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福建省福建师范大学第二附属中学届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案

福建师大二附中 2015~2016 学年第一学期期中考

高三数学(文科)试卷
班级 考号
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {0,1, 2} ,集合 B ? {x x ? 2 ? 0} ,则 A A.{0,1} B.{0, 2} C.{1, 2} ) D. 2 ? i )
B ?(

姓名

座号
2 正视图

x
1 1

侧视图



俯视图

D.{0,1, 2}

(第 9 题图)

2.已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i

3.设命题 p : ?n ? N , n2 ? 2n ,则 ?p 为( A. ? n ? N , n 2 ? 2 n C. ? n ? N , n 2 ? 2 n

B. ? n ? N , n 2 ? 2 n D. ? n ? N , n 2 ? 2 n )

4.函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 1 ,则 f (?1) ? ( A.1 B. ?1 C.2 D. ?2 )

5.设 a , b 是非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a ∥ b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件 )

6.函数 f ( x) ? x sin x 的图象大致是(

A.

B.

C.

D. )

7.下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0, ??) 上单调递减的是( A. y ? 8.若 sin ? ? A.
7 25 1 x

B. y ? lg x

C. y ? ? x2 ? 1 )
24 25

D. y ? e x ? e? x

4 ? , ? ? ( , ? ) ,则 sin 2? 的值为( 5 2

B. ?

7 25

C.

D. ?

24 25

9.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中 x 的值为(



A.

3 2

B.2

C.3

D.

9 2

10.我国古代数学名著《九章算术》中记载有“开立圆术”,该术给出了已知球的体积 V ,求 其直径 d 的一个近似公式 d ?
3

16V .它实际上是将球体积公式中的圆周率 ? 近似取值为 9

21 54 .那么,近似公式 d ? 3 V 相当于将球体积公式中的 ? 近似取为( 11 16



A.

25 8

B.

22 7

C.

157 50

D.

355 113

11. 如图, 在 ?ABC 中,AB ? 6 ,AC ? 4 2 ,?A ? 45 , 点 O 为 ?ABC 的外心,则 AO ? BC 等于( A. ?2 B. ?1 ) C.1 D.2 (第 11 题图)

?x ? ?1 ? e , x ? 0, 12. 已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? ax , 则实数 a 的取值范围 ? ? 2 x , x ? 0.

为(

) B. (??, ?1] C. [?2,0] D. [ ?1, 0]

A. (??,0]

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b 若 b ? c ? 0 ,则 t ?
?1 , x为有理数, 14.函数 f ( x) ? ? 则 f ( f ( 2)) ? ?0, x为无理数,





15 . 曲 线 y ? e x ? 1 在 点 ( 0 , 2 )处 的 切 线 与 直 线 y ? 0 和 y ? ? x ? 1 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 .

(0, +?)上 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ? 0 16 . 若 关 于 x 的 不 等 式 (ax ? 1)(lnx ? ax ) 在





三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin( ? x), ? 3) ,b ? (sin x,cos2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值;

?

? 2? (Ⅱ)讨论 f ( x) 在 [ , ] 上的单调性. 6 3

18. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , ? ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B ,C 所对应的边分别是 a ,
b , c ,其中 a ? c , f ( A) ?

?
2

)的部分图象如图所示.

1 ,且 a ? 7 , b ? 3 .求 2

?ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分)如图,在圆柱 OO1 中, BD 是它的一条母线, AB 是底面圆 O 的直 径,点 C 是圆 O 上异于 A , B 的点. (Ⅰ)求证: AC ? 平面BCD ; (Ⅱ)若 M 为 BD 的中点, BD ? 2 , AC ? 1 , BC ? 3 . ①求证: OM ∥平面 ACD ; ②求三棱锥 D ? ACM 的体积.

20. (本小题满分 12 分)设 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴交于点 (0, 6) . (Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? b ( a, b ? R ) . (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 1,求 a , b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 在区间 (1, ??) 上的单调性; (Ⅲ)对于函数 f ( x) 图象上任意两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) ,不等式 f '( x0 ) ? k 恒 成立,其中 k 为直线 AB 的斜率, x0 ? ? x1 ? (1 ? ? ) x2 , 0 ? ? ? 1 ,求 ? 的取值范围.

(请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按照所做的第一题记分. ) 22. (本小题满分 10 分.选修 4-4:坐标系与参数方程)

在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 C1 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? . 4 (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C2 的圆心, Q 为 C1 与 C2 的交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为
? x ? t3 ? a, ? ( t ? R 为参数) ,求 a , b 的值. ? b 3 ?y ? t ?1 ? 2

?

