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高考数学考前100个温馨提醒学生用


河南省首批示范性高中扶沟高中

2015 年高考数学第三轮备考

2016 年 5 月 17 日星期二

高考数学考前 100 个温馨提醒(知识、方法与易错题)
编辑:温馨
一、集合与逻辑
1、区分集合中元素的形式: 如: ?x | y ? lg x?—函数的定义域; ?y | y ? lg x?—函数的值域;?( x, y) | y ? lg x? —函数图象上的点集
2 (1)设集合 M ? {x | y ? x ? 3} ,集合 N= y | y ? x ? 1, x ? M ,则 M ? N ? ___;

审核:王抓纲

总编审:张保安

?

?

(2)设集合 M ? {a | a ? (1,2) ? ?(3,4), ? ? R}, N ? {a | a ? (2,3) ? ?(4,5) , ? ? R} ,则 M ? N ? _ 2、条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况 如: A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ? ,求 a 的取值。
n 3、含 n 个元素的集合的子集个数为 2 ,真子集个数为 2 ? 1 ;非空真子集的个数为 2 ? 2 ;
n n

? ?

? ?

如:满足 {1, 2} ? ? M ? {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有______个. 4、 card ( A ? B) ? card ( A) ? card ( A) ? card ( A ? B) ; 5、A∩B=A ? A∪B=B ? A ? B ? CUB ? CUA ? A∩CUB= ? ? CUA∪B=U; 6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题. 如:已知函数 f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1 在区间 [ ?1,1] 上至少存在一个实数 c ,使
2 2

f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围.
7、原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ?p ? ?q ;逆否命题: ?q ? ?p ; 互为逆否的两个命题是等价的. 注意:命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p ? q 的否定是 p ? ?q ;否命题是 ?p ? ?q 如:“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的 命题“p 或 q”的否定是 ,“p 且 q”的否定是 熟悉逻辑推理,条件关系,集合关系的互相转化.如:“ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的 8、若 p ? q 且 q ?? p ;则

条件

二、函数与导数
9、指数式、对数式:如: ( )

1 2

log

2

8

的值为________. (答:

1 ) 64

10、二次函数①解析式三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)(对称轴?顶点?当 b=0 时为偶 第 1 页 共 1 页

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函数);顶点式 f(x)= a( x ? h)2 ? k ;零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) (轴?); ②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如:若函数

y?

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2

③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 11、反比例函数: y ? 12、对勾函数 y ? x ?

c (c ? 0) 平移 x
a : x

13、单调性①定义法;②导数法; 如:已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是___. .如:已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的 取值范围。 ③复合函数:由同增异减判定;④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式;⑥注意定义域; 如:函数 y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的单调递增区间是________(答: (1,2)).
2

?

?

14、奇偶性:f(x)是偶函数 ? f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 ? f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数 过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是该函数为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件. 15、周期性.(1)由周期函数的定义“函数 f ( x ) 满足 f ?x ? ? f ?a ? x ? (a ? 0) ,则 f ( x ) 是周期 为 a 的周期函数”.如: (1)设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数,f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时,

f ( x) ? x ,则 f (47.5) 等于_____
(2)类比“三角函数性质”得: ①若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b( a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期 为; ②若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周 期为 ③ 如 果 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 有 一 个 对 称 中 心 A(a, 0) 和 一 条 对 称 轴 x ? b(a ? b) , 则 函 数

y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为;如:已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函
数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至少有___个实数根. 16、常见的图象变换 第 2 页 共 2 页

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①函数 y ? f ?x ? a ? 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左 ( a ? 0) 或向右 ( a ? 0) 平移

a 个单位得到的.
如:要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____平移 3 个单位而得到。②函数 y ? f ?x ? + a 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上 ( a ? 0) 或向 下 ( a ? 0) 平移 a 个单位得到的; 如:将函数 y ?

b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与原 x?a

图 象 关于 直线 y ? x 对 称 , 那 么( ) ( A)a ? ?1, b ? 0 ( B)a ? ?1, b ? R

(C )a ? 1, b ? 0

( D)a ? 0, b ? R
③函数 y ? f ?ax? ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸( 0 ? a ? 1 )缩( a ? 1 )为

