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2.2等差数列(优秀课件)


第二章 2.2

数列

等差数列

第一课时

复习
一、数列的定义,通项公式:

按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2,a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
二、数列的简单表示:

三、给出数列的方法:

www.jkzyw.com

引入

(观察以下数列)

全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码

(表示鞋底长,单位:cm)分别是: 23 1 , 24, 24 1 , 25, 25 1 , 26, 26 1 , 27, 27 1 , 28, 28 1 , 29, 29 1 , 30. 2 2 2 2 2 2 2

某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7,19,31,43,55,67,79,91,103,115. 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)是: 7500,8000,8500,9000,10000,10500.

交流

这三个数列有何共同特征 从第2项起,每一项与其前一项之差等 于同一个常数。 请尝试着给具有上述特征的特殊数列 用数学的语言下定义

探究
1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。 (1)指出定义中的关键词: 从第2项起 每一项与其前一项的差 等于同一个常数

an?1 ? an ⑵由定义得等差数列的递推公式:

? d (d是常数)

说明:此公式是判断、证明一个数列是否为等差 数列的主要依据.

练习:判断下列数列中哪些是等差数列, 哪些不是?如果是,写出首项a1和公差d, 如 果不是,说明理由。

(1) 1, 1, 1, 1, 1. (2) 4, 7,10,13,16. (3) ? 3, ?2, ?1,1, 2,3. (4) ? 1, 2,3, 4,5, 6. (5) 5,9,13, , 4n ? 1, .
www.jkzyw.com

2、等差数列的通项公式

思考:已知等差数列{an }的首项为a1,公差为d,求an . 根据等差数列的定义得到 方法一:不 完全归纳法 a ? a ? d, a4 ? a3 ? d, a3 ? a2 ? d, 2 1

所以a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d

由此得到an ? a1 ? (n ?1)d

(n ? 2)

当n ? 1时,上面等式两边均为a1,即等式也成立

?等差数列的通项公式为an ? a1 ? (n ?1)d

2、等差数列的通项公式

思考:已知等差数列{an }的首项为a1,公差为d,求an .

a2 ? a1 ? d, a3 ? a2 ? d, a4 ? a3 ? d,
an ? an?1 ? d

}

n ? 1个

方法二 累加法

将所有等式相加得

an ? a1 ? (n ?1)d

例1 ⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.

⑵- 401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是, 是第几项? 解: ⑴由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49. ⑵由a1=-5,d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式 为an=-5-4(n-1). 由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程,得 n=100,即-401是这个数列的第100项.

例2

在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
a1+ 4d = 10 a1+11d=31 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组,解之得:

解:由题意得:

a1 = - 2
d=3 ∴这个数列的首项a1是-2,公差d =3. 小结:已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主要是联立 二元一次方程组。这种题型有简便方法吗?

结论
1、已知等差数列的首项与公差,可求得 其任何一项; 2、在等差数列的通项公式中,a1,d,n, an四个量中知三求一.

3.等差中项 如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 . 由等差中项的定义可知, a, A, b 满足关系:

a?b b? A ? A?a ? A ? ? b ? 2 A ? a?( 或a ? 2 A ? b ) 2 意义:
任意两个数都有等差中项,并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时,A = a = b .

4、等差数列通项公式的推广

思考:在等差数列{an }中,项an与am有何关系?
解析:由等差数列的通项公式得

an ? a1 ? (n ?1)d
am ? a1 ? (m ?1)d
? an ? am ? (n ? m)d .




① - ②得an ? am ? (n ? m)d .
an ? am 进一步可以得到 d ? . n?m

思考:已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,求 a12,a3n.
解法一: 依题意得: a1+2d=9 a1+8d=3 解之得 (n-1)=12-n
解法二:

a1 =11

d =-1∴这个数列的通项公式是:an=11故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.

1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7, 求数列{an}的公差
2.

2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10=

.

3.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,-3a-5,-10a-1, 则 a 等于( ) A. 1 B. -1

1 C.3

5 D. 11

作业

课本P40(A) 1、3、

(B) 2

第二章 2.2

数列

等差数列

第二课时

复习
1、等差数列的定义 an?1 ? an ? d (d是常数). 2、等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d. 通项公式的证明及推广 an ? am ? (n ? m)d. 3、等差数列的中项

a ? b A? 2

100与180

3 ?1与 3 ? 1

用一下
例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为 10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如 果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地, 且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?

