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山东省临清市高中数学全套教学案数学选修1-1:3.1.1变化率问题


学校: 临清一中 学科:数学 编写人:由召栋

变化率问题
课前预习学案 一、 预习目标 了解平均变化率的定义。

二、预习内容
[ 问题 1] 在吹气球问题中,当空气容量 V 从 0 增加到 1L 时,气球的平均膨胀率为 __________ 当空气容量 V 从 1L 增加到 2L 时,气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率为_______________ [问题 2]在高台跳水运动中,,运动员相对于水面的高度 h(单位:m) h 与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如 何用 运动员在某些时间段内的平均速度 v 粗略地描述其运动状态? 在 0 ≤ t ≤ 0.5 这段时间里, v =_________________ 在 1 ≤ t ≤ 2 这段时间里, v =_________________ 在 t1 ≤ t ≤ t 2 这段时间里, v =_________________ o t

(1)平均变化率公式中,分子是区间两端点间的函数值的差, [问题 3]对于公式,应注意: 分母是区间两端点间的____ ___的差。 (2)平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的 是右端点,减数是左端点,一定要同步。 [问题 4] 平均变化率

?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) = 表示什么? ?x x2 ? x1 f(x2)

A

B △y =f(x2)-f(x1) f(x1) x1 △x= x2-x1 x2

三、提出疑惑 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑, 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点
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疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标 知道平均变化率的定义。会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。 二、学习过程 学习探究 探究任务一: 问题 1:气球膨胀率,求平均膨胀率 吹气球时, 随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何 描述这种现象?
[来源:高考学习网 XK]

问题 2:高台跳水,求平均速度 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f 新知:平均变化率 平均变化率: = 平均变化率 x2 ? x1 ?x

试试:设 y = f ( x) , x1 是数轴上的一个定点,在数轴 x 上另取一点 x2 , x1 与 x2 的差记为 ?x , 即 ?x = 或者 x2 = , ?x 就表示从 x1 到 x2 的变化量或增量,相应地, ?y 函数的变化量或增量记为 ?y ,即 ?y = ;如果它们的比值 ,则上式就表示 ?x 为 ,此比值就称为平均变化率.

反思:所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题 例 1 过曲线 y = f ( x) = x3 上两点 P(1,1) 和 Q(1 + ?x,1 + ?y ) 作曲线的割线,求出当 ?x = 0.1 时 割线的斜率.

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例 2 已知函数 f ( x) = x ,分别计算 f ( x ) 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]
2

有效训练 练 1. 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示, 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率.
W(kg) 11 8.6 6.5

3.5 3

6

9

12

T(月)
[来源:学+科+网]

练 2. 已知函数 f ( x) = 2 x + 1 , g ( x) = ?2 x ,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上 f ( x) 及 g ( x) 的 平均变化率.

反思总结 1.函数 f ( x ) 的平均变化率是
2.求函数 f ( x ) 的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 (2)计算平均变化率

当堂检测
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1. y = 2 x + 1 在 (1, 2) 内的平均变化率为( ) A.3 B.2 C .1 D.0 2. 设函数 y = f ( x) ,当自变量 x 由 x0 改变到 x0 + ?x 时,函数的改变量 ?y 为(
A. f ( x0 + ?x)
C. f ( x0 )?x
2



B. f ( x0 ) + ?x D. f ( x0 + ?x) ? f ( x0 )
[来源:Zxxk.Com]

3. 质点运动动规律 s = t + 3 ,则在时间 (3,3 + ?t ) 中,相应的平均速度为( 9 B. 6 + ?t + A . 6 + ?t ?t C. 3 + ?t D. 9 + ?t 1 4.已知 s = gt 2 ,从 3s 到 3.1s 的平均速度是_______ 2 2 5. y = x ? 2 x + 3 在 x = 2 附近的平均变化率是____
2



6、已知函数 y = f ( x) = 2 x ? 1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+ ?x , f (1 + ?x ), )



?y ?x

课后练习与提高
1、 已知一次函数 y = f ( x ) 在区间[-2,6]上的平均变化率为 2,且函数图象过点(0,2) ,

试求此一次函数的表达式。
2. 国家环保局对长期超标排污,污染严重而未进行治理的单位,规定出一定期限,强令在 此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前,对甲、乙两家企业连 ,哪个企业治理得比较好?为什么? 续检测的结果(W 表示排污量)

2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s 后容器

甲中水的体积 V (t ) = 5 × 2 ?0.1t (单位: cm ) , 计算第一个 10s 内 V 的平均变化 率.
3

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3.1.1 变化率问题
教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学重点:平均变化率的含义 教学重点: 教学难点: 教学难点:会用公式来计算 函 数在指定区间上的平均变化率。 教学过程: 教学过程: 情景导入: 展示目标: 知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

检查预习:见学案 合作探究:
探究任务一: 问题 1:气 球膨胀率,求平均膨胀率 吹气球时, 随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何 描述这种现象? 问题 2;:在高台跳水运动中,,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位: s)存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度 v 粗略地描 述其运动状态?

交流展示:学生交流探究结果,并完成学案。 精讲精练:
例 1 过曲线 y = f ( x) = x3 上两点 P(1,1) 和 Q(1 + ?x,1 + ?y ) 作曲线的割线,求出当 ?x = 0.1 时 割线的斜率. 例 2 已知函数 f ( x) = x 2 ,分别计算 f ( x ) 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001] 有效训练 练 1. 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示, 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率.
W(kg) 11 8.6 6.5

3.5 3

6

9

12

T(月)

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练 2. 已知函数 f ( x) = 2 x + 1 ,g ( x) = ?2 x ,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上 f ( x) 及 g ( x) 的 平均变化率. 反思总结 1.函数 f ( x ) 的平均变化率是
2.求函数 f ( x ) 的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 (2)计算平均变化率

当堂检测 1. y = 2 x + 1 在 (1, 2) 内的平均变化率为( ) A.3 B.2 C .1 D.0 2. 设函数 y = f ( x) ,当自变量 x 由 x0 改变到 x0 + ?x 时,函数的改变量 ?y 为( A. f ( x0 + ?x) B. f ( x0 ) + ?x C. f ( x0 )?x D. f ( x0 + ?x) ? f ( x0 )
3. 质点运动动规律 s = t 2 + 3 ,则在时间 (3,3 + ?t ) 中,相应的平均速度为( 9 A . 6 + ?t B. 6 + ?t + ?t D. 9 + ?t C. 3 + ?t 1 2 4.已知 s = gt ,从 3s 到 3.1s 的平均速度是 _______ 2 5 . y = x 2 ? 2 x + 3 在 x = 2 附近的平均变化率是____
[来源:高考学习网 XK]





6、已知函数 y = f ( x) = 2 x ? 1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+ ?x , f (1 + ?x ), )
2



?y ?x

【板书设计】 :略 【作业布置】 :略

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