1 1 得到的.如: (1)将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不 a 3 变) ,再将此图像沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为_____; (2)如若函数
原来的

y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对称轴方程是__④函数 y ? af ?x ? (a ? 0) 的图象是
把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 y 轴伸( a ? 1 )缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到的. 17、函数的对称性.
2 如:已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有

等根,则 f ( x) =_____. 如:己知函数 f ( x) ?

x ?3 3 ,( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C1 ,它关于直线 y ? x 对称图像是 2x ? 3 2

C2 , C2 关于原点对称的图像为 C3 , 则C3 对应的函数解析式是___.
如:已知函数 f ( x) ? 图形.
2 如:若函数 y ? x ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x) =______.
2 如: 已知函数图象 C ? 与 C : y( x ? a ? 1) ? ax ? a ? 1 关于直线 y ? x 对称, 且图象 C ? 关于点 ( 2,

x ?1? a (a ? R) .求证:函数 f ( x) 的图像关于点 M (a, ?1) 成中心对称 a?x

第 3 页 共 3 页

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河南省首批示范性高中扶沟高中 -3)对称,则 a 的值为______

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如: (1)作出函数 y ?| log 2 ( x ? 1) | 及 y ? log2 | x ? 1| 的图象; (2) 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于____对称. 18、求解抽象函数问题的常用方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究.几类常见的抽象函数: ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) ②幂函数型: f ( x) ? x2 ③指数函数型: f ( x) ? a x ④对 数函数型: f ( x) ? loga x ⑤三角函数型: f ( x) ? tan x 如: 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且为周期函数, 若它的最小正周期为 T, 则 f (?

T ) ? __ 2

(2)赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) 、递推法、反证法等) 进行逻辑探究. 如: (1)若 x ? R , f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x ) 的奇偶性是______ (2)若 x ? R , f ( x ) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x ) 的奇偶性是_ 19、函数三要素题型方法总结 (Ⅰ)判定相同函数:定义域相同且对应法则相同. (Ⅱ)求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法:已知所求函数的类型. 如:已知 f ( x ) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长 为 2 2 ,求 f ( x ) 的解析 (2)代换(配凑)法:已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x ) 的表达式. 如: (1)已知 f (1 ? cos x) ? sin x, 求 f x
2

? ? 的解析式。 )
2

(2)若 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____(3)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函 x x

数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =________ (3) 方程的思想: 对已知等式进行赋值, 从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组.如: (1) 已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x ) 的解析式. 第 4 页 共 4 页

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(2)已知 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) =

1 ,则 f ( x ) = x ?1

(Ⅲ) 求定义域:使函数解析式有意义如: (1) 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? , 则 fo ( lg 2 的定义域为 .

?1 ? ? ?

2

x)

(2)若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x ) 的定义域为_______. (Ⅳ)求值域 ①配方法:如:求函数 y ? x 2 ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 ②逆求法(反求法) :如: y ? 不等式,得出 y 的取值范 ③换元法:如: (1) y ? 2sin x ? 3cos x ?1的值域为_____。
2

3x x x 通过反解,用 y 来表示 3 ,再由 3 的取值范围,通过解 1 ? 3x

(2) y ? 2x ? 1 ? x ?1 的值域为_____(令 x ?1 ? t , t ? 0 .运用换元法时,要特别要注意 新元 t 的范围) ; ④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; 如: y ?

2 sin ? ? 1 的值域. 1 ? cos ?

⑤不等式法:利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) 求函数的最值.

(a1 ? a 2 ) 2 如:设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列,则 的取值范围是_____. b1b2
⑥单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域. 如:求 y ? x ?

1 9 (1 ? x ? 9) , y ? sin 2 x ? ,y?2 x 1 ? sin 2 x
2 2

x?2

? log 3 ? 5 ? x ? 的值域.

