k=5。 15、 (2012 江苏卷 4). 右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是
2
[

k 0

k 2 ? 5k ? 4
0 0 -2 -2 0 4

是 是 是 是 是 否

1 2 3 4 5 输出 5



【解析】根据循环结构的流程图,当 k ? 1 时,此时 k ? 5k ? 4 ? 0 ;不满 足条件,继续执行循环体,当 k ? 2 时, k ? 5k ? 4 ? ?6 ;不满足条件,
2

继续执行循环,当 k ? 3 时, k ? 5k ? 4 ? ?2 不满足条件,然后依次出现
2

同样的结果,当 k ? 5 时,此时 k ? 5k ? 4 ? 4 ,此时满足条件跳出循环,
2

输出 k 的值为 5 . 【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成,考查循环结构的流程 图.注意循环条件的设置, 以及循环体的构成, 特别是注意最后一次循环的 k 的值.这是新课标的新增内容,也是近几年的常考题目,要准确理解循环结构流程图的执行 过程. 16、 (2013 江苏卷 5)5.下图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是 。

答案: 5.3

二、解答题 1.(江苏 2008 年附加 10 分)请先阅读: 在等式 cos 2 x ? 2cos x ?1 ( x ? R )的两边求导,得: ( cos 2 x)? ? (2cos x ? 1)?
2
2



由求导法则,得 ( ? sin 2 x)? 2 ? 4cos x? ( ? sin x) ,化简得等式: sin 2x ? 2cos x? sin x . ( 1 )利用上题的想法(或其他方法) ,结合等式 (1+x) =Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x
n 0 1 2 2 n n

( x ? R ,正整数 n ≥ 2 ) ,证明: n[(1 ? x) (2)对于正整数 n ≥ 3 ,求证: (i)

n ?1

k ?1 ? 1] ? ? kCk . nx k ?2

n

? (?1)k kCkn ? 0 ; (ii) ? (?1)k k 2Ckn ? 0 ; (iii) ?
k ?1

n

n

k ?1

1 2n ?1 ? 1 Ck ? . n n ?1 k ?0 k ? 1
n

【答案】证明: (1)在等式 (1+x) =Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x 两边对 x 求导得
n 0 1 2 2 n n 1 2 n ?1 n ? 2 n n ?1 n(1 ? x)n ?1 ? Cn ? 2Cn x ? ? ? (n ? 1)Cn x ? nCn x

移项得 n[(1 ? x)

n ?1

k k ?1 ? 1] ? ? kCn x 。 k ?2

n

( 2 )( i ) 在 n[(1 ? x)

n ?1

k k ?1 ? 1] ? ? kCn x 中 , 令 x ? ?1 , 整 理 得 k ?2

n

? (?1)
k ?1

n

k ?1

k kCn ? 0。

∴ (

? (?1)
k ?1

n

k

k kCn ?0。

ii


2




n

1
n?


n 2? n? n1



n( ?

n ?1

1 x n

?

1

) ? nC ?

2C n ? ?
n?2

x

?( ,

1

)nC

1 ? x

两边对 x 求导,得 n(n ? 1)(1 ? x)

2 3 n n?2 ? 2Cn ? 3?2Cn x ? ? ? n(n ? 1)Cn x 3 2 n?2

2Cn (?1) ? ? ? n(n ? 1)Cn (?1) 在上式中,令 x ? ?1 ,得 0 ? 2Cn ? 3?
2





? k (k ? 1)C
k ?2

n

k n

亦即 (?1) k ? 2 ? 0 ,

? (? 1 ) k(
k k ?2

n

2

k ? k C)n ?

0

(1)

又由(i)知

? (? 1 )kC
k k ?1

n

k n

? 0

(2)

∴(1)+(2)得

? (?1)
k ?1
n 0

n

k

k 2Ck n ? 0。
1 2 2 n n

(iii)将等式 (1+x) =Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x 两边在 [0,1] 上对 x 积分

? (1 ? x) dx ? ? (C
n 0 0

1

1

0 n

2 2 n n ? C1 n x ? Cn x ? ? ? Cn x )dx

由微积分基本定理,得

1 (1 ? x) n ?1 n ?1

1 0

? (?

1 k k ?1 Cn x ) k ?0 k ? 1

n

1 0



1 k 2n ?1 ? 1 Cn ? 。 ? n ?1 k ?0 k ? 1
n

【考点】微积分基本定理,二项式定理,类比推理。 【分析】 (1)对二项式定理的展开式两边求导数,移项得到恒等式。 (2) (i)对(1)中的 x 赋值-1,整理得到恒等式。 (ii)对二项式的定理的两边对 x 求导数,再对得到的等式对 x 两边求导数, 给 x 赋值-1 化简即得证。 (iii)对二项式定理的两边求定积分;利用微积分基本定理求出两边的值,得 到要证的等式。


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