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2008年圆锥曲线的高考题


8、(2008 海南、宁夏理 海南、宁夏理)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦 a 2 b2

点分别为 F1、F2。F2 也是抛物线 C2: y 2 = 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的 交点,且 | MF2 |=

5 。 3

(1)求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足 MN = MF1 + MF2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交 ∥

uuuu r

uuuu uuuu r r

uuu r

uuu r

于 A、B 两点,若 OA · OB =0,求直线 l 的方程。 8.解: (Ⅰ)由 C2 : y = 4 x 知 F2 (1, . 0)
2

设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 = 得 x1 =

5 5 ,所以 x1 + 1 = , 3 3

2 2 6 , y1 = . 3 3 M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c = 1 ,于是

8 ? 4 ? 2 + 2 = 1, 2 消去 b 并整理得 ? 9a 3b ?b 2 = a 2 ? 1. ? 9a 4 ? 37 a 2 + 4 = 0 , 1 解得 a = 2 ( a = 不合题意,舍去) . 3 x2 y 2 故椭圆 C1 的方程为 + = 1. 4 3 uuuu uuuu uuuu r r r (Ⅱ)由 MF1 + MF2 = MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同, 2 6 故 l 的斜率 k = 3 = 6 . 2 3 设 l 的方程为 y = 6( x ? m) .
?3 x 2 + 4 y 2 = 12, ? 消去 y 并化简得 由? ? y = 6( x ? m), ? 9 x 2 ? 16mx + 8m2 ? 4 = 0 . 设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) , 16m 8m 2 ? 4 x1 + x2 = , x1 x2 = . 9 uuu uuu r 9r 因为 OA ⊥ OB ,所以 x1 x2 + y1 y2 = 0 . x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + 6( x1 ? m)( x2 ? m) = 7 x1 x2 ? 6m( x1 + x2 ) + 6m 2 =7 8m 2 ? 4 16m ? 6m + 6m 2 9 9

1 = (14m 2 ? 28) = 0 . 9 所以 m = ± 2 . 2 2 此时 ? = (16m) ? 4 × 9(8m ? 4) > 0 ,
故所求直线 l 的方程为 y =

6 x ? 2 3 ,或 y = 6 x + 2 3 .

9. (2008 湖北文 湖北文)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a > 0, b > 0) 的两个焦点为 a 2 b2 F : (?2, 0), F : (2, 0), 点P (3, 7 ) 的曲线 C 上.
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)记 O 为坐标原点,过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,若

△OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程 9.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基 础知识,考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力. (满分 13 分) (Ⅰ)解法 1:依题意,由 a2+b2=4,得双曲线方程为 将点(3, 7 )代入上式,得 故所求双曲线方程为

x2 y2 ? = 1 (0<a2<4=, a2 4 ? a2

9 7 ? = 1 .解得 a2=18(舍去)或 a2=2, 2 2 a 4?a

x2 y2 ? = 1. 2 2
2 2 2 2

解法 2:依题意得,双曲线的半焦距 c=2. 2a=|PF1|-|PF2|= (3 + 2) + ( 7 ) ? (3 ? 2) + ( 7 ) = 2 2 , ∴a2=2,b2=c2-a2=2.

x2 y2 ∴双曲线 C 的方程为 ? = 1. 2 2
(Ⅱ)解法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1-k2)x2-4kx-6=0. ∵直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,
2 ? ?1 ? k ≠ 0, ? ∴? ?? = ( ?4k ) 2 + 4 × 6(1 ? k ) 2 >0, ?

?k ≠ ±1, ? ?? 3<k< 3,

∴k∈(- 3 ,?1 )∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 x1+x2= |EF|= ( x1 ? x 2 ) + ( y1 ? y 2 ) =
2 2

4k 6 , x1 x 2 = , 于是 2 1? k 1? k 2

(1 + k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

= 1+ k

2

?

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 2 3?k2 ( x1 + x 2 ) ? 4 x1 x 2 = 1 + k ? |1? k 2 | 2
2

1+ k 2
?

,

∴SΔOEF=

1 1 2 d ? | EF |= ? 2 2 1+ k 2

1+ k 2

?

2 2 3?k2 2 2 3?k2 = . |1? k 2 | |1? k 2 |

若 SΔOEF= 2 2 ,即

2 2 3?k2 = 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 = 0, 解得 k=± 2 , 2 |1? k |

满足②.故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为 y= 2 x + 2 和 y = ? 2 x + 2. 解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理,

得(1-k2)x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与比曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴?