⑦数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域. 如: (1)已知点 P ( x, y ) 在圆 x ? y ? 1上,求 (2)求函数 y ?

y 及 y ? 2 x 的取值范围. x?2

( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2 的值域) ;

⑧判别式法: 如: (1) 求y? 的值域. 第 5 页 共 5 页

x x2 ? x ? 1 x?2 y ? y ? 的值域 ( . 2 ) 求函数 的值域 ( . 3 ) 求 1 ? x2 x ?1 x?3

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⑨导数法:如:求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x2 ? 40 x , x ?[?3,3] 的最小值. ⑩分离参数法:用 2 种方法求下列函数的值域: ①y?

3 ? 2x x2 ? x ? 3 x2 ? x ? 3 ( x ? [?1,1]) ;② y ? , x ? (??,0) ;③ y ? , x ? (??,0) ; 3 ? 2x x x ?1

(Ⅴ)解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证. (Ⅵ)恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题. a≥f(x)恒成立 ? a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立 ? a≤[f(x)]min; (Ⅶ)任意定义在 R 上函数 f ( x ) 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和. 即 f(x)= g ( x)+h( x) 其中 g(x)= f ( x) ? f ( ? x) 是偶函数,h(x)= f ( x) ? f (? x) 是奇函数 2 2 如: (1) 已知 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数, 当 0 ? x ? 3 时,f ( x ) y

cos x ? 0 的解集是_______ 的图像如右图所示,那么不等式 f ( x)?
? ( 2 ) 设 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , 对 任 意 x, y? R ,都有
?

1 x f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,又 f ( ) ?1 ,①求证 2 y

O 3 x

1 2

f ( x) 为减函数;②解不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 .
20、导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. V=s/(t)表示 t 时刻即时速度,a=v′(t)表示 t 时刻加速度.

y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x, y ? a x , y ? loga x
2 如:一物体的运动方程是 s ? 1 ? t ? t ,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 t ? 3 时

的瞬时速度为_____ 21、导数应用:?过某点的切线(即使点在曲线上)不一定只有一条;
3 如:已知函数 f ( x) ? x ? 3x 过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程..

3 ?研究单调性步骤如:设 a ? 0 函数 f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上单调函数,则实数 a 的取值范

围__. ?求极值、最值步骤:如: (1)函数 y ? 2x ? 3x ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值、最小值分别是
3 2

第 6 页 共 6 页

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__(2)已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在区间[-1,2 ]上是减函数,那么 b+c 有最__值__. (3)方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根的个数为__.
3 2

如:函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? a2在x ? 1 处有极小值 10,则 a+b 的值为____(答:-7)

三、数列
22、an={

S1 (n ? 1) S n ? S n?1 (n ? 2, n ? N * )

(注意验证)

{an}等差 ? an ? an?1 ? d (常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N *中项) 23、

? an ? an ? b(一次 )? Sn ? An2 ? Bn 常数项为 ( 的二次 0 );
?an 2 ? an-1 ? an ?1 (n ? 2,n ? N) a ? n ? q(定); ?an ? 等比 ? ? an ?1 an ? 0 ?

? an ? a1 ? qn?1 ? Sn ? m ? m ? qn ;m ? ?
如:若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = 24、求一般数列中的最大或最小项吗?求一般数列{an}的最大、最小项的方法(函数思想) : ①如:an= -2n2+29n-3;② (如:an=

9 n (n ? 1) ; 10n
n ; n ? 156
2

③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如:an=

如: (1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值.( (2) 若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的 最大正整数 n 是 25、等差数列中 an=a1+(n-1)d;Sn= na1 ?
n(n ? 1) n(n ? 1) n(a1 ? an ) d = nan ? d= 2 2 2
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q = 1? q 1? q
am ? an ;当 m+n=p+q,am+an=ap+aq; m?n

等比数列中 an= a1 qn-1;当 q=1,Sn=na1 当 q≠1,Sn=

26、常用性质:等差数列中, an=am+ (n-m)d, d ?

