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高考数学一轮复习配套练习阶段知能检测8


阶段知能检测(八)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.到直线 3x-4y+1=0 的距离为 3 且与此直线平行的直线方程是( A.3x-4y+4-0 B.3x-4y+4=0,或 3x-4y-2=0 C.3x-4y+16=0 D.3x-4y+16=0,或 3x-4y-14=0 2.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则 它的离心率为( A. 6 ) B. 5 6 C. 2 5 D. 2 )

3.(2012· 东莞质检)若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( A.2x+y-3=0 ) B.x-2y+1=0

C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 4.已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切,则此 动圆必过定点( A.(2,0) ) B.(1,0)

C.(0,1) D.(0,-1) x2 5.与椭圆 4 +y2=1 有相同两焦点且过点 Q(2,1)的双曲线方程是( x2 x2 A. 4 -y2=1 B. 2 -y2=1 x2 y2 y2 C. 3 - 3 =1 D.x2- 2 =1 6. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, )

若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A.y2=± 4x B.y2=± 8x C.y2=4x D.y2=8x

)

x2 y2 2 7.已知椭圆 C 的方程为16+m2=1(m>0),如果直线 y= 2 x 与椭圆的一个 交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( A.2 B.2 2 C.8 D.2 3 )

x2 y2 a2 8.设 F1,F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,已知点 P( c , 3 b)(其中 c 为椭圆的半焦距),若线段 PF1 的中垂线恰好过点 F2,则椭圆离心率的 值为( 3 A. 3 ) 1 B.3 1 C.2 2 D. 2

9.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5, x2 双曲线 a -y2=1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a =( ) 1 A.9 1 B.3 C.3 D.9

x2 y2 10.(2011· 天津高考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y2 =2px(p>0)的焦点的距离为 4, 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐 标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( A.2 3 C.4 3 B.2 5 D.4 5 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线 上) 11.(2012· 佛山模拟)已知抛物线 y2=4x 的焦点与圆 x2+y2+mx-4=0 的圆 心重合,则 m 的值是________. 12.已知 l1:2x+my+1=0 与 l2:y=3x-1,若两直线平行,则 m 的值为 ________. )

x2 y2 13.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的 一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________.

图1 x2 y2 14.如图 1 所示,椭圆a2+b2=1(a>b>0)与过点 A(2,0)、B(0,1)的直线有且 3 只有一个公共点 T,且椭圆的离心率 e= 2 ,则椭圆方程是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)过点 M(0,1)作直线, 使它被两直线 l1: x-3y+10=0, l2:2x+y-8=0 所截得的线段恰好被点 M 平分,求此直线的方程. 16.(本小题满分 13 分)已知圆 C 的方程为:x2+y2-2mx-2y+4m-4=0, (m∈R). (1)试求 m 的值,使圆 C 的面积最小; (2)求与满足(1)中条件的圆 C 相切,且过点(1,-2)的直线方程. 17.(本小题满分 13 分)已知曲线 E 上任意一点 P 到两个定点 F1(- 3,0) 和 F2( 3,0)的距离之和为 4. (1)求曲线 E 的方程; →· → =0(O 为坐 (2)设过点(0,-2)的直线 l 与曲线 E 交于 C、D 两点,且OC OD 标原点),求直线 l 的方程. x2 y2 18.(本小题满分 14 分)(2012· 揭阳模拟)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的 2 离心率为 2 ,其中左焦点 F(-2,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在 圆 x2+y2=1 上,求 m 的值.

19.(本小题满分 14 分)如图 2,抛物线的顶点 O 在坐标原点,焦点在 y 轴负 → +OB →= 半轴上.过点 M(0,-2)作直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,且满足OA (-4,-12).

图2 (1)求直线 l 和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点 P 从点 A 向点 B 运动时,求△ABP 面积的最大值.

图3 x2 y2 20.(本小题满分 14 分)如图 3 所示,已知 A、B、C 是椭圆 m:a2+b2=1(a →· → >b>0)上的三点,其中点 A 的坐标为(2 3,0),BC 过椭圆 m 的中心,且AC BC → |= → . =0,|BC 2|AC| (1)求椭圆 m 的方程; (2)过点 M(0,t)的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P、Q,设 D 为椭圆 → |=|DQ → |.求实数 t 的取值范围. m 与 y 轴负半轴的交点,且|DP

答案及解析
1. 【解析】 由 设所求直线方程为 3x-4y+m=0, |m-1| 5 =3,解得 m=16,或 m=-14.