?1 ? k 2 ≠ 0, ?k ≠ ±1, ? ?? ?? = (?4k ) 2 + 4 × 6(1 ? k 2 )>0, ?? 3<k< 3. ?


∴k∈(- 3 ,?1 )∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得

2 2 3? k2 ? |x1-x2|= ( x1 + x 2 ) ? 4 x1 x 2 = = . |1? k 2 | |1? k 2 |
2



当 E、F 在同一支上时(如图 1 所示) , SΔOEF=|SΔOQF-SΔOQE|=

1 1 | OQ | ? || x1 | ? | x 2 ||= | OQ | ? | x1 ? x 2 | ; 2 2 1 1 | OQ | ?(| x1 | + | x 2 |) = | OQ | ? | x1 ? x 2 | . 2 2

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示) , SΔOEF=SΔOQF+SΔOQE= 综上得 SΔOEF=

1 | OQ | ? | x1 ? x 2 | ,于是 2
2 2 3?k2 . |1 ? k 2 |

由|OQ|=2 及③式,得 SΔOEF= 若 SΔOEF=2 2 ,即

2 2 3?k2 = 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 = 0 ,解得 k=± 2 ,满足②. |1? k 2 |

故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为 y= 2 x + 2 和 y= ?

2 + 2.

湖北理)如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中,OD⊥AB,P 是 10. (2008 湖北理 半圆弧上一点, ∠POB=30°,曲线 C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F. 若△OEF 的面积不小于 2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. .... 10.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、 不等式的解法以及综合解题能力.(满分 13 分)

(Ⅰ)解法 1:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A(-2,0) ,B(2,0) ,D(0,2),P( 3 ,1 ) ,依题意得 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= ( 2 + 3 ) + 1 ? (2 ? 3) + 1 =2 2 <|AB|= 4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c,
2 2 2 2

则 c=2,2a=2 2 ,∴a2=2,b2=c2-a2=2.

x2 y2 ∴曲线 C 的方程为 ? = 1. 2 2
解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|< |AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为

x2 y2 ? = 1(a >0,b>0). a2 b2 ( 3 ) 2 12 ? 2 = 1, 则由 解得 a2=b2=2, a2 b a 2 + b 2 = 4. x2 y2 ∴曲线 C 的方程为 ? = 1. 2 2

(Ⅱ)解法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理得(1-K2) x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴

1 ? k 2 ≠ 0, ? = (?4k ) 2 + 4 × 6(1 ? k 2 ) > 0,

?

k ≠ ±1, ? 3 < k < 3.

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x,y) ,F(x2,y2),则由①式得 x1+x2= |EF|= ( x1 ? x 2 ) + ( y1 + x 2 ) =
2 2 2 2

4k 6 , x1 x 2 = ? ,于是 2 1? k 1? k 2 2 3? k2 1? k 2

(1 + k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

= 1 + k ? ( x1 + x 2 ) ? 4 x1 x 2 = 1 + k ? 而原点 O 到直线 l 的距离 d=

.

2 1+ k 2



∴S△DEF=

1 1 2 2 2 3? k2 2 2 3?k2 d ? EF = ? ? 1+ k 2 ? = . 2 2 1+ k 2 1? k 2 1? k 2

若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF ≥ 2 2 ,则有

2 2 3?k2 1? k
2

≥ 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ≤ 0, 解得 ? 2 ≤ k ≤ 2 . 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(1-,1) ∪(1, 2 ). 解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1-K2)x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ∴

1 ? k 2 ≠ 0, ? = (?4k ) 2 + 4 × 6(1 ? k 2 ) > 0.

?

k ≠ ±1, ? 3<k< 3

.

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ( x1 + x 2 ) ? 4 x1 x 2 =
2

? 1? k 2

=

2 2 3?k2 1? k 2

.



当 E、F 在同一去上时(如图 1 所示) , S△OEF= S ?ODF ? S ?ODE =

1 1 OD ? x1 ? x 2 = OD ? x1 ? x 2 ; 2 2

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

S ?OEF = S ?ODF + S△ODE=
综上得 S△OEF=

1 1 OD ? ( x1 + x 2 ) = OD ? x1 ? x 2 . 2 2

1 OD ? x1 ? x 2 , 于是 2 2 2 3? k2 1? k 2 .

由|OD|=2 及③式,得 S△OEF=

若△OEF 面积不小于 2 2 , 即S ?OEF ≥ 2 2 , 则有

2 2 3?k2 1? k
2

≥ 2 2 ? k 4 ? k 2 ≤ 0, 解得 ? 2 ≤ k ≤ 2 .