等比数列中,an=amqn-m; 当 m+n=p+q ,aman=apaq; 第 7 页 共 7 页

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如: (1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 = (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? 27、常见数列:{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、 ?

?1? ? 、{anbn}、 ? bn ?

? an ? a ? ? 等比;{an}等差,则 ?c ?(c>0)成等比,{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0 且 c ? 1)等差。 b ? n?
n

28、等差数列三数可设为 a-d,a,a+d;四数可设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d;等比三数可设 a/q,a,aq; 如:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数. 29、等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为 等差数列;等比数列{an}的任意连续 m 项的和且不为零时构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、 S4m - S3m、……仍为等比数列. 如:公比为-1 时, S4 、 S8 - S4 、 S12 - S8 、…不成等比数列. 30、等差数列{an},项数 2 n 时,S 偶-S 奇=nd, 项数 2n-1 时,S 奇-S 偶=an ;, S奇 ? a1 ? qS偶 . 31、求和方法:公式法、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构. 分组法:如:an=2n+3n ;错位相减法求和:如:an=(2n-1)2n; 裂项法求和:如:求和:1 ?
S偶 S奇 ?q;

1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

倒序相加法求和:

0 1 2 n 如:①求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ??? (2n ? 1)Cn ? (n ?1)? 2n ;

7 1 1 1 x2 ②已知 f ( x) ? ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) = 2 2 2 3 4 1? x
32、求通项方法: (1)已知数列的前 n 项和 Sn ,求通项 an ,可利用公式: an ? ? 如:数列 {an } 满足

?S1 ?Sn ? Sn?1

(n ? 1) (n ? 2)



1 1 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an (2)先猜后证; 2 2 2

(3)递推式为 an+1 = an + f ( n) (采用累加法); an+1 = an × f ( n) (采用累积法);

第 8 页 共 8 页

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如:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =________;

(4)构造法:形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列; 如:已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (5)倒数法:形如: an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项 kan ?1 ? b

如:①已知 a1 ? 1, an ?

an ?1 ,求 an ; 3an ?1 ? 1

②已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (6)此外对数法,不动点法,特征方程法 等.
2 2 2 33、常见和: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 1 ? 2 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,

2

6

13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [
四、三角

n(n ? 1) 2 ] 2

34、与 α 终边相同的角的集合(β=2kπ+α);
? 2 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,1 弧度(1rad) ? 57.3 ;

2

2

如:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积. 35、函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? b( ? ? 0, A ? 0 ) ①五点法作图; ②振幅?相位?初相?周期 T=
2? ? ,频率?φ=kπ 时奇函数;φ=kπ+ 时偶函数; 2 ?

③对称轴处 y 取最值,对称中心处值为 0(余弦正切可类比) 如: (1)函数 y ? sin ?

? 5? ? ? 2 x ? 的奇偶性是______ ? 2 ?

3 (2)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ?

(3)函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是______、______. (4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值. ④变换:φ 正左移负右移;b 正上移负下移; 第 9 页 共 9 页

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河南省首批示范性高中扶沟高中 36、正弦定理:2R=

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a b c b2 ? c 2 ? a 2 = = ;余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A , cos A ? ; sin A sin B sin C 2bc
1 2 1 2 1 2

内切圆半径:r=;面积公式: S ? ab sin C ? bc sin A? ca sin B 术语:坡度、仰角、俯角、方位角 37、同角基本关系:如: (1)已知

tan ? sin ? ? 3 cos ? ? ?1 ,则 =____; ( (2) tan ? ? 1 sin ? ? cos ?

sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =_________
38、诱导公式简记:奇变偶不变 ,符号看象限 .(注意:公式中始终视 ? 为锐角 ) ..... . ..... ... . ... . 39、重要公式: sin2 ? ? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ? 1 ? cos2? ; ;
2
2

如:函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ?

5 3( x ? R ) 的单调递增区间为_______ 2

巧变角:如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
如: (1)已知 tan(? ? ? ) ?

? ??
2



???
2

? ??

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2

? ?? ? ?
? 2 ?

等.