所求直线方程为 3x-4y+16=0,或 3x-4y-14=0. 【答案】 D

2. 【解析】
2

b 2 1 由题意知a=4=2,

2 2 c2 a +b b 5 ∴e =a2= a2 =1+(a)2=4,

5 ∴e= 2 . 【答案】 3. 【解析】 D 由已知得圆心 O(3,0),kOP= 0-1 1 =-2, 3-1

则直线 MN 的斜率 KMN=2,∴直线 MN 的方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y -1=0. 【答案】 D

4. 【解析】 直线 x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线定义知,动圆 一定过抛物线的焦点(1,0). 【答案】 5. 【解析】 B x2 椭圆 4 +y2=1 的焦点坐标为(± 3,0),

x2 y2 设双曲线的标准方程为 2- 2=1, a b a2+b2=3, ? 2 ? ?a =2, 则由题意可知? 4 1 ∴? 2 ?b =1. 2- 2=1, ? ?a b x2 2 ∴双曲线方程为 2 -y =1. 【答案】 6. 【解析】 B a 根据抛物线方程可得其焦点坐标为(4,0),

又直线 l 斜率为 2, a 故直线方程为 y=2(x-4), a ∴A(0,-2) 1 |a| |a| 故 S△QAF=2× 4 × 2 =4, 解得 a=± 8,

故抛物线方程为 y2=± 8x. 【答案】 7. 【解析】 B 根据已知条件 c= 16-m2,则点( 16-m2,

2 x2 y2 2 2 16-m )在椭圆16+m2=1(m>0)上, ∴ 16-m2 16-m2 16 + 2m2 =1,可得 m=2 2. B 由题意|PF2|=|F1F2|,

【答案】 8. 【解析】

a2 ∴(c- c )2+(0- 3b)2=(2c)2, 又 b2=a2-c2, a ∴(c- c)2+3(a2-c2)=4c2, 整理得 6e4-e2-1=0, 1 2 解得 e2=2,∴e= 2 . 【答案】 9. 【解析】 D 由题意可知,抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=-4,所

x2 以 p=8,则点 M(1,4),双曲线 a -y2=1 的左顶点为 A(- a,0), 所以直线 AM 的斜率为 【答案】 A b 双曲线左顶点为 A(-a,0),渐近线为 y=± ax, 4 4 1 1 ,由题意得 = ,解得 a=9. 1+ a 1+ a a

10. 【解析】

p p 抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F(2,0),准线 x=-2. p 由题意知-2=-2,∴p=4, 由题意知 2+a=4,∴a=2. p b ∴与准线 x=-2交于(-2,-1)的渐近线为 y=2x, b ∴-1=2×(-2),

∴b=1. ∴c2=a2+b2=5, ∴c= 5,∴2c=2 5. 【答案】 B m 抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),∴- 2 =1,∴m=-2.

11. 【解析】 【答案】

-2 由题意知,m≠0,则直线 l1 的方程为:

12. 【解析】 2 1 y=-mx-m, 2 - ? ? m=3, ∴? 1 ? ?m≠1, 【答案】 2 -3

2 解得 m=- . 3

13. 【解析】

由条件知双曲线的焦点为(4,0),

a2+b2=16, ? ? 所以?b 解得 a=2,b=2 3, = 3 , ? ?a x2 y2 故双曲线方程为 4 -12=1. 【答案】 x2 y2 4 -12=1 x2 y2 ? ?a2+b2=1 1 ? ?y=-2x+1

x 14. 【解析】 过 A、B 的直线方程为2+y=1.由题意得? 一解, 1 ∴(b2+4a2)x2-a2x+a2-a2b2=0 有唯一解, 所以 Δ=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0), 故 a2+4b2-4=0. a2-b2 3 3 又因为 e= 2 ,即 a2 =4,

有唯

所以 a2=4b2. 1 从而 a2=2,b2=2. x2 故所求的椭圆方程为 2 +2y2=1. 【答案】 x2 2 2 +2y =1

15. 【解】 设所求直线与 l1、l2 分别交于 A、B 两点,∵点 B 在直线 l2:2x +y-8=0 上,故可以设点 B(t,8-2t).∵M(0,1)是 AB 的中点, ∴由中点坐标公式可得 A(-t,2t-6). ∵A 点在直线 l1:x-3y+10=0 上, ∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得 t=4. ∴A(-4,2),B(4,0). 故所求直线的方程为 x+4y-4=0. 16. 【解】 圆 C 的方程:(x-m)2+(y-1)2=(m-2)2+1.