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(-1,1)∪(1, 2 ). 11.(2008 湖南文 湖南文)已知椭圆的中心在原点,一个焦点是 F ( 2,0) ,且两条准线间的距离为

λ ( λ > 4) 。
(I)求椭圆的方程; (II)若存在过点 A(1,0)的直线 l ,使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上, 求 λ 的取值范围。 11.解: (I)设椭圆的方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0). a2 b2 2a 2 由条件知 c = 2, 且 = λ , 所以 a 2 = λ , b 2 = a 2 ? c 2 = λ ? 4. c 2 x y2 + = 1(λ > 4). 故椭圆的方程是 λ λ ?4

(II)依题意, 直线 l 的斜率存在且不为 0,记为 k ,则直线 l 的方程是 y = k ( x ? 1). 设点 F (2, 关于直线 l 的对称点为 F ′( x0,y 0 ), 则 0)

2 ? , x0 = ? ? 1+ k 2 解得 ? ? y = 2k ? 0 1+ k 2 ? 2 2 2k 2 ( ) ( ) 2 2 因为点 F ′( x0,y 0 ) 在椭圆上,所以 1 + k + 1+ k = 1. 即 λ λ ?4 λ (λ ? 4)k 4 + 2λ (λ ? 6)k 2 + (λ ? 4) 2 = 0.
设 k = t , 则 λ (λ ? 4)t + 2λ (λ ? 6)t + (λ ? 4) = 0.
2 2 2

x0 + 2 ? y0 ? 2 = k ( 2 ? 1), ? ? y ? 0 ? k = ?1 ? x0 ? 2 ?

(λ ? 4) 2 因为 λ > 4, 所以 > 0. 于是, λ (λ ? 4)
?? = [2λ (λ ? 6)]2 -4λ (λ ? 4)3, ? 当且仅当 ? 2λ (λ ? 6) (?) ?? λ (λ ? 4) > 0. ? 上述方程存在正实根,即直线 l 存在. 16 ? 16 ?λ ≤ , 解 (?) 得 ? 所以 4 < λ ≤ . 3 3 ?4 < λ < 6. ? 16 即 λ 的取值范围是 4 < λ ≤ . 3
12. (2008 湖南理 湖南理)若 A、B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点,弦 AB(不平行于 y 轴)的垂直平 分线与 x 轴相交于点 P,则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x>2 时,点 P(x,0) 存在无穷多条“相关弦”.给定 x0>2. (I)证明:点 P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同; (II) 试问:点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值? 若存在,求其最大值(用 x0 表示) :若不存在,请说明理由. 12. 解: (I)设 AB 为点 P(x0,0)的任意一条“相关弦” ,且点 A、B 的坐标分别是 2 2 (x1,y1)(x2,y2) 1 ≠ x2),则 y 1=4x1, y 2=4x2, 、 (x 两式相减得(y1+y2) 1-y2)=4(x1-x2).因为 x1 ≠ x2,所以 y1+y2 ≠ 0. (y 设直线 AB 的斜率是 k,弦 AB 的中点是 M(xm, ym),则 k=

y1 ? y2 4 2 y = = .从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y ? ym = ? m ( x ? xm ). x1 ? x2 y1 + y2 ym 2 y 又点 P(x0,0)在直线 l 上,所以 ? ym = ? m ( x0 ? xm ). 2 而 ym ≠ 0, 于是 xm = x0 ? 2. 故点 P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦 AB 所在直线的方程是 y ? ym = k ( x ? xm ) ,代入 y 2 = 4 x 中, 整理得 k x + 2[ k ( ym ? kxm ) ? 2] x + ( ym ? kxm ) = 0.
2 2 2

(· )

)的两个实根,且 x1 ? x2 = 则 x1、x2 是方程(·

( ym ? kxm ) 2 . k2

设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l,则

l 2 = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 )2 = (1 + k 2 )( x1 ? x2 ) 2

= (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] = 4(1 + k 2 )( xm 2 ? x1 x2 ) = 4(1 + 4 2 )[ xm ? 2 ym ( ym ? 2 xm ) 2 ym ] 4 2 ym

2 2 4 2 = (4 + ym )(4 xm ? ym ) = ? ym + 4 ym ( xm ? 1) + 16 xm 2 2 = 4( xm + 1) 2 ? [ ym ? 2( xm ? 1)]2 = 4( x0 ? 1) 2 ? [ ym ? 2( x0 ? 3)]2 .

