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浙江省义乌市普通高中2016年5月高考适应性考试数学理试题 Word版含答案


数学(理科)试题卷
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.“ ab ? 0 ”是“ a ? b ? a ? b ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2.已知三个平面 ? , ? , ? ,若 ? ? ? , ? 与 ? 相交但不垂直, a , b 分别为 ? , ? 内的直线,则 下列结论正确的是( A. ?a ? ? , ? ? ? ) B. ?a ? ? , ? // ? C. ?b ? ? , b ? ? ) D. ?a ? ? , b // ?

3.已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ,则下列结论中错误的是(

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? B.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? C.函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
3

对称

?
4

] 上是增函数

D.函数 f ( x ) 的图象可由 g ( x) ? 2sin 2 x ? 1 的图象向右平移

? 个单位得到 6

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 4.设关于 x , y 的不等式组 ? x ? m ? 0 表示的平面区域内存在点 P( x0 , y0 ) 满足 ?y ? m ? 0 ?

3x0 ? 4 y0 ? 12 ? 1 ,则实数 m 的取值范围是( 5
A. ( ??,



17 ] y

B. [

17 , ?? ) y

C. [1, ??)

D. [1,

17 ] 7


5.若 a, b, c ? 0 ,且 a(a ? b ? c) ? bc ? 16 ,则 2a ? b ? c 的最小值为( A.2 B.4 C.6 D.8

6.已知向量 a, b, c 满足 a ? 2, b ? a ? b ? 3 ,若 (c ?2a) ?( c ? b) ?0 ,则 b ? c 的最小值
1

? ??

?

?

? ?

?

?

?

? 2 3

? ?

是(

) B. 2 ? 3 C.1 D.2

A. 2 ? 3

7.若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,其准线经过双曲线的

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2


左焦点,点 M 为这两条曲线的一个交点,且 MF ? p ,则双曲线的离心率为(

A.

2? 2 2

B. 2 ? 2

C. 1 ? 2

D.

1? 2 2

2 2 8.已知 a 为实数, 函数 f ( x ) ? x ? x ? ax ? 2 在区间 (??, ?1) 和 (2, ??) 上单调递增, 则a

的取值范围为( A. [1,8]

) C. [1,3] D. [?1,8]

B. [3,8]

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:共 7 小题,9-12 每小题 6 分,13-15 每小题 4 分,共 36 分.
2 9.设全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 2}, B ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} ,则① A ? B ? _________;

② CU B ? _________. 10.已知函数 f ( x) ? ?

? ? x ? 1 ? 2a, x ? 0 ,①当 a ? 0 时,若 f ( x) ? 0 ,则 x ? _________; ? ?log 3 x, x ? 0

②若 f ( x ) 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围为_________. 11.若某多面体的三视图如下图所示(单位: cm ), ①则此多面体的体积是_______ cm , ②此多面体外接球的表面积是__________ cm .
2 3

2

12.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且满足 a8 ? 0, a8 ? a9 ? 0 ,则 Sn ? 0 的最大 n 是 ________;数列 {

Sn } ( 1 ? n ? 15 )中最大的项为第____________项. an

13.如图,边长为 2 的正 ?ABC 顶点 A 在平面 ? 上, B, C 在平面 ? 的同侧, M 为 BC 的中 点, 若 ?ABC 在平面 ? 上的射影是以 A 为直角顶点的 ?A 则 M 到平面 ? 的距离的取 1B 1C1 , 值范围是__________ .

14.在直角坐标平面内,点 A, B 的坐标分别为 (2, ?2),(2, 2) ,不等式 x ? y ? 2 表示的平面 区域记为 M ,设点 P 是线段 AB 上的动点,点 Q 是区域 M 上的动点,则线段 PQ 的中点 的运动区域的面积是_______. 15.设抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点, M 为抛物线
2

C 的准线与 x 轴的交点,若 AB ? 8 ,则 tan ?AMB ? ________.