例 3、已知数列{ an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是, 首项与公差分别是什么?
解: an

? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q]

? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p 为常数
∴{ an }是等差数列 首项 a1 ? p ? q ,公差为 p。

5、等差数列的通项及图象特征

思考: 已知数列的通项公式是an ? pn ? q (其中p,q是常数),那么这个数列 是否一定是等差数列?
取数列{an }中的任意相邻两项an ?1与a ( n n ? 2), an ? an ?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p. 这是一个与n无关的常数,所以{an }是等差数列.

思考

反之:等差数列的通项公式可以表示 为an ? pn ? q吗?
a ? a ? ( n ? 1) d ? dn ? ( a ? d ), n 1 1 解析: 设p ? d,q ? a1 ? d , 则an ? pn ? q.
反之亦成立。 其图象为落在一条直线上的点。

结论: 等差数列的通项公式是关于n的一次形式,

例如:
首项是1,公差是2的无穷等 差数列的通项公式为

an =2n-1
相应的图象是直线y=2x-1 上均匀排开的无穷多个孤 立的点,如右图

* 性质 :设 m,?n,? p,q 若 ? ?? N m ? n ? p ? q, 则

am ? an ? a p ? aq ?.

证明:am ? an ? a1 ? ( m ? 1)d ? a1 ? ( n ? 1)d ? 2a1 ? ( n ? m )d ? 2d , a p ? aq ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q )d ? 2d , ? a m ? a n ? a p ? aq .

等差数列的性质 数列{an}是等差数列,m、n、p、q∈N+, 且m+n=p+q,,则am+an=ap+aq。
判断: (1)a ? a ? a ? a 3 5 1 7

注意:等式两 (3)a1 ? a 5 ? a 6 ? a 2 ? a 3 ? a 7 边作和的项数 必须一样多 (4)a3 ? a 4 ? a 5 ? 3a4

(2)a1 ? a 4 ? a 6 ? a 3 ? a 8

可推广到三项, 四项等

(5)a3 ? a 4 ? a 5 ? 4a3

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? ak ? an?k ?1

练习1:已知{a n }为等差数列, a4 ? a6 ? 10, 求a5

练习2:已知{an }为等差数列, a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2,求a3 + a13 练习3:已知{an }为等差数列, a1 ? a8 ? a13 ? a18 ? 100,求a10

跟踪训练
(1)已知等差数列{an}中, a5

? 2, a10 ? 12, 求a15

(2)已知等差数列{an}中, a3 和a15是方程x2-6x-

1=0的两个根,则a7 +a8 +a9+a10+a11=

(3)已知等差数列{an}中, a3 +a5= -14, 2a2+ a6 = -15,则a8=

(4):已知{an }为等差数列, a5 ? 6, a8 ? 15,求a14

变式1:已知{a n }为等差数列, a 4 ? a 5 ? a6 ? a7 ? 56, a 4 a7 ? 187, 求a1,d
变式2:已知{an }为等差数列, a 2 ? a 5 ? a 8 ? 9, a 3a 5a7 ? ?21, 求数列通项公式

小结:
1. {an}为等差数列 ? an+1- an=d ? an+1=an+d ? an= a1+(n-1) d ? an= kn + b (k、b为常数)

2. a、b、c成等差数列 ? a?c ? ? b?
2

b为a、c 的等差中项AA

2b= a+c

3.更一般的情形,an=

an ? am am+(n - m) d ,d= n?m
am+an=ap+aq

4.在等差数列{an}中,由 m+n=p+q
注意:上面的命题的逆命题 是不一定成立 的;

5. 在等差数列{an}中a1+an

=

a2+ an-1 = a3+ an-2

=…

思考:已知数列{an }是等差数列, 则数列{bn }为等差数列的是( A、bn ? an C、bn ? an
2

D)

B、bn ? an D、bn ? 1- an

巩固练习 1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,-3a-5,-10a-1, 则 a 等于( ) A. 1 B. -1

提示: (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 ) 提示: d=an+1- an=-4

1 C.3

5 D. 11

2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= -35 . 3. 在等差数列{an}中a1=83,a4=98,则这个数列有 多少项在300到500之间? 40

