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广东省广州市2012年高考调研交流试题(数学文)

届高三下学期一模调研交流数学( 广东省广州市 2012 届高三下学期一模调研交流数学(文) 试题
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟, 参考公式:1.锥体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 1 [( x1 ? x) 2 + ( x2 ? x) 2 + L + ( xn ? x) 2 ] n

2.数据 x1,xl,…,xn 的方差 s =
2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.集合 A={(x,y)| x,y∈z,且|x|+|y|<1}的元素个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 2.函数 f ( x) = ln x ? 1 的定义域为 A.(e,+∞) B.[e,+∞) C. (O,e] D.(-∞,e] 3.已知复数 z 满足(l-i)z=1+3i(i 是虚数单位) ,则 z= A.-2+i B.2-i C.1-2i D.-1+2i 4.等差数列{an}的前 n 项和为 sn=n +2n+a+2,则常数 a= A. -2 B.2 C.0 D.不确定
2

5.已知平面向量 a = (1,3), b = (?3, x) ,且 a // b = ,则 a ? b = A. -30 B. 20 C. 15 D.0
2 Z

6.已知直线 l:x+y=m 经过原点,则直线 l 被圆 x +y -2y=0 截得的弦长是 A.1 B. 2 C. 3 D.2

7.己知点 F1、F2 分别是双曲线 C:

x2 y2 ? = 1 的两个焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与 a 2 b2

双曲线 C 交于 A、B 两点,若△ABF2 为等边三角形,则该双曲线的离心率 e= A.2 B. 2 3 C.

2 3

D. 3

x2 ?1 = 0" 的 8.已知 x∈R, “x=l”是 " x
A.充分不必要条件 B。必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.某个锥体(图 1)的三视图如图根所示,据图中标出的尺寸,这个锥体的侧面积 S= A.6 B. 2 13π C. 6 + 13π
1 /8

D. 6 + 2 13π

10. ? ,b,c,d∈R,定义行列式运算 a

a b c d

= ad ? bc 。将函数 f ( x ) =

3 cos x 的 1 sin x

图象向右平移 ? ( ? >0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 ? 的最小值为 A.

π
6

B.

π
3

C.

2π 3

D.

5π 6

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11.如图 2 是求 12+22+32+...+1002 值的程序框图, 则判断框中正整数,n=____ 12。现有三台自动包装机,包装每袋 100 克药品。 为了解它们的质量,对它们包装出来的产品进行 抽样调查,将得到的数据分别绘制成频率分布直 方图(如图 3) ,根据直方图可知,这三台药品包装机的质量从高到低的顺序是____.

13.锐角△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 所对的边, (.a 2 + c 2 ? b 2 ) ? tan B = 则 B=____ (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 4,四边形 ABCD 中, ∠A=∠B=90°,AD:AB:BC=3:4:6,E、F 分 别是 AB、CD 上的点,AE:AB=DF:DC =1:3.

3ac

若四边形 ABCD 的周长为 1,则四边形 AEFD 的周长为____ 15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(p,θ)(0<θ<2π)中,圆 C 的极坐标方程为

2 /8

ρ = 2 cosθ ? 2 3 sinθ ,则圆心的极坐标为____
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (三角函数 14 分) 如图 5,某地一天 6~16 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+ ? )+b, 其中 A>O,ω>O, 0<ω<π. (1)求这一天 6~16 时的最大温差; (2)根据图象确定这段曲线的函数解析式, 并估计 16 时的气温大概是多少℃? (结果精确到 0.1 ℃.,参考数据:

2 ≈ 1.414

3 ≈ 1.732)

17. (本小题满分 12 分) 某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了 100 份问卷进行统 计,得到相关的数据如下表:

(1)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关? (2)据了解到,全小区节能意识强的人共有 350 人,估计这 350 人中,年龄大于 50 岁的 有多少人? (3)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽 5 人,再从这 5 人中任取 2 人,求恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁的概率。

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,在四面体 PABC 中,PA=PB,CA=CB,D、E、F、G 分别是 PA,AC、CB、BP 的中点. (1)求证:D、E、F、G 四点共面; (2)求证:PC⊥AB; (3)若△ABC 和 PAB 都是等腰直角三角形,且 AB=2,PC =
3 /8

2 ,求四面体 PABC 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

x2 y2 6 短轴一个端点到 2 + b 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 a 3

右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 y=x 与椭圆 C 在第一象限相交于点 A, 试探究在椭圆 C 上存在多少个点 B, 使△ OAB 为等腰三角形. (简要说明理由,不必求出这些点的坐标)

20. (本小题满分 14 分) 数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是不为零的常数,n∈N*) ,且 a1,a2.a3 成等比数列. (1)求 c 的值; (2)求{an}的通项公式; (3)求数列 {

an ? c }的前 n 项之和 Tn. n ? cn

21(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = ln x ?

