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必修三和必修五期末复习训练题二(详解参考答案)


吉林省抚松县第一中学

志存高远

追求卓越

2017—2018 学年(下)高一数学期末训练题(二)
命题人: 杨凤升

一、选择题: (本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选 项中,只有一项 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) .... 1.若 a>b>1,0<c<1,则( A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 【解答】解:∵a>b>1,0<c<1, ∴函数 f(x)=xc 在(0,+∞)上为增函数,故 ac>bc,故 A 错误; 函数 f(x)=xc﹣1 在(0,+∞)上为减函数,故 ac﹣1<bc﹣1,故 bac<abc,即 abc>bac; 故 B 错误; logac<0,且 logbc<0,logab<1,即 误; 0<﹣logac<﹣logbc, 故﹣blogac<﹣alogbc, 即 blogac>alogbc, 即 alogbc<blogac, 故 C 正确; 故选:C 2.甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5 位评委评分情况如茎叶图所示, 记甲、乙两人的平均得分分别为 、 ,则下列判断正确的是( ) = <1,即 logac>logbc.故 D 错 )

期末训练题答案二

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古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚韧不拔之志.

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A. C.

< >

,甲比乙成绩稳定 B. ,甲比乙成绩稳定 D.

< >

,乙比甲成绩稳定 ,乙比甲成绩稳定

【解答】解:由茎叶图知,甲的得分情况为 17,16,28,30,34; 乙的得分情况为 15,28,26,28,33, 因此可知甲的平均分为 乙的平均分为 故可知 < ,排除 C、D, =86, ,

同时根据茎叶图数据的分布情况可知,乙的数据主要集中在 86 左右,甲的数据比 较分散, 乙比甲更为集中,故乙比甲成绩稳定,选 B. 故选 B. 3.若{an}是等差数列,首项公差 d<0,a1>0,且 a2013(a2012+a2013)<0,则使数列 {an}的前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是( A.4027 B.4026 C.4025 D.4024 【解答】解:由题意可得数列{an}单调递减, 由 a2013(a2012+a2013)<0 可得: a2012>0,a2013<0,|a2012|>|a2013|. ∴a2012+a2013>0. 则 S4025=4025a2013<0, 故使数列{an}的前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是 4024. 故选 D. )

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4. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系, 随机调查了该社区 5 户家庭, 得到如下统计数据表: 收入 x(万 元) 支出 y(万 元) 根据上表可得回归直线方程 收入为 15 万元家庭年支出为( ,其中 ) ,据此估计,该社区一户 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9

A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 【解答】解:由题意可得 = (8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10, = (6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8, 代入回归方程可得 =8﹣0.76×10=0.4, ∴回归方程为 =0.76x+0.4, 把 x=15 代入方程可得 y=0.76×15+0.4=11.8, 故选:B. 5.不等式(x+5) (1﹣x)≥8 的解集是( )

A.{x|x≤1 或 x≥﹣5} B.{x|x≤﹣3 或 x≥﹣1} C.{x|﹣5≤x<1} D. {x|﹣3 ≤x≤﹣1} 【解答】解:∵(x+5) (1﹣x)≥8, ∴(x+3) (x+1)≤0, 解得:﹣3≤x≤﹣1, 故选:D.
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6.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A. B. C. D.



【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴ ∴ . ,解得 .

故选 C. 7.在一幢 10 米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60°,塔基的俯角为 45°, 那么这座塔吊的高是( A. B. ) C. D.