3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
16.(本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 对应的三边长分别为 a, b, c ,且满足 c (b cos A ? ) ? b ? a .
2 2

a 2

(1)求角 B 的大小; (2)若 BD 为 AC 边上的中线, cos A ? 17.(本小题满分 15 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 3 的菱形, ?ABC ? 60 , PA ? 面
0

1 129 ,求 ?ABC 的面积. , BD ? 7 2

ABCD ,且 PA ? 3 , F 在棱 PA 上,且 AF ? 1 , E 在棱 PD 上.
(1)若 CE // 面 BDF ,求 PE : ED 的值; (2)求二面角 B ? DF ? A 的余弦值.

18.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率 e ? . 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M (2,0) 作直线与椭圆 C 相交于两点 G , H ,设 P 为椭圆 C 上动点,且满足

???? ???? ??? ? OG ? OH ? tOP ( O 为坐标原点).当 t ? 1 时,求 ?OGH 面积 S 的取值范围.
19.(本小题满分 15 分) 已知 a ? R ,设函数 f ( x) ? x x ? a ? x .

4

(1)若 a ? 3 时,求 f ( x ) 函数的单调区间; (2)若 a ? 0 ,对于任意的 x ? [0, t ] ,不等式 ?1 ? f ( x) ? 6 恒成立,求实数 t 的最大值及 此时 a 的值. 20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足

1 1 1 ? ? 且 a1 ? 4 ( n ? N * ). an?1 2an 2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
2 (2)设 bn ? an ? an ,且 Sn 为 ?bn ? 的前 n 项和,证明: 12 ? Sn ? 15

义乌市普通高中 2016 年高考适应性考试 数学(理科)试题卷参考答案
一、选择题
1-5.ABDCD 6-8.BCA

二、填空题
9.① (2,3) ② (??,1] ? [3, ??) 10.① ?1 14. 6 ②0 ? a ? 15. 2 2

1 2

11.①

5 6

② 3?

12.① 15 ② 8 13. [ 2, )

3 2

注:10 题答案写成:① 1 给 2 分,或① -1 给 2 分 ② 0 ? a ? 注:13 题答案写成:数值 2 ,

1 给2分 2

3 只一个正确的给 2 分. 2

三、解答题
16.解:
2 2 (1)∵ c (b cos A ? ) ? b ? a ,即 2bc cos A ? ac ? 2(b ? a )
2 2

a 2

∴ b ? c ? a ? ac ? 2(b ? a )
2 2 2 2 2

∴ a ? c ? b ? ac
2 2 2

cos B?

1 2

B?

?
3

.

5

在三角形 ABC 中,由正弦定理得

c b 4 3 ? ,由已知得 sin A ? sin C sin B 7

所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 c ?

5 3 , 14

5 b 7

(2)

由(1) , (2)解得 ? 所以 S?ABC ?

?b ? 7 ?c ? 5

1 bc sin A ? 10 3 . 2

法二:延长 BD 到 E , DE ? BD ,连接 AE , ?ABE 中, ?BAE ?

2? , 3

BE 2 ? AB2 ? AE 2 ? 2 ? AB ? AE ? cos ?BAE ,因为 AE ? BC 129 ? c 2 ? a 2 ? a ? c (1)
由已知得, sin A ?

4 3 5 3 ,所以 sin C ? sin( A ? B) ? , 7 14
(2)

c sin ?ACB 5 ? ? a sin ?BAC 8

由(1) (2)解得 c ? 5, a ? 8 , S?ABC ?

1 c ? a ? sin ?ABC ? 10 3 . 2

17.(1)法一:过 E 作 EG // FD 交 AP 于 G ,连接 CG ,连接 AC 交 BD 于 O ,连接 FO . ∵ EG // FD , EG ? 面 BDF , FD ? 面 BDF , ∴ EG // 面 BDF ,又 EG ? CE ? E , CE // 面 BDF , EG, CE ? 面 CGE , ∴面 CGE // 面 BDF , 又 CG ? 面 CGE ,∴ CG // 面 BDF , 又面 BDF ? 面 PAC ? FO , CG ? 面 PAC , ∴ FO // CG .

