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四川省德阳市香港马会第五中学2015-2016学年高二10月月考数学试题


德阳五中高 2014 级高二上 10 月月考数学试题
命题人:徐福军 审题人:夏大建

一、选择题(每题 5 分) 1.已知集合 ? ? x x 2 ? 2 x ? 3 , Q ? ? x 2 ? x ? 4? ,则 P ? Q =(
( A) ?3, 4 ? ( B ) ? 2,3? (C ) ? ?1, 2 ?

?

?



( D) ? ?1,3?

2.圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是(
( A) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2


( B ) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

(C ) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

( D) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

3. 若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 ? 内,l2 在平面 ? 内,l 是平面 ? 与平面 ? 的 交线,则下列命题正确的是(
( A) l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 (C ) l 至多与 l1 , l2 中的一条相交


( B ) l 与 l1 , l2 都相交 ( D) l 与 l1 , l2 都不相交

4.直线 3x ? 4y ? b 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b ? (
( A) -2 或 12 ( B ) 2 或-12 (C ) -2 或-12


( D) 2 或 12

5. 下列函数中,最小正周期为 ? 的奇函数是(
( A) y ? sin(2x ?

)
( B ) y ? cos(2x ?

?
2

)

?
2

)

(C ) y ? sin 2x ? cos 2x

( D) y ? sin x ? cos x

6.若底面为正三角形的几何体的三视图如图所示,则几何体的侧面积为(



( A) 12 3

( B ) 36 3

(C ) 27 3

( D) 72

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 7.已知函数 f ( x) ? ? ,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? ( ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
( A) ?



7 5 3 1 ( B) ? (C ) ? ( D) ? 4 4 4 4 8.在长方体 ABCD-A1B1C1D1, 底面是边长为 2 的正方形, 高为 4, 则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为( ) 8 3 4 3 ( A) ( B) (C ) ( D) 3 8 3 4

9.若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? r 2 (r ? 0) 上有且只有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 距离等 于 1 ,则半径 r 取值范围是(
( A) (4, 6) ( B ) [4, 6)


( D) [4, 6]

(C ) (4, 6]

10. 设 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 与 y ? 2 x ? a 的 图 像 关 于 直 线 y ? ? x 对 称 , 且
f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ? ( ( A) ?1 ( B) 1

)
(C ) 2 ( D) 4

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.直线过点 P(1, 2) 且在坐标轴上的截距相等,则该直线方程为________.

12.方程 x 2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? a ?

1 ? 0 为圆的方程,则 a 的范围为________. 4

13.若直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 相交于 A,B 两点,且 ?AOB ? 120o ( O 为坐标原点) ,则 r =_____. 14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是上底面 ABCD 的中心,若正方体的棱长为 a ,则三 棱锥O-AB1D1 的体积为_____________. 15.一条长为 2 的线段,它的三个视图分别是长为 3, a, b 的三条线段,则 ab 的最 大值为________.

三、解答题(共 75 分) 16. (12 分) 已知一个几何体的三视图如下,请用尺规铅笔画出它的直观图,并求出 它的表面积和体积。 1 1 1 正视图 1 左视图

俯视图

17. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x( x ? R). .

? (1)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值; 2
( 2 )设 ?ABC 的内角 A, B , C 的对应边分别为 a , b, c ,且 c ? 3, f (C ) ? 2, 若向量
m ? (1, sin A) 与向量 n ? (2, sin B) 共线,求 a , b 的值.
? ?

18. (12 分)设 P、Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D、面 A1B1C1D1 的中心. (1) 证明:PQ∥平面 AA1B1B; (2) 求异面直线 PQ 和 B1 C 所成的角.
A P O D1 A1 Q O B1 D B C1 C

19. (12 分)等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2an ? 2 ? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

20. (13 分)已知圆 C: ?x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 25及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 .

?m ? R?
(1)试判断直线 l 是否过定点,若过定点,则求出定点,不过,则说明理由; (2)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (3)求圆 C 截直线 l 所得的弦长的最小值及此时直线 l 的方程.

