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拓展课程(一--6)-(2.4)-基本不等式及其应用


(二期课改)

**1.叙述回顾两个基本不等式的条件和结论. *基本不等式1:对任意的a,b?R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时等号成立. *基本不等式2:对任意的a,b?R+,有 时等号成立.

a?b ? ab ,当且仅当a=b 2

**2.简述基本不等式的几种常见变形.

(a ? b)2 ? 4ab , a?b 2 ab ?( ), 2

2 a2 ? b 2 )?(a ? b)2 , (

a ? b ? 2 ab.

讨论与交流 **3.谈谈利用基本不等式2的两种变形,主要可以解决哪些最 值的探求问题? *结论1: 两个正数a,b,当和a+b为定值时,积ab在当

?a?b? a=b时有最大值为 ? ?. ? 2 ?

2

*结论2: 两个正数a,b,当积ab为定值时,和a+b在当
a=b时有最小值为 2 ab.

(最大容积问题) *有一块边长为1米的正方形铁皮,在它的四个角各剪 去一个小正方形后,再折成一只无盖的盒子. *如果要使制成的盒子的容积最大,那么剪取的小正方 形的边长应为多少米?

xm xm
xm (1-2x)m

1m

V ? x ?(1 ? 2x)

2

xm (1-2x)m

V ? x ?(1 ? 2x)

2

1 (0 ? x ? ) 2

*转化:可以把V看作为三个因子:x,(1-2x),(1-2x)的乘积, 探求其积的最值.

V ? x ?(1 ? 2x )?(1 - 2x )

*问题1:你能利用已学的基本不等式或其变形,解决此最值 的探求问题吗?

*问题2:对于三个正数是否也存在类似的基本不等式呢?如果
有的话,你能表述出你的猜想吗?

**(基本不等式3)

若a,b,c均为正数,则就有:

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc
当且仅当a=b=c时等号成立. **(基本不等式4) 若a,b,c均为正数,则就有:

a?b?c 3 ? abc 3 当且仅当a=b=c时等号成立.
*问题3:对于猜想所得出的结论是否一定正确呢? 你认为还需要我们做些什么呢?

**证明(3)(作差法) a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc

?(a ? b)3 ? 3ab a ? b)? c3 ? 3abc ( ?(a ? b)3 ? c 3 ? 3ab a ? b ? c) (

?(a ? b ? c) a ? b)2 ?(a ? b) ? c2 ? 3ab a ? b ? c) ( c (
?(a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c2 ? ab ? bc ? ac) 1 ? (a ? b ? c)(a ? b)2 ?(b ? c)2 ?(c ? a)2 2 ?a, , ? 0 ? a3 ? b 3 ? c3 ? 3abc ? 0 bc

?

?

?

?

?a3 ? b3 ? c3 ? 3abc, (a, , ? 0) bc
(当且仅当a=b=c时等号成立) **证明(4)(代换法)

**(基本不等式3)

若a,b,c均为实数,则就有: 若a,b,c均为正数,则就有:

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc
当且仅当a=b=c时等号成立.

**(基本不等式4)

若a,b,c均为正数,则就有:

a?b?c 3 ? abc 3 当且仅当a=b=c时等号成立.

*问题4:类似地,利用基本不等式(4)可以解决哪类具体的 最值探求问题?
*若三个正数的和(a+b+c)为定值,其积abc在当a=b=c时

存在最大值为: (

a?b?c 3 ) 3

*若三个正数的积(abc)为定值,其和a+b+c在当a=b=c时

存在最小值为:

3? 3 abc

*问题5:如何利用上述结论解决容积最大问题?

*解答过程:

V ? x ?(1 ? 2x )?(1 - 2x )

1 (0 ? x ? ) 2
3

利用基本不等式(4)可得:

1 ? 4x ?(1 ? 2x)?(1 - 2x)? 1 V ? ?4x ?(1 ? 2x )?(1 - 2x )? ? ? ? 4 4? 3 ? 2 ? 27 1 当且仅当4x=1-2x时,即当 x ? 时,等号成立. 6
? Vmax 2 ? . 27

a b c *问题6:已知a,b,c>0,求证: ? ? ? 3. b c a
*解答过程:

由a,b,c>0,利用基本不等式(4)可得:
a b c a b c 3 ? ? ? 3? ? ? ? 3. b c a b c a

*感悟体会:

利用两类基本不等式探求最值问题的区别.

*通过本节课的学习与探究,你有哪些体会或收获*

*知识:基本不等式(3)(4)的条件和结论.

*方法:作差法;类比法;代换法;构造法.

*思想:猜想与论证.

*课本P60练习2.4(3):

1,2.

*(补充):某轮船每小时的燃料费与其速度的立方成正比,已
知速度为10千米/小时时的燃料费为每小时20元,其余费用 (不随速度而变化)为每小时320元. 当船速为多少时,航行

每千米的总费用最小?此时每小时的费用为多少?


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