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【整理 】广东省中山市2012届高三上学期期末试题数学文


中山市高三级 2011—2012 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.复数 z ?

i 在复平面内对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2.设 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题 ①若 m ? ? , n // ? , 则m // n ③若 ? ? ? ? n, m / / n, 则m / /? , 且m / / ? 其中正确的命题是 A.① B.② 3.已知 sin ? ? ? A. ② m ? ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? ④若 m ? ? , m ? ? , 则? // ?

C.③④

D.②④

3 2

3 3? sin 2? , 且? ? (? , ), 则 的值等于 5 2 cos 2 ? 3 3 3 B. C.— D.— 4 2 4

* 4 . 设 等 比 数 列 {an }的前n项和为Sn ,已知a1 ? 2011, 且an ? 2an?1 ? an? 2 ? 0 (n ? N ) , 则 S2012 =

B.2012 C .1 D.0 2 x ? y ? 0 ? ? 5.已知变量 x, y满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 0 ? A.0 B.

A.2011

3 2

C .4

D.5

6.设 x, y ? R ,那么“ x ? y ? 0 ”是“

x ? 1 ”的 y

A.必要不充分条件 C.充要条件 A.0 B.3 C.6 D.12

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

7.如程序框图:若输入 m ? 72 , n ? 30 ,则输出 n ? 开始

输入 m,n

n= r

求 m 除以n的余数 r
m=n r=0? 是 输出 n (第 10 题) 结束 8.已知函数 f ( x) ? lg x .若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是 A. ? 2, ??? 9.定义运算 B. ? 4, ??? C. ?2, ??? D.R (第 7 题) 否

a b x ?1 2 图 像 的 顶 点 是 (m ,n ) , 且 ? ad ? bc , 函 数 f ( x) ? c d ?x x ? 3

k、 m 、n 、 r成等差数列,则 k ? r ?
A.0 B.-14 C.-9 D.-3 10.如图,将 45 ? 的直角三角板 ADC 和 30 ? 的直角三角板 ABC 拼在一起组成平面四边形 ABCD,其中 45 ? 的直角三角板的斜边 AC 与 30 ? 的直角三角板的 30 ? 所对的直角边 重合,若 DB ? xDA ? yDC ,则 x,y 分别等于 A. 3 , 1 B. 3 ,

uuu r

uu u r

uuu r

3 ?1

C. 2 ,

3

D. 3 ? 1 ,

3

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.命题“ ?x ? R,cos x ? 1 ”的否定是 12.某校共有学生 2000 名,各年级男、女 学生人数如右表所示,已知在全校学生中 随机抽取 1 名,抽到高二级女生的概率是 0.19,现用分层抽样的方法(按年级分层) 女生 男生 . 高一级 375 385 高二级 x 360 . 高三级 y z

在全校学生中抽取 100 人,则应在高三级中抽取的学生人数为

13 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ? ax ?1?? x ? 1? < 0 的 解 集 是 (??, ?1) ? (?

1 , ??) . 则 2

a?

.

14. 已知函数 f ( x) ? 2x 的图象与函数 g(x)的图象关于直线 y ? x 对称, 令 h( x) ? g (1 ? x ) 则关于函数 h(x)有下列命题: ① h( x) 为图象关于 y 轴对称; ③ h( x) 的最小值为 0; 其中正确命题的序号为 ② h( x) 是奇函数; ④ h( x) 在(0,1)上为减函数.
高考资源网

(注:将所有正确 命题的序号都填上). ..

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,满足 a ? c ? b ? ac.
2 2 2

(1)求角 B 的大小; (2)若 x ? ?0, ? ?,求函数 f ( x) ? sin(x ? B) ? sin x 的值域。

16. (本小题满分 12 分) 我市某大学组建了 A、B、C、D 四个不同的社团组织,为培养学生的兴趣爱好,要 求每个学生必须参加且只能参加一个社团,假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这四个社 团的选择是等可能的。 (1)求甲、乙两人都参加 C 社团的概率; (2)求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率。

17. (本题满分 14 分) 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

D1

E

C1 B1

A1

D

C

E 是线段 AC 1 1 的中点,底面 ABCD 的中心是 F.
(1) 求证: CE ? BD ; (2) 求证: CE ∥平面 A 1BD ; (3) 求三棱锥 D ? A 1BC 的体积。 18. (本小题满分 14 分) 已知数列{ an }满足 a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2

(n ? 2) . (1)证明:数列{ an +2}是等比数列.并求数列{ an }的通项公式 an ; b (2)若数列{ bn }满足 bn ? log2 (an ? 2) ,设 Tn 是数列 { n } 的前 n 项和. an ? 2

求证: Tn

?

3 2

19. (本小题满分 14 分) 国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值 y (美元)与其重量 x (克拉) 的平方成正比,且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元。 (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石,求价值损失的百分率; (3)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉,试证 明:当 m=n 时,价值损失的百分率最大。 (注:价值损失的百分率= 原有价值- 目前价值 × 100% ;在切割过程中的重量损耗忽略不 原有价值 计)

20.(本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? 4 x ? 3 x sin ? ?
3 2

(1)当 ? ? 0 时,判断函数 f ( x ) 是否有极值,说明理由;

1 ,其中 x ? R,? 为参数,且 0 ? ? ? ? . 32

(2)要使函数 f ( x ) 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ( x ) 在区间 (2a ? 1, a) 内都 是增函数,求实数 a 的取值范围。

中山市高三级 2011—2012 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)答案
一、选择题 二、填空题 BDADC BCACB 11. ?x ? R, cos x ? 1 ; 12.25 ; 13.—2; 14. ①④

三、解答题 15. (本题满分 12 分)