1 2 ax + x 2

(1)当 a=2 时,求 f(x)的最大值; (2)令 F ( x) = f ( x) +

1 2 a ax ? x + (0 < x ≤ 3) ,以其图象上任意一点 P(xo,yo)为切点的 2 x
4 /8

切线的斜率 k ≤

1 恒成立,求实数 a 的取值范围: 2
2

(3)当 a=0 时,方程 mf(x)=x 有唯一实数解,求正数 m 的值.

5 /8

文科数学参考答案
一、选择题 CBDAA BDCCB 二、填空题 11.101 12.甲丙乙(只对一个,例如“甲乙丙” ,给 2 分) 13.

π
3

14.

5 9

15. (2,

5π ) 3

三、解答题(以下解答与评分供参考,等价或有效解答都要相应给分) 16.解(1)最大温差为 15-(-5)=20(℃)……3 分(列式 1 分,结果数值 1 分,单位 1 分) (2)依题意,A=10,b=5……5 分 T=2×(14-6)=16 ………6 分 ,

T=



ω

= 16,ω =

π
8

……7 分,

由 10sin( × 6 + ?) + 5 = ?5 ……8 分,且 0< ? <π,解得 ? =

π

8

3π ……10 分 4

π 3π y = 10 sin( x + ) + 5, x ∈[6,16] ……12 分(函数解析式与定义域各 1 分) 8 4
x=16 时, y = 10 sin( ×16 +

π

8

3π ) + 5 ……13 分, 4

≈ 12.1 ( ℃ ) 14 分 17.解(1)因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强,大于 50 岁的 46 人有 36 人节能意识 强,

9 36 与 相差较大……1 分,所以节能意识强弱与年龄有关……3 分 54 46

(2)年龄大于 50 岁的有

36 × 350 = 280 (人)……6 分(列式 2 分,结果 1 分) 45 9 = 1 (人)……7 分, 45

(3)抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的 5 ×

年龄大于 50 岁的 4 人……8 分,记这 5 人分别为 A,B1,B2,B3,B4。 从这 5 人中任取 2 人,共有 10 种不同取法…9 分,完全正确列举…10 分,设 A 表示随 机事件“这 5 人中任取 2 人,恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁” ,则 A 中的基本事件有 4 种:完 全正确列举…11 分,故所求概率为 P( A) =

4 2 = ……12 分 10 5

18.证明与求解(1)依题意 DG//AB……1 分,EF∥AB…2 分, 所以 DG//EF……3 分,DG、EF 共面,从而 D、E、F、G 四点共面……4 分。 (2)取 AB 中点为 O,连接 PO、CO……5 分

6 /8

因为 PA=PB,CA=CB,所以 PO⊥AB,CO⊥AB……7 分, 因为 PO∩CO=D,所以 AB⊥面 POC……8 分 PC ? 面 POC,所以 AB⊥PC……9 分 (3)因为△ABC 和 PAB 是等腰直角三角形,所以 PO = CO = 因为 PC =

1 AB = 1 …10 分, 2

2 , OP 2 + OC 2 = PC 2 , 所以 OP⊥OC……11 分,

又 PO⊥AB,且 AB∩OC=O,所以 PO⊥面 ABC……12 分

1 1 1 1 VP? ABC = × PO× S?ABC = ×1× 2 ×1× = ……14 分(公式 1 分,其他 1 分) 3 3 2 3
19.解(1)由于短轴一个端点到右焦点的距离为 3,则 a=3……1 分, 因为 e =

c 6 2 2 2 ……2 分,所以 c = 6 …3 分,b =a -c =9-6=3……4 分, = 3 a

所以椭圆 C 的方程为:

x2 y2 + = 1 …5 分 9 3

? x2 y2 3 3 3 ? + =1 3 (2)解 ? 9 (x>0),得 x = y = , 即 A( , ) ……6 分 2 2 2 ?y = x ?
以 O 为顶点的等腰三角形△OAB 有两个…7 分, 此时 B 为 A 关于 x 轴或 y 轴的对称点…8 分,以 A 为顶点的等腰三角形△OAB 有两个……9 分,此时 B 为以 A 为圆心、AO 为半径的圆 弧与椭圆 C 的交点…10 分, AO 为底边的等腰三角形△OAB 有两个……11 分, 以 此时 B 为 AO 的垂直平分线与椭圆 C 的交点…12 分。因为直线 y=x 倾斜角为

π , 所以以上等腰△OAB 不可 4

能是等边三角形…13 分,即以上 6 个三角形互不相同,存在 6 个点 B,使△OAB 为等腰三角 形…14 分。 20,解(1) a 2 = a1 + c = 2 + c, a3 = a 2 + 2c = 2 + 3c ……2 分,依题意
2 ,c=2……4 分 a 2 = a1 ? a 3 ……3 分,即 ( 2 + c ) 2 = 2 ( 2 + 3c ) ,解得 c=0(舍去)

(2)n≥2 时, a2 ? a1 = 2, a3 ? a2 = 4, … an ? an?1 = 2(n ?1) 5 分, 以上各式相加得 an ? a1 = 2 + 4 + L + 2(n ? 1) = n(n ? 1) ……6 分, a n = n 2 ? n + 2 …7 分, n=l 时, a1 = 2 = 12 ? 1 + 2 ,所以 ?n ∈ N *, an = n 2 ? n + 2 ……8 分 (3)

an ? c n ?1 1 2 3 n ? 2 n ?1 = n ……9 分, Tn = 2 + 3 + 4 L + n?1 + n (n > 1) ……10 分 n n?c 2 2 2 2 2 2 1 2 3 n ? 2 n ?1 + 2 + 3 L + n?2 + n?1 ……11 分,以上两式相减得 2 2 2 2 2
7 /8

2Tn =

Tn =

n +1 1 1 1 1 n ?1 + 2 + 3 + L + n?1 ? n ……12 分, = 1 ? n ……l3 分, 2 2 2 2 2 2 = 1 ?1 1+1 n +1 = 0 = 1 ? 1 ,所以 ?n ∈ N*,Tn = 1? n ……14 分 1 2 2 2
2 /

因为 T1

21 解(1)a=2 时, f ( x) = ln x + x ? x , f ( x) =

1 + 1 ? 2 x ……1 分, x

解 f'(x)=0 得 x=l 或 x = ? (舍去)……2 分,当 x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调增加, 当 x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调减少……3 分, 所以 f(x)的最大值为 f(l)=0……4 分 (2) F ( x ) = ln x + 由k ≤

1 2

a 1 a (0 < x ≤ 3), k = F ' ( x0 ) = ? 2 (0 < x0 ≤ 3) ……6 分 x x0 x0

1 1 2 10 1 恒成立得 a ≥ x0 ? x0 = ? ( x0 ? 1) 2 + 恒成立……7 分 2 2 2 2 1 1 1 因为 ? ( x0 ? 1) 2 + ≤ ,等号当且仅当 xo=1 时成立……8 分, 2 2 2 1 所以 a ≥ ……9 分 2
(3)a=O 时,方程 mf(x)=x 即 x -mx-mlnx=0,设 g(x)=x -mx-mlnx,解
2 2 2

g ' ( x) = 2 x ? m ?

m ? m 2 + 8m m (<0 舍去), = 0 ……10 分,得 x1 = x 4

x2 =

m + m 2 + 8m 类似(1)的讨论知,g(x)在 x∈(0,X2)单调增加,在 x∈(x2,+∞)单调 4

减少,最大值为 g(x2)……11 分, 因为 mf(x)=x2 有唯一实数解,g(x)有唯一零点,所以 g(x2)=0…12 分, 由?

? g ' ( x2 ) = 0 得 x2 + 2 ln x2 ? 1 = 0 ,因为 h(x)=x+lnx-l 单调递增,且 h(1) =O,所以 ? g ( x2 ) = 0

x2=1……13 分,从而 m=1……14 分。

8 /8



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