2 ? ? 1 ,tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____.; (2)已知 ? , ? 5 4 4 4 3 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为______.) 5 b 2 2 40、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? a ? b sin ? x ? ? ? (其中 tan ? ? )如: a
(1)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______ (2)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? =

五、平面向量
41、向量定义、向量模与夹角、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做 相反向量. a 的相反向量是- a )、共线向量、相等向量. 注意:不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 42、加、减法的平行四边形与三角形法则: AB ? BC ? AC ; AB ? AC ? CB 43、 a ? b ? a ? b ? a ? b , 44、向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ① a ? b ? a ?b ? 0 ; 第 10 页 共 10 页

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②当 a , b 同向时, a ? b = a b ,特别地, a ? a ? a ? a , a ? 当 a 与 b 反向时, a ? b =- a b ;

? ? ? ?

?2

? ?

?2 ?

?2 a ;

当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件; 当 ? 为钝角时, a ? b <0,且 a、 b 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件; ③ | a ? b |?| a || b | ; 如: 已知 a ? (? ,2? ) ,b ? (3? ,2) , 如果 a 与 b 的夹角为锐角, 则 ? 的取值范围是______ (45、 向量 b 在 a 方向上的投影:︱ b ︱cos ? =
? ?
? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

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a ?b a



46、 e1 和 e2 是平面一组基底,则该平面任一向量 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ( ?1 , ?2 唯一);
??? ? ??? ? 特别: OP = ?1OA ? ?2 OB ,则 ?1 ? ?2 ? 1 是三点 P、A、B 共线的充要条件.

?

?

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?

如:平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) ,若点 C 满足 OC ?

? ??

?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______
47、在 ?ABC 中,① PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,

? ??

? ??

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

3 ??? ? ??? ? ??? ? ? 特别地: PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心;
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

② PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心;

??? ? ???? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线); AB ? ? ???? ③向量 ? ( ??? | AB | | AC |
④ | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心; ⑤S⊿AOB= 1 x A y B ? xB y A ;
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?

如: (1)若 O 是 ?ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ? ABC 的 形 状 为 ____ ( 2 ) 若 D 为 ?ABC 的 边 BC 的 中 点 , ?ABC 所 在 平 面 内 有 一 点 P , 满 足 第 11 页 共 11 页

??? ? ????

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | AP | ? ? ? , 则 ? 的 值 为 ___ ( 3 ) 若 点 O 是 △ABC 的 外 心 , 且 PA ? BP ? CP ? 0 , 设 ??? | PD |
???? ???? ???? ? OA? OB? C O ?0 ,则 △ABC 的内角 C 为__

48、P 分 P1 P2 的比为 ? ,则 P1 P = ? P P2 ; ? >0 内分; ? <0 且 ? ≠-1 外分; 向量式: OP = OP1 ? ? OP2 ;若 λ=1,则 OP =
1? ?

1 ( OP + OP2 ); 1 2

设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)
x ? ?x 2 ? x ? x2 ? x ? x2 ? x3 ? x? 1 , x? 1 , x? 1 , ? ? ? ? ? ? 1? ? 3 2 则? ;中点 ? 重心 ? (注:对空间向量也适用) ?y ? y1 ? y 2 ? y 3 . ? y ? y1 ? ?y 2 . ? y ? y1 ? y2 . ? ? ? 3 ? 1? ? ? 2 ?

???? ? ? x ? ? x ? h ? 49、点 P( x, y) 按 a ? (h, k ) 平移得 P?( x?, y?) ,则 PP? = a 或 ?

? y? ? y ? k ? 函数 y ? f ( x) 按 a ? (h, k ) 平移得函数方程为: y ? k ? f ( x ? h)

? ? 如: (1)按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7, 2) 平移到点
?

_.
?

(2)函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos 2 x ? 1 ,则 a = ________.注:将向量 a ? (2,1) 按 b 平移, a 会变化吗?为什么?

?

?

?

