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高中数学 第九章 第4讲 直线与圆的位置关系


第4讲

直线与圆的位置关系

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2011· 广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x, y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元素个数为________. 解析 集合 A 表示圆, 集合 B 表示一条直线, 又圆心(0,0) 到直线 x+y=1 的距离 d= 1 2 = 2 <1=r,所以直线与 2

圆相交,故 A∩B 的元素个数有 2 个. 答案 2 2.(2012· 济南调研(二))已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x +4y+4=0 相切,则圆的方程是________________. 解析 设圆心为 C(m,0)(m>0),因为所求圆与直线 3x+4y+4=0 相切,所以 |3m+4×0+4| 14 =2,整理得:|3m+4|=10,解得 m=2 或 m=- 3 (舍去),故 2 2 3 +4 所求圆的方程为(x-2)2+y2=22,即 x2+y2-4x=0. 答案 x2+y2-4x=0 3.(2012· 南通调研)若圆 C:(x-h)2+(y-1)2=1 在不等式 x+y+1≥0 所表示的 平面区域内,则 h 的最小值为________. 解析 h 取最小值时, 直线 x+y+1=0 与圆 O: (x-h)2+(y-1)2=1 相切且在 直线 x+y+1=0 向右上方,所以 答案 2-2 |h+2| =1,h=-2± 2,所以 hmin= 2-2. 2

4.(2011· 湖北)过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 2,则直线 l 的斜率为________.

解析 将圆的方程化成标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1),半径 2 r=1.由弦长为 2得,弦心距为 2 .设直线方程为 y+2=k(x+1),即 kx-y+k -2=0,∴ |2k-3| 2 17 = 2 ,化简得 7k2-24k+17=0,∴k=1 或 k= 7 . 2 k +1

17 答案 1 或 7 5.(2012· 扬州中学最后冲刺)将直线 2x-y+λ=0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所 得直线与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数 λ 的值为________. 解析 由题意,得直线 2(x+1)-y+λ=0,即 2x-y+2+λ=0 与圆(x+1)2+ (y-2)2=5 相切,所以 答案 -3 或 7 6. (2010· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点 到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 解析 画图可知,圆上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,该 |c| 圆半径为 2 即圆心 O(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离 d<1,即 0<13<1, ∴-13<c<13. 答案 (-13,13) 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程. 解 将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则 此圆的圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切, 则有 |4+2a| 3 =2.解得 a=-4. 2 a +1 |λ-2| = 5,λ-2=± 5,所以 λ=-3 或 λ=7. 5

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

?CD= a +1, ? 得?CD +DA =AC =2 , ?DA=1AB= 2. ? 2
|4+2a|
2 2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 8. (2013· 苏北四市调研)如图, 已知位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点(0,1)且被 x 轴分成的两段圆弧长之比为 1∶ 2,过点 H(0,t)的直线 l 与圆 C 相交于 M、N 两点,且 以 MN 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)当 t=1 时,求出直线 l 的方程; (3)求直线 OM 的斜率 k 的取值范围. 解 (1)因为位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点(0,1),所以圆心 C 在直线 y =1 上. 设圆 C 与 x 轴的交点分别为 A、B. 2π 由圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 2∶1,得∠ACB= 3 . 所以 CA=CB=2.圆心 C 的坐标为(-2,1), 所以圆 C 的方程为(x+2)2+(y-1)2=4. (2)当 t=1 时,由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=mx+1. ?y=mx+1, ?x=0, 由? 得? 2 2 ??x+2? +?y-1? =4, ?y=1

?x=m-4 , ? 2+1 或? m2-4m+1 ?y= m2+1 . ?

m2-4m+1? ? -4 ?,N(0,1). 不妨令 M? 2 , m2+1 ? ?m +1 因为以 MN 为直径的圆恰好经过 O(0,0),
2 → · =? -4 ,m -4m+1?· → ? ? (0,1) 所以OM ON 2 m2+1 ? ?m +1

m2-4m+1 = =0,解得 m=2± 3. m2+1 所以所求直线 l 方程为 y=(2+ 3)x+1 或 y=(2- 3)x+1. (3)设直线 MO 的方程为 y=kx. 由题意,知 |-2k-1| 3 2 ≤2,解得 k≤4. 1+k

1 3 4 同理,得-k ≤4,解得 k≤-3或 k>0. 由(2)知,k=0 也满足题意. 4? ? 3? ? 所以 k 的取值范围是?-∞,-3?∪?0,4?. ? ? ? ? 分层训练 B 级 创新能力提升

