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28.第五章 第二节 等差数列及其前n项和


第五章 第二节 等差数列及其前 n 项和
一、选择题 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S5=20,则 a7+a8+a9=( A.63 C.36 B.45 D.27 ) )

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a8=15-a5,则 S9 等于( A.18 C.45 B.36 D.60 )

2 3.在等差数列{an}中,an<0,a2 3+a8+2a3a8=9,那么 S10 等于(

A.-9 C.-13

B.-11 D.-15

4.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数, 则它的公差为( A.-2 C.-4 ) B.-3 D.-6 )

5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=( A.8 C.6 B.7 D.5

6.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12, 则 a8=( A.0 C.8 二、填空题 7.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=________. 8.等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________. 9.在等差数列{an}中,a1=2,a2+a5=13,则 a5+a6+a7=________. 三、解答题 10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a2+a4=14,S7=70. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+48 (2)设 bn= ,则数列{bn}的最小项是第几项?并求出该项的值. n ) B.3 D.11

1

11.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6 +15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.

1 - 12.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn 满足关系式 2Sn=Sn-1-( )n 1+2(n≥2,n 为正 2 1 整数),a1= . 2 (1)令 bn=2nan,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)在(1)的条件下,求 Sn 的取值范围.

详解答案
一、选择题 1.解析:由 S3=9,S5=20,得 d=1,a1=2,∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×9= 27. 答案:D 2.解析:∵{an}为等差数列,a2+a8=15-a5 ∴3a5=15,即 a5=5. 9?a1+a9? ∴S9= =9a5=45. 2
2

答案:C
2 2 3.解析:由 a2 3+a8+2a3a8=9,得(a3+a8) =9,∵an<0,

10?a1+a10? ∴a3+a8=-3,∴S10= =5(a3+a8)=5×(-3)=-15. 2 答案:D
? ?a6>0 4.解析:an=23+(n-1)d,由题意知,? , ?a7<0 ? ? ?23+5d>0 23 23 即? ,解得- <d<- , 5 6 ?23+6d<0 ?

又 d 为整数,所以 d=-4. 答案:C 5.解析:依题意得 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d=2(2k+1)+2=24,解得 k= 5. 答案:D 6.解析:因为{bn}是等差数列,且 b3=-2,b10=12, 12-?-2? 故公差 d= =2.于是 b1=-6, 10-3 且 bn=2n-8(n∈N*),即 an+1-an=2n-8, 所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6 =3. 答案:B 二、填空题 7.解析:依题意得 a2+a4+a6+a8=(a2+a8)+(a4+a6)=2(a3+a7)=74. 答案:74 8.解析:设{an}的公差为 d,由 S9=S4 及 a1=1, 9×8 4×3 得 9×1+ d=4×1+ d, 2 2 1 所以 d=- .又 ak+a4=0, 6 1 1 所以[1+(k-1)×(- )]+[1+(4-1)×(- )]=0. 6 6 即 k=10. 答案:10 9.解析:由 a1+a6=a2+a5 得 a6=11. 则 a5+a6+a7=3a6=33. 答案:33
3

三、解答题
? ?2a1+4d=14 10.解:(1)设公差为 d,则有? , ?7a1+21d=70 ? ?a1+2d=7, ?a1=1, ? ? 即? 解得? . ? ? ?a1+3d=10. ?d=3.

所以 an=3n-2. 3n2-n n (2)Sn= [1+(3n-2)]= 2 2 3n2-n+48 48 所以 bn= =3n+ -1≥2 n n 48 当且仅当 3n= ,即 n=4 时取等号, n 故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. -15 11.解:(1)由题意知 S6= =-3,a6=S6-S5. S5 所以 a6=-3-5=-8,
?5a1+10d=5 ? 所以? , ?a1+5d=-8 ?

48 3n· -1=23. n

解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7.
2 (2)因为 S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a1 +9a1d+10d2+1=0. 2 两边同乘以 8,得 16a2 1+72a1d+80d +8=0,

化简得(4a1+9d)2=d2-8. 所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 1 - 1 1 12. 解: (1)由 2Sn=Sn-1-( )n 1+2, 得 2Sn+1=Sn-( )n+2, 两式相减得 2an+1=an+( )n, 2 2 2 上式两边同乘以 2n 得 2n 1an+1=2nan+1, 即 bn+1=bn+1, 所以 bn+1-bn=1, 故数列{bn}


是等差数列, 1 且公差为 1, 又因为 b1=2a1=1, 所以 bn=1+(n-1)×1=n, 因此 2nan=n, 从而 an=n· ( )n. 2 1 - 1 - 1 - (2)由于 2Sn=Sn-1-( )n 1+2,所以 2Sn-Sn-1=2-( )n 1,即 Sn+an=2-( )n 1,Sn=2 2 2 2 1 - 1 1 - 1 1 -( )n 1-an,而 an=n· ( )n,所以 Sn=2-( )n 1-n· ( )n=2-(n+2)· ( )n. 2 2 2 2 2 n+ 1 1 + 1 所以 Sn+1=2-(n+3)· ( )n 1,且 Sn+1-Sn= n+1 >0,所以 Sn≥S1= ,又因为在 Sn=2 2 2 2 1 1 -(n+2)· ( )n 中,(n+2)· ( )n>0,故 Sn<2, 2 2
4

1 即 Sn 的取值范围是[ ,2). 2

5


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