23. (本小题满分 10 分.选修 4-5:不等式选讲) 已知 f ( x) ? x ? a ,其中 a ? 1 . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集; (Ⅱ)已知关于 x 的不等式 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 的解集为 {x 1 ? x ? 2} ,求 a 的值.

1

班级 2

姓名

座号

准考号

---------------------------------------------------------密--------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------3 4 15. 13.

18. (本小题满分 12 分) 5 6 三、解答题(70 分) 7 8 ; ; 9 10 16. 14. 11 12 . ; 二、填空题(20 分) 一、选择题(60 分) 17. (本小题满分 12 分)

福建师大二附中 2015~2016 学年第一学期期中考

高三数学(文科)答案卷

19. (本小题满分 12 分)

------------------线---------------------------------------

20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分)

在第 22、23 两题中任选一题作答. 22. (本小题满分 10 分)

23. (本小题满分 10 分)

福建师大二附中 2015~2016 学年第一学期期中考

高三数学(文科)试卷答案
一、选择题(60 分) 1 A 2 C 3 B 4 D 5 A 6 A 7 C 8 D 9 C 10 B 11 A 12 D

二、填空题(20 分) 13. 15. 2
9 4

; ;

14.

1



1 16. {a a ? ? 或a ? e} . e

三、解答题(70 分) 17.解: (Ⅰ)依题意,得
f ( x) ? a ? b = (sin( ? sin(

?
2

? x), ? 3) ? (sin x,cos 2 x)

?
2

? x)sin x ? 3 cos 2 x

3 (1 ? cos 2 x) 2 1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? , 3 2 ? cos x sin x ?

因此, f ( x) 的最小正周期为 ? ,最大值为

2? 3 . 2

? 2? ? (Ⅱ)当 x ? [ , ] 时, 0 ? 2x ? ? ? , 6 3 3
从而,当 0 ? 2 x ? 当

?
3

?

?
2

,即

?
6

?x?

5? 时, f ( x) 单调递增; 12

?
2

? 2x ?

?
3

? ? ,即

5? 2? 时, f ( x) 单调递增. ?x? 12 3

? 5? 5? 2? 综上可知, f ( x) 在 [ , ] 上单调递增,在 x ?[ , ] 上单调递减. 6 12 12 3
2? ?? ? ? 18.解: (Ⅰ)由图象可知, T ? 4 ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? 2. 3 12 T ? ?

又x?

?
3

时, 2 ?

?
3

?? ?

?
2

? 2k? (k ? N? ) ,得 ? ? 2k? ?

?
6

(k ? N? ) .

又因为 ? ?

?
2

,所以 ? ? ?

?
6



所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) . 6 (Ⅱ)由 f ( A) ?
1 ? 1 ,得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 2

?

因为 a ? c ,所以 A 是锐角,所以 2 A ? 所以 2 A ?

?
6

? ? 5? ??? , ? 6 6

? ?, ?

?
6

?

?
6

,得 A ?

?
6


3 ,即 c 2 ? 3c ? 4 ? 0 . 2

由余弦定理可得, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,则 7 ? 3 ? c 2 ? 2 3c ?

1 1 1 因为 c ? 0 ,所以 c ? 4 .所以 ?ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 3 ? 4 ? ? 3 . 2 2 2

19.解: (Ⅰ)∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? BC . ∵ BD 为圆柱 OO1 的母线,∴ BD ? 平面ABC . 又∵ AC ? 平面ABC ,∴ AC ? BD . ∵ BC
BD ? B ,且 BC , BD ? 平面BCD ,

∴ AC ? 平面BCD . (Ⅱ)①∵ M 为 BD 的中点, O 为 AB 的中点, ∴ OM 为 ?ABD 的中位线,∴ OM ∥ AD . 又∵ AD ? 平面ACD , OM ? 平面ACD ,∴ OM ∥平面 ACD . ②由题意,得:

1 1 VD ? ACM ? VD ? ABC ? VM ? ABC ? ? BD ? S?ABC ? ? BM ? S?ABC 3 3 1 1? 3 3 ? ? 1? ? . 3 2 6

20.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x ,所以 f '( x) ? 2a( x ? 5) ?

6 . x

令 x ? 1 ,可得 f (1) ? 16a , f '(1) ? ?8a ? 6 ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为:
y ? 16a ? (?8a ? 6)( x ? 1) .

由点 (0, 6) 在切线上可得 6 ? 16a ? 8a ? 6 ,故 a ?

1 . 2

1 6 ( x () 2 ?) 3 x? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? ( x ? 5)2 ? 6ln x ( x ? 0 ) , f() ' x ?5 x? ? ? 2 x x



令 f '( x) ? 0 ,可得 x1 ? 2 , x2 ? 3 . 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:
x
f '( x) f ( x) (0, 2)

2 0 极大值

(2,3)
?