21. (14 分)已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x 2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点
A, B .

(1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点:若存在, 求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.

高 2014 级 10 月月考数学试题
一、选择题(每题 5 分) 1.已知集合 ? ? x x 2 ? 2 x ? 3 , Q ? ? x 2 ? x ? 4? ,则 P ? Q =(
( A) ?3, 4 ? ( B ) ? 2,3? (C ) ? ?1, 2 ?

?

?

A



( D) ? ?1,3?

2.圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是(
( A) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D


( B ) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

(C ) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

( D) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

3. 若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 ? 内,l2 在平面 ? 内,l 是平面 ? 与平面 ? 的 交线,则下列命题正确的是( A )
( B ) l 与 l1 , l2 都相交 ( D) l 与 l1 , l2 都不相交

( A) l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 (C ) l 至多与 l1 , l2 中的一条相交

4.直线 3x ? 4y ? b 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b ? (
( A) -2 或 12 ( B ) 2 或-12 (C ) -2 或-12

D



( D) 2 或 12

5. 下列函数中,最小正周期为 ? 的奇函数是(
( A) y ? sin(2x ?

B

)
( B ) y ? cos(2x ?

?
2

)

?
2

)

(C ) y ? sin 2x ? cos 2x

( D) y ? sin x ? cos x

6.若一个底面为正三角形的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的侧面积为

(D


( B ) 36 3 (C ) 27 3 ( D) 72

( A) 12 3

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 7.已知函数 f ( x) ? ? ,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? ( ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
( A) ?

A



7 5 3 1 ( B) ? (C ) ? ( D) ? 4 4 4 4 8.在长方体 ABCD-A1B1C1D1, 底面是边长为 2 的正方形, 高为 4, 则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为( C ) 8 3 4 3 ( A) ( B) (C ) ( D) 3 8 3 4

9.若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? r 2 (r ? 0) 上有且只有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 距离等 于 1 ,则半径 r 取值范围是(
( A) (4, 6) ( B ) [4, 6)

A


( D) [4, 6]

(C ) (4, 6]

10. 设 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 与 y ? 2 x ? a 的 图 像 关 于 直 线 y ? ? x 对 称 , 且
f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ? ( ( A) ?1 ( B) 1

C

)
( D) 4

(C ) 2

二、填空题 11 . 直 线 过 点 P(1, 2) 且 在 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 , 则 该 直 线 方 程 为

2 x ? y ? 0或x ? y ? 3 ? 0

12. 方程 x 2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? a ?

1 1 ? 0 为圆的方程, 则 a 的范围为 (??, ? ) ? (1, ??) 4 5

13.若直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 相交于 A,B 两点,且 ?AOB ? 120o ( O 为坐标原点) ,则 r =__2___. 14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是上底面 ABCD 的中心,若正方体的棱长为 a ,则三 棱锥O-AB1D1 的体积为
a3 . 6

15.一条长为 2 的线段,它的三个视图分别是长为 3, a, b 的三条线段,则 ab 的最

大值为

5 . 2

三、解答题 16. (12 分) 已知一个几何体的三视图如下,大致画出它的直观图,并求出它的表面 积和体积。 1 1 1 正视图 1 左视图

俯视图 直观图略 表面积为 7 ? 2 体积为
3 2

17. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x( x ? R). .

? (1)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值; 2
( 2 )设 ?ABC 的内角 A, B , C 的对应边分别为 a , b, c ,且 c ? 3, f (C ) ? 2, 若向量
m ? (1, sin A) 与向量 n ? (2, sin B) 共线,求 a , b 的值.
(1)当 x ? [0,
? ?

?
2

] 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

? ( 2 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B , C 的 对 应 边 分 别 为 a , b, c , 且 c ? 3 , f (C )

2若 , 向量

m ? (1, s i nA) 与向量 n ? (2, sin B) 共线,求 a , b 的值.
解析:(I) f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x = cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 = 2sin ? 2 x ?