6

又 O 为 AC 中点,∴ F 为 AG 中点,∴ FG ? GP ? 1 , ∴ E 为 PD 中点, PE : ED ? 1:1 . 法二: 取 BC 中点 G ,连接 AG ,∵ ABCD 是 ?ABC ? 60 的菱形,
0

∴ AG ? AD ,又 PA ? 面 ABCD ,∴分别以 AG, AD, AP 为 x, y , z 轴正方向建立空间直 角坐标系 A ? xyz 如图所示.

???? ???? ??? ?

则 D(0,3, 0), B(

3 3 3 3 3 3 , ? , 0), C ( , , 0), F (0, 0,1), P(0, 0,3) , 2 2 2 2 ??? ? 3 3 9 , ? , 0) , 2 2

∴ DF ? (0, ?3,1) , DB ? (

????

设面 BDF 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,

?

? ???? ??3 y ? z ? 0 ?n ? DF ? 0 ? ? 则由 ? ? ??? 可得 ? 3 3 ,不妨令 z ? 3 ,则解得 x ? 3 , y ? 1 , ? 9 x ? y ? 0 n ? DB ? 0 ? ? ? ? 2 2 ? ∴ n ? ( 3,1,3) .
设 PE ? ? PD ? (0,3?, ?3?) ,则 CE ? CP ? PE ? (? ∵ CE // 面 BDF ,∴ n ? CE ? 0 ,即 ? ∴ PE : ED ? 1:1 . (2) 法一: 过点 B 作 BH ? 直线 DA 交 DA 延长线于 H , 过点 H 作 HI ? 直线 DF 交于 I , ∵ PA ? 面 ABCD ,∴面 PAD ? 面 ABCD , ∴ BH ? 面 PAD , 由三垂线定理可得 DI ? IB , ∴ ?BIH 是二面角 B ? DF ? A 的平面角. 由题意得 AH ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

3 3 3 , ? ? 3? ,3 ? 3? ) , 2 2

? ??? ?

1 9 3 ? ? 3? ? 9 ? 9? ? 0 ,解得 ? ? . 2 2 2

3 HI AF 1 3 3 9 9 10 ? ? , HD ? ,且 , BH ? ,∴ HI ? , 2 HD DF 2 2 20 10

∴ tan ?BIH ?

39 3 3 20 30 ,∴二面角 B ? DF ? A 的余弦值为 . ? ? 13 2 9 10 3

法二:接(1)法二,显然面 PAD 的一个法向量 m ? (1,0,0) ,

??

7

?? ? ?? ? m?n 39 39 ∴ cos m ? n ? ?? ? ? ,∴二面角 B ? DF ? A 的余弦值为 . 13 13 m?n

18.解: (1)椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)设过点 M 的直线方程为 x ? my ? 2

G , H 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 联立方程 ? 2 ,得 (m ? 2) y ? 4my ? 2 ? 0 , ? ? 8m ? 16 ? 0 ? m ? 2 , ? x ? my ? 2 ?
因为 y1 ? y2 ? ?

4m 2 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?2 m ?2
2

所以 y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ( 因为 OG ? OH ? tOP ,所以点 P(

?4m 2 8 2 2 m2 ? 2 , ) ? ? 2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), t t x ? x2 2 y ? y2 2 ) ? 2( 1 ) ?2, 因为点 P 在椭圆 C 上,所以有 ( 1 t t
化简得 [m( y1 ? y2 ) ? 4]2 ? 2( y1 ? y2 )2 ? 2t 2 ,因为 y1 ? y2 ? ?

???? ????

??? ?

4m ,所以得 m2 ? 2 4m 2 2 4m 16 (? 2 ) (m ? 2) ? 8m( ? 2 ) ? 16 ? 2t 2 ? 0 ,化简 m 2 ? 2 ? 2 , m ?2 m ?2 t
2

因为 t ? 1 ,所以 2 ? m ? 14 ,因为 S?OGH ?

1 2 2 m2 ? 2 , ? 2 ? y1 ? y2 ? 2 2 ? m2
2 2 ?t 2 2 ? , t2 ? 4 t ? 4 t
8

令 m2 ? 2 ? t (t ? (0, 2 3]) ,所以 S ?OGH ?