2 2 提示: 300< 83+5×(n-1)500 ? 44 ? n ? 84 5 5
n=45,46,…,84

例4

例5 已知三个数成等差数列,它们的和是12,积
是48,求这三个数.
解:设三个数为a-d,a,a+d,则
?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 12 ? ? (a ? d )a(a ? d ) ? 48 ?a?4 解之得 ? ?d ? ?2

故所求三数依次为2,4,6或6,4,2

例6 如图,三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等 差数列,且AD=21cm,这三个正方形的面积之和是 179cm2. (1)求AB,BC,CD的长; 3,7,11
(2)以 AB,BC,CD的长为等差数列的前三项,以第 9项为边长的正方形的面积是多少? a9=35 S9=1225
A B C D

5、等差数列的性质 已知数列 { an }为等差数列,那么有 性质1:若 成等差数列,则 证明:根据等差数列的定义, m, p, n 成等差数列, . ? p 成等差数列 ? m ? n ? p,
m,? p,n(m, ? ? ? p,n ? ? N* ) am ,a p ,an

?(p ? m)d ? (n ? p)d.

?a p ? am ? an ? a p .
即 am ,a p ,an 成等差数列. 如 a1 ,a6 ,a11 成等差数列,a3 ,a6 ,a9 成等差数列. 推广:在等差数列有规律地取出若干项,所得新数列仍 然为等差数列。(如奇数项,项数是7的倍数的项)

* 性质2:设 m,?n,? p,q ? ?? N 若 m ? n ? p ? q, 则

am ? an ? a p ? aq ?.
? a m ? a n ? a p ? aq .

证明:am ? an ? a1 ? ( m ? 1)d ? a1 ? ( n ? 1)d ? 2a1 ? ( n ? m )d ? 2d , a p ? aq ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q )d ? 2d ,

性质3:设 c, b 为常数,若数列 {an } 为等差数列,则数 列 {an ? b} 及 {c ? an ? b}为等差数列.

{bn } 性质4:设 p, q 为常数,若数列 {an }、 均为等差数列, 则数列 { p ? an ? q ? bn } 为等差数列.

练习1:已知{a n }为等差数列, a4 ? a6 ? 10, 求a5

练习2:已知{a n }为等差数列, a1 ? a8 ? a1 3 ? a1 8 ? 100, 求a1 0

变式1:已知{a n }为等差数列, a 4 ? a 5 ? a6 ? a7 ? 56, a 4 a7 ? 187, 求a1,d
变式2:已知{an }为等差数列, a 2 ? a 5 ? a 8 ? 9, a 3a 5a7 ? ?21, 求数列通项公式

例8

(1)已知等差数列{an}中, a3 +a15=30,求a9,

a7+a11
+ 7

a =150,求a2+a8的值 解:(1)∵a9是a3和a15的等差中项 a3 ? a15 30 ? ? 15 ∴ a9 ? 2 2 ∵7+11=3+15 ∴ a7+a11 =a3 +a15=30

(2)已知等差数列{an}中, a3 +a4+a5 +a6

(2)∵3+7=4+6=5+5 ∴ a3+a7 =a4 +a6=2 a5 ∴ a3 +a4+a5 +a6 +a7=5 a5=150 即a5=30 故a2+a8 =2 a5=60

跟踪训练
(1)等差数列{an}中,a3 +a9+a15+a21=8,则a12 = 2 (2)已知等差数列{an}中, a3 和a15是方程x2-6x- 1=0的两个根,则a7 +a8 +a9+a10+a11= 15 2 (3)已知等差数列{an}中, a3 +a5= -14, 2a2+ a6 = -15,则a8= -19

例8
(2)已知等差数列{an}中, a3 +a4+a5 +a6
+ 7

a =150,求a2+a8的值 解:(1)∵a9是a3和a15的等差中项 a3 ? a15 30 ∴ a9 ? ? ? 15 2 2 ∵7+11=3+15 ∴ a7+a11 =a3 +a15=30

(2)∵3+7=4+6=5+5 ∴ a3+a7 =a4 +a6=2 a5 ∴ a3 +a4+a5 +a6 +a7=5 a5=150 即a5=30 故a2+a8 =2 a5=60



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