?

?

? ?

??

? ?1 6?

由0 ? x ?

?
2



?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6

??

1 ? ? sin(2x ? ) ? 1 2 6

? f(x )max ? 3,f(x )min ? 0
(2)由 f (C ) ? 2 sin( 2C ? 而 C ? ? 0, ? ? ,所以 2C ?

?
6

) ? 1 ? 2 ,得 sin( 2C ?

?
6

)?

1 2

?

? ? 13? ?? , 6 ?6 6

? 5 ? ? ? ,所以 2C ? 6 ? 6 ? 得 C ? 3 ?
sin A 1 ? , sin B 2

因为向量 m ? (1, sin A) 与向量 n ? ( 2, sin B ) 共线,所以 由正弦定理得:

a 1 ? b 2



由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 由①②解得 a ?

?
3

,即 a +b -ab=9 ②

2

2

3, b ? 2 3

18. (12 分)设 P、Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D、面 A1B1C1D1 的中心. (1) 证明:PQ∥平面 AA1B1B; (2) 求异面直线 PQ 和 B1 C 所成的角.
A P O D1 A1 Q O B1 D B C1 C

(1)证明略 (2) 60? 19. (12 分)等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2an ? 2 ? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.
【解析】 (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , a ? 3 d ? a ? 6 d ? 15 ? ? ? ? ? 1 ? 1

解得 ?

?a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 2 . (II)由(I)可得 bn ? 2n ? n . 所以 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 ? ? 2 ? 1? ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ??? ? 210 ? 10

?

? ?

?

?

?

? ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 210 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 10 ?

?

2 ?1 ? 210 ? 1? 2

?

?1 ? 10 ? ?10
2

? ? 211 ? 2 ? ? 55
? 211 ? 53 ? 2101 .

20. (13 分)已知圆 C: ?x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 25及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 .

?m ? R?
(1)试判断直线 l 是否过定点,若过定点,则求出定点,不过,则说明理由; (2)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (3)求圆 C 截直线 l 所得的弦长的最小值及此时直线 l 的方程. 解: (1)由 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 得
(2 x ? y ? 7)m ? x ? y ? 4 ? 0
?2 x ? y ? 7 ? 0 由? 得 ?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 3 ? ?y ?1

? 直线 l 过定点 (3,1)

(2)? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5 ? 25
? (3,1) 在圆 C 内
由(1)可知直线 l 与圆 C 恒相交

( 3 ) 记 l 过 的 定 点 (3,1) 为 A 点 , 显 然 当 l 与 CA 垂 直 时 弦 长 最 短 ? 弦 长 最 小 值 为
2 25 ? 5 ? 4 5 此时 kCA ?
2 ?1 1 ? ? ,则 kl ? 2 ? 直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 1? 3 2

21. (14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x 2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点 A ,
B.

(1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点:若存在, 求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.
【解析】 (1)由 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 ,
2

∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ; (2)设 M ? x, y ? ,则 ∵ 点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB , ∴ kC1M ? k AB ? ?1 即

y y ? ? ?1 , x ?3 x

∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ?

? ?

3? 9?5 ? 2 ? ? y ? ? ? x ? 3? ; 2? 4? 3 ?

2

(3)由(2)知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ?

?3 ?2

? ?

3 为半径的部分圆弧 EF (如下图所示, 2

不包括两端点) ,且 E ? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5 ? , F ? ,? ? ? ?3 3 ? ?3 ? ,又直线 L : y ? k ? x ? 4 ? 过定点 D ? 4,0 ? , 3 ? ? ? ?

当 直 线

L 与 圆 C

相 切 时 , 由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 ?2 ? k ?1
2 2

?

3 2



k ??

3 4

, 又

k DE ? ? k DF

? 2 5? 0??? ? 3 ? 2 5 ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? ? , , 结合上图可知当 k ? ?? , ? ? ? ? ?? ? ? 时,直线 5 7 ? 7 ? 4 4? ? 7 4? 3

L : y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点.

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