1.由直线 y=x+1 上的一点向圆 x2-6x+y2+8=0 引切线,则切线长的最小值 为________. 解析 切线长的最小值在直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,圆心 (3,0)到直线的距离为 d= 为 d2-r2= 8-1= 7. 答案 7 |3-0+1| =2 2,圆的半径为 1,故切线长的最小值 2

2.若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 1 1 4,则a+b的最小值是________. 解析 圆(x+1)2+(y-2)2=4, ∵弦长为 4,故为直径,即直线过圆心(-1,2),∴a+b=1, 1 1 ?1 1? b a 1 ∴a+b=?a+b?(a+b)=2+a+b≥2+2=4,当且仅当 a=b=2时,取等号, ? ? 1 1 ∴a+b的最小值为 4. 答案 4 3.(2011· 湖南卷)已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________;

(2) 圆 C 上 任 意 一 点 A 到 直 线 l 的 距 离 小 于 2 的 概 率 为 _________________________________________________________________. 解析 (1)圆 C 圆心坐标为(0,0)、半径 r=2 3,l:4x+3y-25=0,由点到直 线的距离公式得 d= |4×0+3×0-25| =5. 42+32

︵ (2) 如图所示,当 OM=3 时,AB上的点满足到直线 l 的距离小于 2.由平面几何知识可求得∠AOB=60° 故 , ︵ 所求概率为AB的长度与圆周长之比, 所以所求概率为 1 6. 答案 (1)5 1 (2)6

4. 已知直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M、 两点, MN≥2 3, N 若 则 k 的取值范围是________. 解析 如图,若 MN=2 3,则由圆与直线的位置关系可 知圆心到直线的距离满足 d2 =22-( 3)2 =1.∵直线方程 为 y=kx+3,∴d= |k· 2-3+3| 3 2 =1,解得 k=± 3 .若 1+k

3 3 MN≥2 3,则- 3 ≤k≤ 3 . ? 3 3? 答案 ?- , ? 3? ? 3 5.已知圆 C 的方程为 x2+y2=4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方 程; → → → → (3)圆 C 上有一动点 M(x0,y0),ON=(0,y0),若向量OQ=OM+ON,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. 解 (1)显然直线 l 的斜率存在,设切线方程为 y-2=k(x-1), 则由 |2-k| 4 =2,得 k1=0,k2=-3, 2 k +1

从而所求的切线方程为 y=2 和 4x+3y-10=0. (2)当直线 l 垂直于 x 轴时, 此时直线方程为 x=1, 与圆的两个交点坐标为(1, l 3)和(1,- 3),这两点的距离为 2 3,满足题意; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为 d(d>0), 则 2 3=2 4-d2,得 d=1, 从而 1= |-k+2| 3 ,得 k=4, 2 k +1

此时直线方程为 3x-4y+5=0; 综上所述,所求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x=1. → → → (3)设 Q 点的坐标为(x,y),M 点坐标是(x0,y0),ON=(0,y0),∵OQ=OM+
2 2 → ,∴(x,y)=(x 2y )?x=x ,y=2y .∵x2+y2=4,∴x2+? y?2=4,即x + y ?2? ON 0, 0 0 0 0 0 4 16 ? ?

x2 y2 =1.∴Q 点的轨迹方程是 4 +16=1,轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆. 6.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线 l1 过定点 A(1,0). (1)若 l1 与圆相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 l1 与 l2:x+2y+2 =0 的交点为 N,判断 AM· 是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请 AN 说明理由. 解 (1)①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x=1,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y=k(x-1),即 kx-y-k=0.由题意知,圆 心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即 线方程是 x=1 或 3x-4y-3=0. (2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 kx-y-k=0. ?x+2y+2=0, 3k ? ?2k-2 ,- ?. 由? 得 N? 2k+1? ?2k+1 ?kx-y-k=0, ?y=kx-k, ? 又直线 CM 与 l1 垂直,由? 1 ?y-4=-k ?x-3? ? |3k-4-k| 3 =2,解得 k=4.所求直 2 k +1

2 2 ?k +4k+3 4k +2k? ?. 得 M? 2 , 1+k2 ? ? 1+k 2 2 ?k +4k+3 ? ?4k +2k?2 -1?2+? ? 2 2 ? · ? 1+k ? ? 1+k ?

所以 AM· AN=

2 3k ?2 2|2k+1| ?2k-2 ?2 ? 2 3 1+k - -1? +? ? ?= 1+k · =6 为定值,故 AM· AN 1+k2 |2k+1| ?2k+1 ? ? 2k+1?

是定值,且为 6. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.


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