16. (本题满分 12 分) 解法一: (1)由于每人参加其中一个社图的概率是

1 , 4 1 1 1 所以,甲、乙两人都参加 C 社团的概率为 ? ? ; 4 4 16
(2)总的可能情况为 4 ? 4 ? 4 ? 64(种) ………8 分

………3 分 ………6 分

但由于三人中任何两人都不在同一社图的总数为 4 ? 3 ? 2 =24(种) ,………10 分 24 5 所以,甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率 1 ? ? ……12 分 64 8 解法二:穷举法,分别列出总的基本事件,数数符合的含有多少个基本事件,从而得到答 案。

17. (本题满分 14 分) 解: (1)证明:根据正方体的性质 BD ? AC ,…………………………………………2 分 因为 AA BD ? 平面ABCD ,所以 BD ? AA1 ,又 AC ? AA1 ? A 1 ? 平面ABCD ,

CE ? BD ;……………5 分 所以 BD ? 平面ACC1 A 1 , CE ? 平面ACC1 A 1 ,所以
(2)证明:连接 A1F ,因为 AA AA1 ? BB1 ? CC1 , 1 // BB 1 // CC1 , 所以 ACC1 A1 为平行四边形,因此 AC AC 1 1 // AC , 1 1 ? AC 由于 E 是线段 AC 1 1 的中点,所以 CE // FA 1 ,……8 分

D1

E

C1 B1

A1

CE ? 平面 A1BD , 因为 FA1 ? 面 A 1BD ,
所以 CE ∥平面 A 1BD ……………………………10 分 (3) VD ? A1BC ? VA1 ? BCD ?

D A F B

C

1 a3 ? S?BCD ? A1 A ? ……14 分 3 6

18. (本题满分 14 分) 证明: (1)由 an=2an-1+2, ∴an+2=2(an-1+2) ∴

an ? 2 ? 2. a n ?1 ? 2

………………………2 分

又 a1=2, ∴ {an+2}是以 a1+2=4 为首项,以 2 为公比的等比数列. ………………4 分 n-1 ∴an+2=4· 2 , n+1 ∴an=2 -2, …………………………………5 分 (2)证明:由 bn ? log2 (a n ? 2) ? log2 2
n ?1

? n ? 1, 得

bn n ?1 ? n?1 , ………7 分 an ? 2 2





,④ ③-④,得

……

…………9 分

1 2 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

…………13 分

Tn ?

3 n?3 ? 2 2 n ?1

所以:

Tn ?

3 .……………………14 分 2

19.(本小题 14 分) 解:(1)依题意设 y=kx 2 , ……………………………………………2 分
2 k= 60 0y=6000x 0 , 故 . ……………………… 4 分

当x = 3 时, y = 5 4 , 0? 00

(2)设这颗钻石的重量为 a 克拉, 由(1)可知, 按重量比为 l∶3 切割后的价值为 6000( a ) ? 6000( a) .
2 2

1 4

3 4

价值损失为 6000a ? [6000( a ) ? 6000( a ) ] .……
2 2 2

1 4

3 4

…………… 6 分

价值损失的百分率为

1 3 6000a 2 ? [6000( a)2 ? 6000( a) 2 ] 4 4 ? 0.375 ? 37.5% 6000a 2
…………………………………9 分

∴价值损失的百分率为 37.5%. (3)证明:价值损失的百分率应为

m?n 2 2?( ) 6000(m ? n)2 ? (6000m 2 ? 6000n 2 ) 2mn 1 ,等号当且仅当 2 ? ? ? 2 2 2 6000(m ? n) ( m ? n) ( m ? n) 2
m=n 时成立. ……………13 分 即把一颗钻石切割成两颗钻石,当两颗钻石的重量相等时,价值损失的百分率达到 最大 . ………………………………………………14 分

20. (本小题 14 分)
3 解: (1)当 ? ? 0 即 sin ? ? 0 时 f ( x) ? 4 x ?

1 , 则 f ( x) 在 (??, ??) 内是增函数,故无 32

极值。…………3 分 (2) f '( x) ? 12 x2 ? 6 x sin ? , 令 f '( x) ? 0, 得

x1 ? 0, x2 ?

sin ? . 2
…………5 分

由 0 ? ? ? ? 及(1) ,只需考虑 sin ? ? 0 的情况。 当 x 变化时, f '( x) 的符号及 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??, 0)
+ 增

0 0 极大值

(0,

sin ? ) 2
- 减

sin ? 2
0 极小值

(

sin ? , ??) 2
+ 增

因此,函数 f ( x ) 在 x ?

sin ? sin ? ), 且 处取得极小值 f ( 2 2

sin ? 1 1 ) ? ? sin 3 ? ? . 2 4 32 sin ? 1 3 1 1 ) ? 0, 必有 ? sin ? ? ? 0, 可得 0 ? sin ? ? , 所以 要使 f ( 2 4 32 2 ? 5? 0 ?? ? 或 ?? ?? …………9 分 6 6 sin ? , ??) 内都是增函数。 (3)解:由(2)知,函数 f ( x ) 在区间 (??, 0) 与 ( 2 由题设,函数 f ( x ) 在 (2a ? 1, a) 内是增函数,则 a 须满足不等式组 ? 2a ? 1 ? a ? 2a ? 1 ? a ? 或? 13 分 1 ? 2a ? 1 ? sin ? ?a ? 0 ? ? 2 ? 5? 1 1 ? ? ? ? 时, 0 ? sin ? ? . 要使不等式 2a ? 1 ? sin ? 关 由(2)中 0 ? ? ? 或 6 6 2 2 1 于参数 ? 恒成立,必有 2a ? 1 ? . 4 5 综上所述, a 的取值范围是 (??, 0] ? [ ,1). …………14 分 8 f(



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