【解答】解:由题意,设楼高 AB=10 米,塔高为 CE ∵测得对面一塔吊顶的仰角为 60°,塔基的俯角为 45° ∴∠DAE=60°,∠DAC=45°,∴ABCD 是正方形,

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∴CD=AB=10 米 再由∠DAE=60°,在直角三角形 ADE 中可求得 DE=ADtan60°=10 ∴塔高为 DE+CD=10+10 故选 B. 8.某中学的高一、高二、高三共有学生 1350 人,其中高一 500 人,高三比高二少 50 人,为了解该校学生健康状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本 中有高一学生 120 人,则该样本中的高二学生人数为( A.80 B.96 C.108 D.110 ) = 米 米

【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为:500,450,400,即可得出该样本 中的高二学生人数. 【解答】解:设高二 x 人,则 x+x﹣50+500=1350,x=450, 所以,高一、高二、高三的人数分别为:500,450,400 因为 = ,所以,高二学生抽取人数为: =108,

故选 C. 9.已知 x,y 满足约束条件 A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=( )

【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 则 A(2,0) ,B(1,1) , 若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2, 此时,目标函数为 z=2x+y, 即 y=﹣2x+z,
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平移直线 y=﹣2x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 4,满足 条件, 若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3, 此时,目标函数为 z=3x+y, 即 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 6,不满 足条件, 故 a=2, 故选:B

10.已知实数 x∈[1,9],执行如图所示的流程图,则输出的 x 不小于 55 的概率为 ( )

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A.

B.

C.

D.

【解答】解:设实数 x∈[1,9], 经过第一次循环得到 x=2x+1,n=2, 经过第二循环得到 x=2(2x+1)+1,n=3, 经过第三次循环得到 x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4 此时输出 x, 输出的值为 8x+7, 令 8x+7≥55,得 x≥6, 由几何概型得到输出的 x 不小于 55 的概率为 P= 故选 B. 11.已知△ABC 的周长为 则角 C 的大小为( ) +1,且 sinA+sinB= sinC.若△ABC 的面积为 sinC, = .

A.30° B.60° C.90° D.120° 【解答】解:将 sinA+sinB= ∵a+b+c= +1,
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sinC 利用正弦定理化简得:a+b=

c,

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c+c= ,

+1,即 c=1,

∴a+b=

∵S△ABC= absinC= sinC, ∴ab= , ∵cosC= 则 C=60°. 故选:B. = = = = ,

12.数列{an}满足 a1= ,an+1=an2﹣an+1(n∈N*) ,则 m= 分是( )

的整数部

A.3 B.2 C.1 D.0 【解答】解:由题设知,an+1﹣1=an(an﹣1) , , ∴ 通过累加,得 = 由 an+1﹣an=(an﹣1)2≥0, 即 an+1≥an, 由 得 得 a3= , , .
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=2﹣



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∴a2010≥a2009≥a2008≥a3>2, ∴ ∴1<m<2, 所以 m 的整数部分为 1. 故选 C. ,

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡 中的横线上) 13.三个数 72,120,168 的最大公约数为( A.48 B.36 C.24 D.12 )

【解析】选 C.先求 120,168 的最大公约数, 因为 168=120×1+48,120=48×2+24,48=24×2, 所以 120,168 的最大公约数是 24. 再求 72,24 的最大公约数, 因为 72=24×3,所以 72,24 的最大公约数为 24, 即 72,120,168 的最大公约数为 24. 【一题多解】选 C.先求 120,168 的最大公约数, 168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24. 所以 120,168 的最大公约数为 24. 再求 72,24 的最大公约数, 72-24=48,48-24=24.

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所以 72,24 的最大公约数为 24, 即 72,120,168 的最大公约数为 24. 14.如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分, 据此估计阴影部分的面积为 0.18 .

【解答】解:正方形的面积 S=1,设阴影部分的面积为 S, ∵随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分, ∴几何槪型的概率公式进行估计得 即 S=0.18, 故答案为:0.18. 15.在数列{an}中,a1=1,n≥2 时,an=an﹣1+n,若不等式 成立,则实数λ 的取值范围是 [2,+∞) . 对任意 n∈N*恒 ,