因为 0< ym <4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设 t= ym ,则 t∈ (0,4x0-8).
2

2

记 l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2. 若 x0>3,则 2(x0-3) ∈ (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 ym =2(x0-3)时,
2

l 有最大值 2(x0-1). 若 2<x0<3,则 2(x0-3) ≤ 0,g(t)在区间(0,4 x0-8)上是减函数, 所以 0<l2<16(x0-2),l 不存在最大值. 综上所述,当 x0>3 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值 为 2(x0-1) ;当 2< x0 ≤ 3 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 江西文)已知抛物线 y = x 2 和三个点 13.(2008 江西文
2 M ( x0 , y0 )、P(0, y0 )、N (? x0 , y0 ) ( y0 ≠ x0 , y0 > 0) ,过点 M 的一条直线交抛物线于 A 、 B 两点, AP、BP 的延长线分别交曲线 C 于 E、F . (1)证明 E、F、N 三点共线; (2)如果 A 、 B 、 M 、 N 四点共线,问:是否存在 y0 ,使以线段 AB 为直径的圆与抛 物线有异于 A 、 B 的交点?如果存在,求出 y0 的取值范围,并求出该交点到直线 AB 的距

离;若不存在,请说明理由. 13. (1)证明:设 A( x1 , x1 )、B ( x2 , x2 ) ,E ( xE , y E )、B ( xF , y F )
2 2 2 x 2 ? x2 则直线 AB 的方程: y = 1 ( x ? x1 ) + x12 x1 ? x2 即: y = ( x1 + x2 ) x ? x1 x2

y

A

因 M ( x0 , y0 ) 在 AB 上,所以 y0 = ( x1 + x2 ) x0 ? x1 x2 LL ①

F
N P

M

x 2 ? y0 又直线 AP 方程: y = 1 x + y0 x1

B E O x

? x 2 ? y0 y= 1 x + y0 x12 ? y0 ? 2 x1 由? 得: x ? x ? y0 = 0 x1 ? x2 = y ?
所以 x1 + xE = 同理, xF = ?

x12 ? y0 y y2 ? xE = ? 0 , y E = 0 x1 x1 x12 y0 y2 , yF = 0 2 x2 x2

2 y0 x1 + x2 所以直线 EF 的方程: y = ?( ) y0 x ? x1 x2 x1 x2 y 令 x = ? x0 得 y = 0 [( x1 + x2 ) x0 ? y0 ] x1 x2 将①代入上式得 y = y0 ,即 N 点在直线 EF 上 所以 E , F , N 三点共线

(2)解:由已知 A、B、M 、N 共线,所以 A ? y0 , y0 , B ( y0 , y0 ) 以 AB 为直径的圆的方程: x + ( y ? y0 ) = y0
2 2

(

)

? x 2 + ( y ? y0 )2 = y0 ? 2 2 得 y ? ( 2 y0 ? 1) y + y0 ? y0 = 0 由? 2 ?x = y ? 所以 y = y0 (舍去) y = y0 ? 1 ,
所以存在 y0 ≥ 1 ,使以 AB 为直径的圆与抛物线有异于 A, B 的交点 T ( xT , yT ) 则 yT = y0 ? 1 ,所以交点 T 到 AB 的距离为 y0 ? yT = y0 ? ( y0 ? 1) = 1 要使圆与抛物线有异于 A, B 的交点,则 y0 ? 1 ≥ 0

(2008 江西理 设点 P ( x0 , y0 ) 在直线 x = m ( y ≠ ± m,0 < m < 1) 上, 江西理) 过点 P 作双曲线 14.

x 2 ? y 2 = 1 的两条切线 PA、PB ,切点为 A、B ,定点 1 M ( ,0). m (1)过点 A 作直线 x ? y = 0 的垂线,垂足为 N , 试求△ AMN 的重心 G 所在的曲线方程; (2)求证: A、M 、B 三点共线.
14..解: 1) A( x A , y A ) , ( x N , x N ) , ( 设 N ∵AN⊥直线 y = x , 则

y A ? xN = ?1 x A ? xN x + yA x + yA xA + yA ∴ xN = A ,∴ N ( A , ), 2 2 2 设 G ( x, y ) ,则 x + yA 1 ? + xA + A ? 1 1 1 m 2 = + xA + yA ?x = ? 3 3m 2 6 ,解得 ? xA + yA ? + yA 1 1 2 ? y= = xA + yA ? 3 6 2 ? 9 3 3 ? ? x A = 4 x ? 4 y ? 4m ,代入双曲线方程 x 2 ? y 2 = 1 ,并整理得 ? 3 9 1 ?yA = ? x + y + 4 4 4m ?