(1)当 m=2 时,圆的半径有最小值 1,此时圆的面积最小. (2)当 m=2 时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1, 设所求的直线方程为 y+2=k(x-1), 即 kx-y-k-2=0, 由直线与圆相切,得 |2k-1-k-2| 4 =1,k=3, 2 k +1

4 所以切线方程为 y+2=3(x-1),即 4x-3y-10=0, 又过点(1,-2)且与 x 轴垂直的直线 x=1 与圆相切, 所以所求的切线方程为 x=1 或 4x-3y-10=0. 17. 【解】 (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,其中 a=2,c = 3. ∴b= a2-c2=1, x2 2 ∴曲线 E 的方程为 4 +y =1. (2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意,当直线 l 的斜率存在时,设 l 的 方程为 y=kx-2,

设 C(x1,y1),D(x2,y2), →· → =0,∴x x +y y =0, ∵OC OD 1 2 1 2 x2 ? ? +y2=1 由方程组? 4 ? ?y=kx-2 ,得(1+4k2)x2-16kx+12=0,

16k 12 ∴x1+x2= ,x x = , 1+4k2 1 2 1+4k2 又∵y1· y2=(kx1-2)(kx2-2)=k2x1x2-2k(x1+x2)+4, 12?1+k2? 32k2 ∴x1x2+y1y2=(1+k )x1x2-2k(x1+x2)+4= - +4=0, 1+4k2 1+4k2
2

解得 k2=4,即 k=2 或 k=-2, 所以,直线 l 的方程是 y=2x-2 或 y=-2x-2. c 2 ? = ?a 2 , (1)由题意,得? c=2, ? ?a2=b2+c2.

18. 【解】

?a=2 2, x2 y2 ? 解得 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 ?b=2. (2)设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0), x2 y2 ? ? + =1, 由? 8 4 ? ?y=x+m. 消 y 得,3x2+4mx+2m2-8=0,

Δ=96-8m2>0,∴-2 3<m<2 3. ∴x0= x1+x2 2m m 2 =- 3 ,y0=x0+m= 3 .

2m m 3 5 ∴(- 3 )2+( 3 )2=1,∴m=± 5 . 19. 【解】 (1)根据题意可设直线 l 的方程为 y=kx-2,

抛物线方程为 x2=-2py(p>0), ?y=kx-2 有? 2 得 x2+2pkx-4p=0. ?x =-2py 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)则

x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4, → +OB → =(x +x ,y +y )=(-2pk,-2pk2-4). ∴OA 1 2 1 2 → +OB → =(-4,-12), ∵OA ?-2pk=-4 ?p=1 ? ∴? 解得 , 2 ?-2pk -4=-12, ?k=2 故直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线方程为 x2=-2y. (2)据题意,当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△APB 的面积最大. 设点 P(x0,y0),由 y′=-x,故由-x0=2 得 x0=-2, 1 则 y0=-2x2 0=-2,故 P(-2,-2). 此时点 P 到直线 l 的距离 d= |2×?-2?-?-2?-2| 4 4 5 = = 5 . 5 22+?-1?2

?y=2x-2 由? 2 得 x2+4x-4=0. ?x =-2y

故|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+22· ?-4?2-4×?-4?=4 10, 故△ABP 的面积的最大值为 1 1 4 5 · | AB |· d = × 4 10 × 2 2 5 =8 2. 20. 【解】 → |=2|AC → |且 BC 过(0,0), (1)∵|BC

→ |=|AC → |,又∵AC →· → =0, 则|OC BC ∴∠OCA=90° ,即 C( 3, 3), x2 y2 又∵a=2 3,设 m:12+ =1, 12-c2 3 将 C 点坐标代入得12+ 解得 c2=8,b2=4, x2 y2 ∴椭圆 m 的方程是12+ 4 =1. 3 =1, 12-c2

(2)由条件 D(0,-2),∵M(0,t), (i)当 k=0 时,显然-2<t<2, (ii)当 k≠0 时,设 l:y=kx+t, x2 y2 ? ? + =1, ?12 4 ? ?y=kx+t 消 y 得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-12=0,

由 Δ>0 可得 t2<4+12k2,① 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 中点 H(x0,y0), 则 x0= x1+x2 3kt t =- , 2,y0=kx0+t= 2 1+3k 1+3k2 3kt t , ), 1+3k2 1+3k2

∴H(-

→ |=|DQ → |, 由|DP 1 ∴DH⊥PQ,即 kDH=-k , t +2 1+3k2 1 ∴ =-k,化简得 t=1+3k2,② 3kt - -0 1+3k2 ∴t>1,将①代入②得 1<t<4, ∴t 的范围是(1,4), 综上(i)、(ii)知实数 t 的取值范围是(-2,4).



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