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双曲线和抛物线总结及例题


内容 第一定义 第二定义 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差等于常数 (小于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹叫双曲线。 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数 e(e ? 1) 的点的轨迹叫双曲线。

图形

标准方程 范围 顶点与实 虚轴的长

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? o) a2 b2 | x |? a, y ? R
A1 (?a,0), A2 (a,0), 实轴长 ? 2a 虚轴长 ? 2b, a ? b叫等轴双曲线

y 2 x2 ? ? 1(a, b ? o) a 2 b2 x ? R,| y |? a
A1 (0, ?a), A2 (0, a), 实轴长 ? 2a 虚轴长 ? 2b, a ? b叫等轴双曲线

焦点焦距

F1 (?c,0), F2 (c,0) | F1 F2 |? 2c(其中c ? a ? b )
2 2 2

F1 (0, ?c), F2 (0, c) | F1 F2 |? 2c(其中c 2 ? a 2 ? b2 )

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

当 P( x0 , y0 ) 在右支上时 左 PF1 ? ex0 ? a, 右PF2 ? ex0 ? a

当 P( x0 , y0 ) 在上支上时 下 PF1 ? ey0 ? a, 上PF2 ? ey0 ? a 当 P( x0 , y0 ) 在下支上时 下 PF1 ? ?(ey0 ? a), 上PF2 ? ?(ey0 ? a)

几 何 性 质

焦半径 当 P( x0 , y0 ) 在左支上时 左 PF1 ? ?(ex0 ? a), 右PF2 ? ?(ex0 ? a) 渐近线方 程 焦准距 离心率 准线间距 对称性 通径 焦点三角 形

b x2 y 2 y ? ? x(或 2 ? 2 ? 0) a a b
p?c? a 2 b2 ? c c

a y 2 x2 y ? ? x(或 2 ? 2 ? 0) b a b

c b e ? (e ? 1), ? e2 ? 1 ( e 越小,双曲线开口越小),等轴双曲线的 e ? 2 a a

2a 2 c 双曲线都是关于 x, y 轴成轴对称,关于原点成中心对称 d? 2b2 a 双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形,解题中常用余弦定理和勾股定 理来进行相关的计算 q?

双曲线
一、选择题

文科

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 ( ) 10 2 (A)3 2 (B)4 2 (C)3 3 (D)4 3 2 2 x y 2.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的两条 a b 1 渐近线的交点分别为 B, C, 若 AB ? BC , 则双曲线的离心率是 ( ) 2 (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 10 2 2 x y ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 3.双曲线 ) 4 12 (A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1 6 4.下列曲线中离心率为 的是( ) 2 2 2 2 2 x y x y x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 (A) 2 4 4 2 4 6 4 10
1.双曲线

x2 y 2 5.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,BF⊥x 轴, 直 a b 线 AB 交 y 轴于点 P.若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( ) 1 1 3 2 (A) (B) (C) (D) 3 2 2 2 x2 y2 6.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程 a b
为 ( ) (B) y ? ?2 x (C) y ? ? (A) y ? ? 2 x

2 x 2

(D) y ? ?

1 x 2

7.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示的曲线可 能是( ) y o

y o

y o

y o

x

x

x

x

A

B

C

D

8.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2,则 a 等于( a 2 32

) A2

B

3

C

3 2

D 1

二、填空题 9.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0. 以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点 和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .[

10.(2009 上海春文 7)过点 A( 4, ? 1 ) 和双曲线

x2 y2 ? ? 1 右焦点的直线为 9 16

.

11.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2, 焦点到渐近线的距离为 6, 则该双曲线的离心率 为 .