六、不等式
50、注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则

1 1 ? .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变. a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类 讨论. 如:已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______.; 51、比较大小的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式) ; (3)分析法; (4)平方法; (5)分子(或分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7)寻找 中间量与“0”比,与“1”比或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法. 如: (1)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较 (2)设 a ? 2 , p ? a ? 第 12 页 共 12 页

1 t ?1 log a t和 log a 的大小. 2 2

2 1 , q ? 2 ? a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小。 a?2 数学 扶沟高中的领跑学科,2015 高考你因数学而更精彩!

河南省首批示范性高中扶沟高中 52、常用不等式: (1)若 a, b ? 0 ,

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a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (当且仅当 a ? b 时取等号) ; 2 2 1?1 a b
2 2 2

(2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) ;

b b?m ? (糖水的浓度问题). a a?m 如 : 如 果 正 数 a 、 b 满 足 ab ? a ? b ? 3 , 则 ab 的 取 值 范 围 是 _________ 基 本 变 形 : a?b 2 a?b ? ) ? ;( ; 2
(3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 注:①一正二定三取等;②积定和最小,和定积最大.常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数 y ? 4 x ?

9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2

.②若若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的
x y

最 小 值 是 ______ ( ③ 正 数 x, y 满 足 x ? 2 y ? 1 , 则
a ? b ? a ? b ? a ? b (何时取等?); ? | a |? a ?| a |

1 1 ? 的 最 小 值 为 ______53 、 x y

54、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.;商比 ②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反.⑤放缩法方法有: ?添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? a ; n(n ? 1) ? n
2

?将分子或分母放大(或缩小) ?利用基本不等式, 如: log 3 ? lg 5 ? ( ?利用常用结论: ⑥换元法:常用的换元有三角换元和代数换元.如: ⑦最值法:如:a>fmax(x),则 a>f(x)恒成立. 55、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方; ④公式法:|f(x)|>g(x) ? ;|f(x)|<g(x) ? . 56、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法(穿线法) ;注意偶次式与奇次式符号:奇 穿偶不穿. 如: (1)解不等式 ( x ? 3)( x ?1) ( x ? 2) ? 0 .;
3 2

n ? (n ? 1) lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; n(n ? 1) ? 2 2

(2)解不等式

ax 2 ? x(a ? R) ax ? 1

七、立几
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河南省首批示范性高中扶沟高中 2015 年高考数学第三轮备考 2016 年 5 月 17 日星期二 57、位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法; ②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a ? α) 、a ? α;③平面与平面:α∥β、α∩β=a 58、常用定理 59、空间角: ①异面直线所成角 ? : 如: (1)正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长相等, E 是 PC 的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所 成的角的余弦值等于____ (2)在正方体 AC1 中,M 是侧棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,P 是棱 A1B1 上的一 点,则 OP 与 AM 所成的角的大小为____ ②直线和平面所成的角:如: (1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1,D 在棱 BB1 上, BD=1,则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为______ (2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、C1D1 的中点,则棱 A1B1 与截面 A1ECF 所成的角的余弦值是______ ③二面角:如: (1)正方形 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 B-A1C-A 的大小为________(2)正 四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30° ,则二面角 C1—BD1—B1 的大小为______(3)从点 P 出发引三条射线 PA、PB、PC,每两条的夹角都是 60° ,则二面角 B-PA-C 的余弦值是______ 60、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系 61、空间距离 ①异面直线间距离: ②线面距、面面距:转化为点到面距离: 62、平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变. 63、从点 O 引射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则 A 在平面 BOC 的射影在∠BOC 平分线 上;若 A 到 OB 与 OC 距离相等,则 A 在平面 BOC 的射影在∠BOC 平分线上; 64、常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题;②将空间图展开为平面图;③ 割补法;④等体积转化;⑤线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行⑥线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面 垂直;⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化. 65 长方体:对角线长 l ? a2 ? b2 ? c2 ; 八、解几 66、倾斜角 α∈[0,π ) ,斜率 k=tanα= 67、直线方程: 68、两直线平行和垂直; 69、圆: 70、若(x0-a)2+(y0-b)2<r2(=r2,>r2),则 P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 内(上、外) 71、直线与圆关系,常化为线心距与半径关系,d>r ? 相离;d=r ? 相切;d<r ? 相交. 如:用垂径定理,构造 Rt△ 解决弦长问题, 72、圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为 d,两圆半径分别为 r,R,则: d>r+R ? 两圆相离;d=r+R ? 两圆相外切;|R-r|<d<r+R ? 两圆相交; d=|R-r| ? 两圆相内切;d<|R-r| ? 两圆内含;d=0,同心圆. 第 14 页 共 14 页
y2 ? y1 ;α=900 斜率不存在; x2 ? x1

