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第三章 第六节 正弦定理和余弦定理


第三章 第六节 正弦定理和余弦定理

一、选择题 1.在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c=( A.5 2 10 6 C. 3 B.10 2 D.5 6 )

解析:由于 A+B+C=180° ,所以 C=180° -60° -75° =45° . 2 2 10 6 sin C 由正弦定理,得 c=a =10× = . sin A 3 3 2 答案:C 2.已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ 3,则此三角形的最大内角的度数是 ( A.60° C.120° B.90° D.135° )

解析:∵在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c, ∴a∶b∶c=1∶1∶ 3,设 a=b=k,c= 3k(k>0),最大边为 c,其所对的角 C 为最大 角,则 cos C= 答案:C 3.(2011· 浙江高考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B=( A.- 1 2 ) 1 B. 2 D.1 k2+k2-? 3k?2 1 =- ,∴C=120° . 2 2×k×k

C.-1

解析:∵acos A=bsin B,∴sin Acos A=sin2B, ∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1. 答案:D 4.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为( 4 A. 3 C.1 ) B.8-4 3 2 D. 3

解析:由(a+b)2-c2=4,得 a2+b2-c2+2ab=4. ①

由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C=2abcos 60° =ab, 4 将②代入①得 ab+2ab=4,即 ab= . 3 答案:A



5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A=( A.30° C.120° ) B.60° D.150°

解析:由 sin C=2 3sin B 可得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 3 由余弦定理得 cos A= = = ,于是 A=30° . 2bc 2bc 2 答案:A 6.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,AB=2,AC=1,∠BAD=30° ,则 AD 的长度为 ( A. 3 C. 5 B. 3 2 )

D.2

解析:延长 AD 到 M,使得 DM=AD,连接 BM、MC,则四边形 ABMC 是平行四边 形.在△ABM 中,由余弦定理得 BM2=AB2+AM2-2AB· AM· cos∠BAM,即 12=22+AM2 -2· 2· AM· cos 30° ,解得 AM= 3,所以 AD= 答案:B 二、填空题 π 1 7.(2011· 北京高考)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a=________. 4 3 1 5× 3 5 2 a b 解析:根据正弦定理 = ,得 a= = . sin A sin B 3 2 2 答案: 5 2 3 3 . 2

8.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,S 是△ABC 的面积, 且 4S=a2+b2-c2,则角 C=________. 解析:由 4S=a2+b2-c2,得 2S= 所以 absin C= a2+b2-c2 . 2

a2+b2-c2 ,sin C=cos C,所以 tan C=1. 2

π C= . 4 答案: π 4

9. (2011· 安徽高考)已知△ABC 的一个内角为 120° , 并且三边长构成公差为 4 的等差数 列,则△ABC 的面积为__________. 解析: 不妨设角 A=120° , c<b, 则 a=b+4, c=b-4, 于是 cos 120° = 1 1 =- ,解得 b=10,所以 S= bcsin 120° =15 3. 2 2 答案:15 3 三、解答题 10.(2012· 南京模拟)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 解:(1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 故 cos B= 2 ,因此 B=45° . 2 2+ 6 . 4 b2+?b-4?2-?b+4?2 2b?b-4?

(2)sin A=sin(30° +45° )=sin 30° cos45° +cos 30° sin 45° = 故 a=b× c=b× 2+ 6 sin A = =1+ 3. sin B 2

sin C sin60° =2× = 6. sin B sin45°

11.(2011· 山东高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 cos A-2cos C 2c-a = b . cos B sin C 的值; sin A

(1)求

1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4 a b c 解:(1)由正弦定理得,设 = = =k, sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A = . cos B sin B

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π, 所以 sin C=2sin A. 因此 sin C =2. sin A sin C =2 得 c=2a. sin A

(2)由

1 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B= ,b=2, 4 1 得 4=a2+4a2-4a2× . 4 解得 a=1, 从而 c=2. 1 又因为 cos B= ,且 0<B<π, 4 所以 sin B= 15 , 4

1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4 1 12.已知向量 m=(sin A, )与 n=(3,sin A+ 3cos A)共线,其中 A 是△ABC 的内角. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 的面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状. 解:(1)因为 m∥n, 3 所以 sin A· (sin A+ 3cos A)- =0, 2 所以 即 1-cos 2A 3 3 + sin 2A- =0, 2 2 2

3 1 π sin 2A- cos 2A=1,即 sin(2A- )=1. 2 2 6

π π 11π 因为 A∈(0,π),以 2A- ∈(- , ). 6 6 6 π π π 故 2A- = ,即 A= . 6 2 3 (2)由余弦定理,得 4=b2+c2-bc, 1 3 又 S△ABC= bcsin A= bc, 2 4 而 b2+c2≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4(当且仅当 b=c 时等号成立),

1 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= bc≤ ×4= 3, 2 4 4 当△ABC 的面积最大时,b=c, π 又 A= ,故此时△ABC 为等边三角形 3


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