12. 已知 F 是双曲线 的最小值为

x2 y2 ? ? 1 的左焦点, (1,4) A ,P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA| 4 12


三、解答题 13.已知双曲线与椭圆

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程. 3 49 24

14.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1, P 是双曲线上一点. 4

(1)求证 P 点到双曲线两条渐进线的距离的乘积是一个定值;(6 分) (2)已知点 A(3,0) ,求 PA 的最小值. (9 分)

项目

内容

定义

平面内到定点 F 的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。

图形

标准方程 范围 开口方向 焦准距 顶点坐标

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
x ? 0, y ? R

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
x ? 0, y ? R

x2 ? 2 py ( p ? 0)
y ? 0, x ? R

x2 ? ?2 py ( p ? 0)
y ? 0, x ? R

向右

向左
p( p ? 0)

向上

向下

坐标原点(0,0)

几 何 性 质

焦点坐标 准线方程 对称轴 离心率 通径长 焦半径

p F ( ,0) 2 l:x?? p 2

p F (? ,0) 2 l:x? p 2
e ?1

p F (0, ) 2 l:y?? p 2

p F (0, ? ) 2 l:y? p 2

x轴

x轴
2p

y轴

y轴

| PF |? x0 ?

p 2

| PF |?

p ? x0 2

| PF |? y0 ?

p 2

| PF |?

p ? y0 2

一、焦点弦的结论: (针对抛物线: y 2 ? 2 px 其中 p ? 0 ) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 为过焦点

p 2p F ( ,0) 的弦,则 1、焦点弦长公式: AB ? x1 ? x2 ? p ? 2 p ? 2 p cot 2 ? ? 2 2 sin ? 2、通径是焦点弦中最短的弦,其长为 2 p 3 p2 , y1 y2 ? ? p2 , OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? p2 4 4 4、以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切
3、 x1 x2 ? 5、已知 A 、 B 在准线上的射影分别为 A1 、 B1 ,则三点 A 、 O 、 B1 共线,同 时 B 、 O 、 A1 三点也共线 6、已知 A 、 B 在准线上的射影分别为 A1 、 B1 ,则 ?A1 FB1 ? 90 7、
1 1 2 ? ? | AF | | BF | p

二、顶点直角三角形:直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个 定点 P(2 p,0) ,反之,过定点 P(2 p,0) 的弦所对的顶点角为直角。 三、从抛物线的焦点出发的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行。 一、选择题

1.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 、 P 3 ( x3 , y3 ) 在抛物线上, 且 2 x2 ? x1 ? x3 ,则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP2 ? FP 1 ? FP 3 ) B. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 D. FP2 ? FP 1 ? FP 3
2
2

2

2

2

A F (O 2.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若 ?O
为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( (A) y 2 ? ?4 二、填空题 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O,且过点 P(2,4), 则该 抛物线的方程是 . . (B) y 2 ? ?8x ) (D) y 2 ? 8x

(C) y 2 ? 4 x

4.若直线 ax ? y _ 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则 a= 5.抛物线 y 2 ? x 的准线方程是 .
0

6.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F作倾斜角为45 的直线交抛物线于A、B两点,线段AB的 长为8,则 p ?

? 2 7. 过 点 A ( 1 , 0 ) 作 倾 斜 角 为 4 的 直 线 , 与 抛 物 线 y ? 2 x 交 于 M 、N 两 点 , 则
MN =




8.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,直 线 y ? x 与抛物线 C 交于 A,B 两点, 若 P(2,2) 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 三、解答题 9.设 b ? 0, 椭圆方程为 .

x2 y2 ? ? 1 抛物线方程为 x 2 ? 8( y ? b). 2 2 2b b 如图所示, 过点 F (0, b ? 2)作x 轴的平行线,与抛物线在第一象限
的交点为 G.已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1.求满足 条件的椭圆方程和抛物线方程。

10.已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m,4)到其焦点的距离为
2

17 .求 p 与 m 的值。 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 和上顶点 D, 椭 a 2 b2 10 圆 C 的右顶点为 B , 点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点, 直线 AS , BS 与直线 l : x ? 分 3 别交于 M , N 两点。
11. 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C : (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 长度的最小值。

四、证明题 12.若 AB 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦(过焦点的弦) ,且 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 求证:

x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 。 4

13.已知直线 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F,求证: 1 ? 1 为定值。
AF BF


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