【解答】解:在数列{an}中,a1=1,n≥2 时,an=an﹣1+n,即 an﹣an﹣1=n, ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =n+(n﹣1)+…+2+1 = ∴an= 不等式 由于 2> 不等式 , (n=1 时也成立) . . 化为:λ > , 对任意 n∈N*恒成立,
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则λ ≥2. 则实数λ 的取值范围是:[2,+∞) . 故答案为:[2,+∞) . 16.已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,a=2 且(2+b) (sinA ﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC 面积的最大值为 【解答】解:因为: (2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC ? (2+b) (a﹣b)=(c﹣b)c ? 2a﹣b2=c2﹣bc, 又因为:a=2, 所以: △ABC 面积 而 b2+c2﹣a2=bc ? b2+c2﹣bc=a2 ? b2+c2﹣bc=4 ? bc≤4 所以: 故答案为: . ,即△ABC 面积的最大值为 . , , .

三、解答题: (本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)某公司 2016 年前三个月的利润(单位:百万元)如表: 月份 利润
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1 2
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2 3.9

3 5.5

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(1)求利润 y 关于月份 x 的线性回归方程; (2)试用(1)中求得的回归方程预测 4 月和 5 月的利润; (3)试用(1)中求得的回归方程预测该公司 2016 年从几月份开始利润超过 1000 万?

相关公式:b=

, = ﹣



【解答】解: (1)根据题意得, =

=2, =

=3.8,



, 故利润 y 关于月份 x 的线性回归方程是 ; (2)当 x=4 时, 故可预测 4 月的利润为 730 万; 当 x=5 时, , ,

故可预测 5 月的利润为 905 万; (3)由 1.75x+0.3=10, 解得 x≈5.5, 故公司 2016 年从 6 月份开始利润超过 1000 万.

18. (本小题满分 12 分) 某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,
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其中成绩分组区间如下: 组号 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组

[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90, 100]

(Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一 个总体,从中随机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?

【解答】解: (Ⅰ)由题意得 10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1,所 以 a=0.005.…(3 分) (Ⅱ)由直方图分数在[50,60]的频率为 0.05,[60,70]的频率为 0.35,[70,80] 的频率为 0.30, [80,90]的频率为 0.20,[90,100]的频率为 0.10,所以这 100 名学生期中考试数 学 成 绩 的 平 均 分 的 估 计 值 为 : 55 × 0.05+65 × 0.35+75 × 0.30+85 × 0.20+95 × 0.10=74.5 …(6 分) (Ⅲ)由直方图,得:
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第 3 组人数为 0.3×100=30, 第 4 组人数为 0.2×100=20 人, 第 5 组人数为 0.1×100=10 人. 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 每组分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: 人, 人, =1 人.

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.…(9 分) 设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 位同学为 B1,B2,第 5 组的 1 位同 学为 C1,则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: (A1,A2) , (A1,A3) , (B1,B2) , (A2,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A1,C1) , (A2,C1) , (A3,C1) , (B1,C1) , (B2,C1) , 其中恰有 1 人的分数不低于 90(分)的情形有: (A1,C1) , (A2,C1) , (A3,C1) , (B1, C 1) , (B2,C1) ,共 5 种.…(13 分) 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 …(14 分)

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19.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一次函数 y=mx+n. (1)设集合 P={﹣4,﹣1,1,2,3}和 Q={﹣4,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取 一个数作为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是减函数的概率; (2)实数 m,n 满足条件 率. 【解答】解: (1)由已知,抽取的全部结果表示为(m,n) ,则基本事件有: (﹣4, ﹣4) , (﹣4,3) , (﹣1,﹣4) , (﹣1,3) , (1,﹣4) , (1,3) , (2,﹣4) , (2,3) , (3,﹣4) , (3,3) ,共 10 个基本事件,设使函数为减函数的事件为 A,m<0,则 A 包含的基本事件有: (﹣4,﹣4) , (﹣4,3) , (﹣1,﹣4) , (﹣1,3) ,共 4 个基 本事件,由古典概型公式,P(A)= (2)m、n 满足条件 .…(7 分) 求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、四象限的概

的区域如图所示:

要使函数的图象过一、二、四象限,则 m<0,n>0,故使函数图象过一、二、四 象限的(m,n)的区域为第二象限的阴影部分, 由几何概型的概率公式得所求事件的概率为 .…(14 分)