9( x ?

1 2 ) 2 3m ? 9 y = 1 , 2 2

1 2 ) 2 3m ? y = 1 即 G 点所在曲线方程为 29 29 (2)设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,PA 斜率为 k,则切线 PA 的方程为: y ? y1 = k ( x ? x1 ) ? y ? y1 = k ( x ? x1 ) 由? ,消去 y 并整理得: 2 2 ? x ? y =1 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( y1 ? kx1 ) x ? ( y1 ? kx1 ) 2 ? 1 = 0 ,因为直线与双曲线相切,从而 x 2 2 2 2 2 2 2 △= 4k ( y1 ? kx1 ) + 4(1 ? k )( y1 ? kx1 ) + 4(1 ? k ) = 0, x1 ? y1 = 1 , 及 解得 k = 1 y1 因此 PA 的方程为: y1 y = x1 x ? 1 同理 PB 的方程为: y 2 y = x 2 x ? 1 又 P ( m, y 0 ) 在 PA、PB 上, (x ?
∴ y1 y 0 = x1 m ? 1

y2 y0 = x2 m ? 1

即点 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 都在直线 y 0 y = mx ? 1 上, 又M(

1 ,0) 也在 y 0 y = mx ? 1 上, m

∴A、M、B 三点共线。 15.(2008 辽宁文 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之 辽宁文) ? 和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . (Ⅰ)写出 C 的方程; 少? 15.本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),, 3) 为焦点,长半 ? (0 轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b = 故曲线 C 的方程为 x +
2

(Ⅱ)设直线 y = kx + 1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ⊥ OB ?此时 AB 的值是多

uuu r

uuu r

uuu r

22 ? ( 3) 2 = 1 ,

y2 = 1 . ························································································ 4 分 4 (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 = 1, ?x + 4 ? ? y = kx + 1. ?
消去 y 并整理得 ( k 2 + 4) x 2 + 2kx ? 3 = 0 , 故 x1 + x2 = ?

2k 3 ,x1 x2 = ? 2 .············································································ 6 分 k +4 k +4 uuu uuu r r OA ⊥ OB ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 .
2

而 y1 y2 = k x1 x2 + k ( x1 + x2 ) + 1 ,
2

于是 x1 x2 + y1 y2 = ?

3 3k 2 2k 2 ?4 k 2 + 1 ? 2 ? 2 +1 = 2 . k2 + 4 k + 4 k + 4 k +4 uuu uuu r r 1 所以 k = ± 时, x1 x2 + y1 y2 = 0 ,故 OA ⊥ OB . ··························································· 8 分 2 1 4 12 当 k = ± 时, x1 + x2 = m , x1 x2 = ? . 2 17 17 uuuu r AB = ( x2 ? x1 )2 + ( y2 ? y1 ) 2 = (1 + k 2 )( x2 ? x1 )2 ,
而 ( x2 ? x1 ) = ( x2 + x1 ) ? 4 x1 x2
2 2

42 4 × 3 43 × 13 + 4× = , 17 2 17 17 2 uuuu 4 65 r 所以 AB = . ·········································································································· 12 分 17 =
16.(2008 辽宁理 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) ,(0,3) 的距离之和等于 辽宁理) ? 4,设点 P 的轨迹为 C ,直线 y = kx + 1 与 C 交于 A,B 两点. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ⊥ OB ,求 k 的值;

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

(Ⅲ)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |. 16.本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),, 3) 为焦点,长半 ? (0 轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b = 故曲线 C 的方程为 x +
2

22 ? ( 3) 2 = 1 ,

y2 = 1 . ························································································ 3 分 4 (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 = 1, ?x + 4 ? ? y = kx + 1. ?
消去 y 并整理得 ( k 2 + 4) x 2 + 2kx ? 3 = 0 , 故 x1 + x2 = ?

