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2011高考数学总复习课件23. 几何图形的涂色问题


备课资讯23

几何图形的涂色问题

空间图形的涂色问题由于其空间位置的特点, 空间图形的涂色问题由于其空间位置的特点, 处理问题时容易受空间想像的限制,使问题变得很 处理问题时容易受空间想像的限制, 不直观,若利用欧拉定理的思想与方法, 不直观,若利用欧拉定理的思想与方法,通过图形 的变换转化为平面图形的涂色问题, 的变换转化为平面图形的涂色问题,可使一类空间 涂色问题得以简化而使问题变得直观.下面给出几 涂色问题得以简化而使问题变得直观.下面给出几 例来看欧拉思想在涂色问题中的应用. 例来看欧拉思想在涂色问题中的应用.

【例 1】某城市在中心广场建造一个 扇环形花圃,花圃分为 6 个部分,如 扇环形花圃, 个部分, 右图, 种不同颜色的花, 右图,现要栽种 4 种不同颜色的花, 每一部分栽种一种且相邻部分不能栽

图1

种同样颜色的花,问有多少种不同的栽种方法? 种同样颜色的花,问有多少种不同的栽种方法?

利用欧拉思想进行拉伸变形, 解析 利用欧拉思想进行拉伸变形, 可使图1变形为图2,这两种图形的涂 可使图1变形为图2 色其实质是一样的.我们不妨用1 色其实质是一样的.我们不妨用1、2、 3、4代表四种颜色,在右侧图形中,先 代表四种颜色,在右侧图形中, 在1、2、3区域涂上1、2、3三种颜色, 区域涂上1 三种颜色, 然后依次涂第4 然后依次涂第4、5、6三个区域,涂区域 三个区域, 4可用2、4颜色. 可用2 颜色.

图2

①若区域4涂颜色2,则整个花圃有123243、123234 若区域4涂颜色2 则整个花圃有123243、 123243 两种涂法. 两种涂法. ②若区域4涂颜色4,则整个花圃有123434、 若区域4涂颜色4 则整个花圃有123434、 123434 123424、123423三种涂法. 123424、123423三种涂法. 三种涂法 即区域1、2、3颜色确定以后,区域4、5、6有5种 即区域1 颜色确定以后,区域4 涂法,所以共有不同的栽种方法为A3×5=120种 涂法,所以共有不同的栽种方法为A4×5=120种.
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【例 2】将一个四棱锥的每个顶点 染上一种颜色 颜色, 染上一种颜色,并使同一条棱上的 两端异色, 两端异色,如果只有 5 种颜色可供 使用,求不同的涂色方法总数. 使用,求不同的涂色方法总数.
本题如果将棱锥的顶点往下作投影, 解析 本题如果将棱锥的顶点往下作投影,或者是将 四棱锥看成是可以拉伸的薄膜状表面进行拉伸,变成 四棱锥看成是可以拉伸的薄膜状表面进行拉伸, 平面图形( 1), 平面图形(图1),则空间图形的涂色就能变成平面图 形的涂色,继而将点扩展为平面区域, 形的涂色,继而将点扩展为平面区域,则又可变为平 面内圆形区域的涂色问题( 2). 面内圆形区域的涂色问题(图2).

方法同例1,解略.有420种涂色方法. 方法同例1 解略. 420种涂色方法. 种涂色方法

【例 3】用 5 种颜色给正方体 A B C D —A 1B 1C 1D 1 各面 涂色,要求相邻两个面不同色, 涂色,要求相邻两个面不同色,现已将过顶点 A 个面涂了颜色, 的 3 个面涂了颜色, 那么其余 3 个面涂色方法有多 少种? 少种?
分三类,一是剩余三面的颜色与以A 解析 分三类,一是剩余三面的颜色与以A 为顶点 的三面的颜色相同,则只能涂其对面颜色, 的三面的颜色相同,则只能涂其对面颜色,有1种 涂法,二是只有2种与所涂颜色相同,则有C2 涂法,二是只有2种与所涂颜色相同,则有C3种方 式,另一种颜色为剩余两种颜色中的一种,故有6 另一种颜色为剩余两种颜色中的一种,故有6 种涂法,三是只有一种颜色与前面所涂相同, 种涂法,三是只有一种颜色与前面所涂相同,有C1 3 种,剩余涂为两种其它颜色,故也有6种涂法,综 剩余涂为两种其它颜色,故也有6种涂法, 上有13种 上有13种. 13
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个顶点涂色, 【例 4】现用 4 种颜色给三棱柱的 6 个顶点涂色, 要求同一条棱的两端点的颜色不同, 要求同一条棱的两端点的颜色不同,4 种颜色全 部用上,问有多少种不同的涂色方案? 部用上,问有多少种不同的涂色方案?
将左侧图形拉伸为右侧图形, 解析 将左侧图形拉伸为右侧图形,则中间三点不 同色,不妨为三颜色1 同色,不妨为三颜色1、2、3,又4种颜色全用上, 种颜色全用上, 故外围三点中一定有一点涂第4种颜色, 故外围三点中一定有一点涂第4种颜色,在此情况 下从其余三色中任挑两色,另外两点都只有一种涂 下从其余三色中任挑两色, 法. 故共有C3 3 1 2 216种涂法 种涂法. 故共有C4A3C3C3=216种涂法.
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