令 g (t ) ? t ?

4 ,因为 g (t ) 在 t ? (0, 2] 上单调递减,在 t ?[2, 2 3] 上单调递增, t

所以 0 ? S?OGH ?

2 . 2

2 2 ? ?? x ? 2 x ? ?( x ? 1) ? 1, x ? 3 19.解: (1)当 a ? 3 时, f ( x) ? ? 2 , 2 ? ? x ? 4 x ? ( x ? 2) ? 4, x ? 3

函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??,1),(3, ??) ,单调递减区间为 (1,3) . (2) f ( x) ? ?

?? x 2 ? (a ? 1) x, x ? a ? , 2 ? ? x ? (a ? 1) x, x ? a
a ?1 a ?1 ? ? 0 , f ( x) 在 [0, t ] 单调递增, f ( x)min ? f (0) ? 0 2 2

①当 a ? ?1 时, a ?

f ( x)max ? f (t ) ? t 2 ? (a ? 1)t ,由题意得 f ( x)max ? 6 ,即 t 2 ? (a ? 1)t ? 6 ,
解得 0 ? t ?

(a ? 1) ? (a ? 1)2 ? 24 . 2

令 m ? ?(a ? 1) ? 0 , h(m) ?

m2 ? 24 ? m 12 在 [0, ??) 单调递减, ? 2 2 m ? 24 ? m

所以 h(m)max ? h(0) ? 6 ,即当 a ? ?1 时, tmax ? 6 . ②当 ?1 ? a ? 0 时,

a ?1 a ?1 a ?1 ] 单调递减, ?a?0? , f ( x ) 在 [0, 2 2 2

在[

a ?1 a ?1 (a ? 1)2 1 , ??) 单调递增, f ( x)min ? f ( )?? ? [? , 0) , 2 2 4 4

满足 f ( x)min ? ?1, f ( x)max ? f (t ) ? t 2 ? (a ? 1)t 由题意得 f ( x)max ? 6 , 即 t ? (a ? 1)t ? 6 ,解得 0 ? t ?
2

(a ? 1) ? (a ? 1)2 ? 24 , 2

令 m ? a ? 1 ? 0 , h(m) ?

m ? m2 ? 24 在 (0,1] 单调递增, 2

所以 h(m)max ? h(1) ? 3 ,即当 a ? 0 时, tmax ? 3 . 综上所述, tmax ? 3 ,此时 a ? 0 .

9

20.证: (1)由

1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? 得, ? 1 ? ( ? 1) ,由 a1 ? 4 得 ? 1 ? ? , an?1 2an 2 an ?1 2 an a1 4

所以数列 ?

?1 ? 1 3 ? 1? 是首项为 ? ,公比为 的等比数列. 2 4 ? an ?

2n ?1 1 1 1 n ?1 3 1 n?1 a ? ( ? 1) ? ( ? 1)( ) ? ? ( ) ,即 n 2n ?1 ? 3 an a1 2 4 2
2 (2)故 bn ? an ? an ?

3 ? 2n?1 (2n?1 ? 3)2

又 Sn?1 ? Sn ? bn ?1 ?

3 ? 2n ? 2 ? 0 ,故 Sn 是关于 n 的递增数列, (2n? 2 ? 3)2

2 故 Sn ? S1 ? b1 ? a1 ? a1 ? 12 .

2 当 k ? 2 时, bk ? ak ? ak ?

3 ? 2k ?1 3 ? 2k ?1 3 ? 2k ? ? (2k ?1 ? 3)2 (2k ?1 ? 3)(2k ?1 ? 4) (2k ?1 ? 3)(2k ? 2)

?

3 ? 2k 1 1 ? 3( k ? k ?1 ) k ?1 k (2 ? 3)(2 ? 3) 2 ?3 2 ?3

故 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 12 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

? 12 ? 3(

1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? 4 ??? n ? n ?1 ) 综上有 12 ? Sn ? 15 . 2 ?3 2 ?3 2 ?3 2 ?3 2 ?3 2 ?3 3 ? 15 ? n ?1 ? 15 . 2 ?3
2

10

11



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