2k 3 ,x1 x2 = ? 2 .············································································ 5 分 k +4 uuu uuu k + 4 r r 若 OA ⊥ OB ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 .
2 2

而 y1 y2 = k x1 x2 + k ( x1 + x2 ) + 1 ,

3 3k 2 2k 2 于是 x1 x2 + y1 y2 = ? 2 ? ? +1 = 0 , k + 4 k2 + 4 k2 + 4 1 2 化简得 ?4k + 1 = 0 ,所以 k = ± . ················································································· 8 分 2 uuuu 2 uuuu 2 r r 2 2 2 2 (Ⅲ) OA ? OB = x1 + y1 ? ( x2 + y2 )

2 2 = ( x12 ? x2 ) + 4(1 ? x12 ? 1 + x2 )

= ?3( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) 6k ( x1 ? x2 ) = . k2 + 4
因为 A 在第一象限,故 x1 > 0 .由 x1 x2 = ? 故 OA ? OB > 0 ,

uuuu 2 r

uuuu 2 r

3 知 x2 < 0 ,从而 x1 ? x2 > 0 .又 k > 0 , k +4
2

即在题设条件下,恒有 OA > OB . ··············································································· 12 分 17. (2008 全国Ⅰ卷文、 )双曲线的中心为原点 O , 全国Ⅰ卷文、 焦点在 x 轴上, 两条渐近线分别为 l1,l2 , 理 经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、 、 AB OB 成等差数

uuuu r

uuuu r

uuu uuu uuu r r r

uuu r

uuu r

列,且 BF 与 FA 同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 17.解: (1)设 OA = m ? d , AB = m , OB = m + d 由勾股定理可得: ( m ? d ) 2 + m 2 = ( m + d ) 2 得: d =

1 b AB 4 m , tan ∠AOF = , tan ∠AOB = tan 2∠AOF = = 4 a OA 3 b 2 a = 4 ,解得 b = 1 由倍角公式∴ 2 3 a 2 ?b? 1? ? ? ?a? 5 则离心率 e = . 2 a (2)过 F 直线方程为 y = ? ( x ? c ) b 2 2 x y 与双曲线方程 2 ? 2 = 1 联立 a b 15 2 8 5 将 a = 2b , c = 5b 代入,化简有 2 x ? x + 21 = 0 4b b
2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 = 1 + ? ? x1 ? x2 = ?1 + ? ? ? ?( x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ?b? ? ? ?

?? 32 5b ?2 28b 2 ? ?? ? 将数值代入,有 4 = 5 ? ?4 ? ? 5 ? ?? 15 ? ? ? 解得 b = 3 x2 y 2 最后求得双曲线方程为: ? = 1. 36 9
全国Ⅱ卷文、 0) 1) 18.(2008 全国Ⅱ卷文、理)设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B (0, 是它的两个顶点,直

线 y = kx (k > 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED = 6 DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

uuu r

uuur

x2 18. (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为 + y 2 = 1, 4 直线 AB,EF 的方程分别为 x + 2 y = 2 , y = kx( k > 0) .·············································· 2 分 如图,设 D ( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 < x2 ,
且 x1,x2 满足方程 (1 + 4k ) x = 4 ,
2 2

故 x2 = ? x1 =

2 1 + 4k 2

y B D

.①

F A x

O uuu r uuur 1 5 10 ; 由 ED = 6 DF 知 x0 ? x1 = 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 = (6 x2 + x1 ) = x2 = E 7 7 7 1 + 4k 2 2 由 D 在 AB 上知 x0 + 2kx0 = 2 ,得 x0 = . 1 + 2k 2 10 = , 所以 1 + 2 k 7 1 + 4k 2 化简得 24k ? 25k + 6 = 0 ,
2

解得 k =

2 3 或 k = . ·········································································································· 6 分 3 8 (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为 x + 2kx1 ? 2 2(1 + 2k + 1 + 4k 2 ) h1 = 1 = , 5 5(1 + 4k 2 )

h2 =

x2 + 2kx2 ? 2 5

=

2(1 + 2k ? 1 + 4k 2 ) 5(1 + 4k 2 )

. ··································································· 9 分

又 AB =

22 + 1 = 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

1 AB (h1 + h2 ) 2 1 4(1 + 2k ) = 5 2 5(1 + 4k 2 ) 2(1 + 2k ) = 1 + 4k 2 S=

1 + 4k 2 + 4k 1 + 4k 2 ≤2 2 , =2
当 2k = 1 ,即当 k =

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ····························· 12 分 2 解法二:由题设, BO = 1 , AO = 2 .

设 y1 = kx1 , y2 = kx2 ,由①得 x2 > 0 , y2 = ? y1 > 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S = S△ BEF + S△ AEF = x2 + 2 y2 ····························································································································· 9 分

= ( x2 + 2 y2 ) 2
2 2 = x2 + 4 y2 + 4 x2 y2

≤ 2( x22 + 4 y22 )
=2 2, 当 x2 = 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ················································ 12 分



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