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20.(本小题满分 12 分) 已知不等式 mx2﹣2x﹣m+1<0. (1)若对于所有的实数 x,不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围. 【解答】 解: (1) 当 m=0 时, 1﹣2x<0, 即当 (2 分) 解得 m≠0 时, 设f (x) =mx2﹣2x﹣m+1, 由于 f (x) <0 恒成立, 则有 解得 m∈?. 综上可知,不存在这样的 m 使不等式恒成立.…(6 分) (2)由题意﹣2≤m≤2,设 g(m)=(x2﹣1)m+(1﹣2x) ,则由题意可得 g(m) <0,故有 即 , ,解之得 , . …(12 分) , 时不等式恒成立, 不满足条件. …

所以 x 的取值范围为

21.(本小题满分 12 分) 如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛 B 与小岛 A、小岛 C 相距 都为 5n mile,与小岛 D 相距为 且 . n mile.小岛 A 对小岛 B 与 D 的视角为钝角,

(Ⅰ)求小岛 A 与小岛 D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积; (Ⅱ)记小岛 D 对小岛 B 与 C 的视角为α ,小岛 B 对小岛 C 与 D 的视角为β ,求 sin(2α +β )的值.
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【解答】解: (Ⅰ)∵

,且角 A 为钝角,∴



在△ABD 中,由余弦定理得:AD2+AB2﹣2AD?AB?cosA=BD2. ∴ ? AD2+8AD﹣20=0.

解得 AD=2 或 AD=﹣10(舍) . ∴小岛 A 与小岛 D 之间的距离为 2n mile.…(2 分) ∵A,B,C,D 四点共圆,∴角 A 与角 C 互补. ∴ , .

在△BDC 中,由余弦定理得:CD2+CB2﹣2CD?CB?cosC=BD2. ∴ ? CD2﹣8CD﹣20=0.

解得 CD=﹣2(舍)或 CD=10.…(4 分) ∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△BCD = = =3+15=18.

∴四个小岛所形成的四边形的面积为 18 平方 n mile.…(6 分) (Ⅱ)在△BDC 中,由正弦定理得: ∵DC2+DB2>BC2,∴α 为锐角,∴ 又∵ , .…(7 分) .…(8 分) .

∴sin(2α +β )=sin[α +(α +β )]…(10 分)
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=sinα cos(α +β )+cosα sin(α +β )=sinα cos(α +β )+cosα sin(α +β ) = = .…(12 分)

22. (本小题满分 12 分) 设向量 a ? ( x,2),b ? ( x ? n,2x ?1) , (n∈N*) ,函数 y ? a ? b 在 x∈[0,1]上的最小值与最 大值的和为 an,又数列{bn}满足 b1=1, (1)求证:an=n+1; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设 cn=﹣an?bn,试问数列{cn}中,是否存在正整数 k,使得对于任意的正整数 n,都有 cn≤ck 成立?若存在,求出所有满足条件的 k 的值;若不存在,请说明理 由. 【解答】 (1)证明:由已知,y=x(x+n)+2(2x﹣1)=x2+(4+n)x﹣2…(2 分) 而函数 y 在 x∈[0,1]上是增函数,…(3 分) 所以 an=﹣2+1+4+n﹣2=n+1.…(4 分) (2)解:因为 所以 两式相减,得 bn= , (n≥2) ,…(6 分) (n≥2) .…(8 分) …(10 分) >0 (n≥2) , … (12 分) .
? ? ? ?

所以,数列{bn}的通项公式为 bn= (3) 解: 因为 c1=﹣a1?b1=﹣2<0, cn=﹣an?bn= 由题意,ck 为{cn}的最大项,则 k≥2,

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要使 ck 为最大值,则

…(13 分)



…(14 分)

解得 k=9 或 k=8. …(15 分) 所以存在 k=8 或 9,使得 cn≤ck 成立.…(16 分)

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