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河南省首批示范性高中扶沟高中 2015 年高考数学第三轮备考 2016 年 5 月 17 日星期二 2 2 2 2 73、两圆相交时,把两圆 x +y +D1x+E1y+C1=0 与 x +y +D2x+E2y+C2=0 方程相减即得相交弦所 在直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线 f1 ( x, y) ? 0 与 曲线 f 2 ( x, y) ? 0 交点的曲线系方程为: f1(x,y)+λf2(x,y)=0. 74、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心). 75、椭圆:①方程

x2 y 2 ? x ? a cos ? ;②定义: |PF1|+|PF2|=2a>2c; ? 2 ? 1 ( a >b>0);参数方程 ? 2 a b ? y ? b sin ?
2

③e=

a c b2 2 2 2 、通径(最短焦点 ? 1 ? 2 ,a =b +c ;④长轴长为 2a,短轴长为 2b;⑤准线 x= ? c a a

弦)

2 2b 2 ,焦准距 p= b ;⑥当 P 为短轴端点时∠PF1F2 最大;近地 a-c,远地 a+c; c a

76、双曲线:①方程

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0);②定义: ||PF1|-|PF2||=2a<2c; a 2 b2

③e=

c b2 2 2 2 ? 1 ? 2 ,c =a +b ;④顶点与焦点坐标?x,y 范围?实虚轴、渐近线交点为中心;⑤通径 a a

(最短焦点弦)

b x2 y 2 2b 2 b2 ,焦准距 p= ; ⑥渐进线 2 ? 2 ? 0 或 y ? ? x ; 焦点到渐进线距离为 b; c a a b a
2 p ; 焦点弦 AB =x1+x2+p;y1y2=-p2,x1x2= p 其 2 4

77、抛物线:①方程 y2=2px;②定义:|PF|=d 准;③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围?轴? 焦点 F(
p p ,0),准线 x=- ; ④焦半径 2 2

AF ? x A ?

中 A(x1,y1)、B(x2,y2);⑤通径 2p,焦准距 p; 78、求最优解注意①目标函数值≠截距;②目标函数斜率与区域边界斜率的关系; 对线形目标函数,我们比较熟悉,对非线形目标函数呢? 如: z ? x ? ( y ? 1) , z ?
2 2

y ?1 , z ? 2x ? 3 y ?1 等 x?2

79、过圆 x2+y2=r2 上点 P(x0,y0)的切线为 80、对称: 81、相交弦:弦长公式 AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 ) ②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.如: 82、轨迹方程: 83、解题注意: 84、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 第 15 页 共 15 页

?x | ax |

? 1?

?y 1 1 ; ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) 2 k | ay | k

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2016 年 5 月 17 日星期二 种(答:

九、排列、组合、二项式定理
85、计数原理如: (1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有 则不同的取法共 种 (2)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台, (3)从集合 ?1, 2,3? 和 ?1, 4,5,6? 中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不 同点的个数是___(4)72 的正约数(包括 1 和 72)共有 个(5) ?A 的一边 AB 上有 4 个点,另一边 AC 上有 5 个点,连同 ?A 的顶点共 10 个点,以这些点为顶点,可以构成_____ 个三角形( 86、排列数公式: 87、主要解题方法:①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先. 如:某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的 外墙,现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择,其中 1 号石材有微量的放射性,不可 用于办公室内,则不同的装饰效果有_____种②捆绑法:如: (1)把 4 名男生和 4 名女生排成 一排,女生要排在一起,不同的排法种数为 (2)某人射击8枪,命中4枪,4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为_____; ③插空法:如: (1) 3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有 _______种( (2)某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节 目。如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为_____④间接法:如:在平面 直角坐标系中,由六个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(-1,-2),(-2,-1)可以确定三角形的个 数为_____ ⑤隔板法:如: (1)10 个相同的球各分给 3 个人,每人至少一个,有多少种分发?每人至少两 个呢? (2)某运输公司有 7 个车队,每个车队的车都多于 4 辆且型号相同,要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队, 每个车队至少抽 1 辆车, 则不同的抽法有多少种?⑥先选后排,先分再排(注 意等分分组问题):如:某种产品有 4 只次品和 6 只正品,每只产品均不相同且可区分,今每 次取出一只测试,直到 4 只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的 不同情况种数是_____
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 88、二项式定理 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b

特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn 89、二项展开式通项: Tr+1= Cnran rbr ;作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问 题.要注意区别二项式系数与项的系数;


90、二项式系数性质:①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等. ②中间项二项式系数最大:n 为偶数,中间一项;若 n 为奇数,中间两项(哪项?)
0 1 2 n 0 2 1 3 ③二项式系数和 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1;

91.f(x)=(ax+b)n 展开各项系数和为 f(1);奇次项系数和为 [ f (1) ? f (?1)] ;偶次项系数和为

1 2

第 16 页 共 16 页

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n 1 [ f (1) ? f (?1)] ; (ax ? by) 展开各项系数和,令 x ? y ? 1 可得. 2

92、二项式定理应用:近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法 求展开式的某些项的系数的和. 93、

十、概率与统计
94、随机事件 A 的概率 0 ? P( A) ? 1,其中 当 P( A) ? 1 时称为必然事件;当 P( A) ? 0 时称为不可能事件 P(A)=0; 95、等可能事件的概率(古典概率) :P(A)=

m ; n

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率:①从中任取 2 件都是次品;② 从中任取 5 件恰有 2 件次品;③从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B); 如:有 A、B 两个口袋,A 袋中有 4 个白球和 2 个黑球,B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球,从 A、 B 袋中各取两个球交换后,求 A 袋中仍装有 4 个白球的概率. 对立事件(A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一发生):P(A)+P( A )=1; 独立事件(事件 A、B 的发生互不影响):P(A?B)=P(A)· P(B); 如: (1)设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为

1 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发 9

生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是______(2)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个 问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得 0 分, 假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间 没有影响, 则这名同学得 300 分的概率为________;这名同学至少得 300 分的概率为_________; 独立事件重复试验: :Pn(K)=Cnkpk(1-p)n-k 为 A 在 n 次独立重复试验中恰发生 k 次的概率.如: (1) 袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是 ________(答(2)冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次饮用时从中任意取 1 瓶甲种或乙种饮 料,取用甲种或乙种饮料的概率相等,则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下 3 瓶的概率为( 96、求分布列的关键是什么?对二项分布和几何分布你熟悉吗?对期望和方差公式你熟悉吗?它 的运算性质呢? 97、 总体、 个体、 样本、 样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法); ②分层抽样(用 于个体有明显差异时);③系统抽样:共同点:每个个体被抽到的概率都相等

n . N

如:某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 300 人,现通过分层抽样抽取一个 容量为 n 的样本,已知每个学生被抽到的概率为 0.2,则 n= ____98、总体分布的估计:用样本 估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,即用样本平均数估计总体平均数(即总体期 望值――描述一个总体的平均水平) 直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率),横轴一般是数据的大小, 小矩形的面积表示频率,所有矩形的面积和为 1,你清楚吗? 第 17 页 共 17 页

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99、 正态分布 ? ? N (? , ? 2 ) ,你知道正态曲线的基本性质吗?非标准正态分布转化为标准正态分 布公式,你熟悉吗? 100.什么是函数关系?什么是相关关系?线形回归直线经过哪个定点?你记得吗?

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