3 0 极小值

(3, ??)

+ ↗

+ ↗



所以函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上单调递增,在 (2,3) 上单调递减,在 (3, ??) 上单调递增.由此 可知, f ( x) 在 x ? 2 处取得极大值 f (2) ? 21.解: (Ⅰ)依题意,得 f '( x) ?
9 ? 6ln 2 ,在 x ? 3 处取得极小值 f (3) ? 2 ? 6ln 3 . 2

? f '(1) ? 0, ? 1 ? a ? 0, 1 得? ? a ,由 ? x ? f (1) ? 1 ? ? a ? b ? 1.

可解得 a ? 1 , b ? ?2 .经检验,符合题意. (Ⅱ) f '( x) ?
1 ? ax , x ? (1, ??) . x

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. ②当 0 ? a ? 1 时,令 f '( x) ? 0 ,可得 x ?
1 . a

当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:
x
? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 ? ? , ?? ? ?a ?
?

f '( x) f ( x)

+ ↗

0 极大值



? 1? ?1 ? 所以函数 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区间 ? , ?? ? 上单调递减. ? a? ?a ?

③当 a ? 1 时, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减.

综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增;
? 1? ?1 ? 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增,在区间 ? , ?? ? 上单调递减; ? a? ?a ?

当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减. (Ⅲ) f '( x0 ) ?
1 1 ? a= ?a, x0 ? x1 ? (1 ? ? ) x2

直线 AB 的斜率 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? a ( x2 ? x1 ) ln x2 ? ln x1 ? ? ?a , x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 ln x2 ? ln x1 1 ? , ? x1 ? (1 ? ? ) x2 x2 ? x1

不等式 f '( x0 ) ? k 等价于 即 x2 ? x1 ? ln

x2 ? [? x1 ? (1 ? ? ) x2 ] . x1 x2 x x ? 1 ? ln 2 ? [? ? (1 ? ? ) 2 ] , x1 x1 x1

不等式两边同除以 x1 ,不等式化简为 令

x2 ? t ? 1 ,问题转化为 t ? 1 ? ln t ? [? ? (1 ? ? )t ] ,即 t ? 1 ? t ln t ? ? (t ln t ? ln t ) ? 0 恒成立. x1

令 g (t ) ? t ? 1 ? t ln t ? ? (t ln t ? ln t ) , t ? 1 , ①当 0 ? ? ?
1 1 ?t ln t ? ? (t ln t ? t ? 1) 时, g '(t ) ? ? ln t ? ? (ln t ? 1 ? ) ? , t t 2

令 ? (t ) ? ?t ln t ? ? (t ln t ? t ? 1) , t ? 1 ,

? '(t ) ? ?1 ? ln t ? ? (2 ? ln t ) ? (? ? 1)ln t ? 2? ? 1 ,
当0?? ?
1 时, ? '(t ) ? 0 ,故函数 ? (t ) 在区间 (1, ??) 上单调递减,则 ? (t ) ? ? (1) ? 0 , 2

所以当 t ? (1, ??) 时, g '(t ) ? 0 ,故 g (t ) 在 (1, ??) 上单调递减,则 g (t ) ? g (1) ? 0 ,符合题意. ②法一:当
1 ? ? ? 1 时,令 ? '(t ) ? (? ? 1) ln t ? 2? ? 1 ? 0 ,解得 1 ? t ? e ? ?1 , 2
1? 2 ? 1? 2 ?
1? 2 ?

所以,当 t ? (1, e ? ?1 ) 时, ? '(t ) ? 0 ,所以 ? (t ) 在 (1, e ? ?1 ) 单调递增,则 ? (t ) ? ? (1) ? 0 , 当 t ? (1, e ? ?1 ) 时, g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (1, e ? ?1 ) 单调递增,则 g (t ) ? g (1) ? 0 , 所以,当 t ? (1, e ? ?1 ) 时, g (t ) ? 0 ,不符合题意. 综上所述, 0 ? ? ? ②法二:当
1 . 2
1? 2 ? 1? 2 ? 1? 2 ?

1 ? ? ? 1 时,由(Ⅰ)令 a ? 1 , b ? ?2 ,易得 t ? (1, ??) 时, t ? 1 ? ln t ; 2

? (t ) ? ?t ln t ? ? (t ln t ? t ? 1) ? ?t ln t ? ? (t ln t ? ln t ) ? ln t ? [(? ? 1)t ? ? ] ,

当 t ? (1,

?
1? ?

) 时, ? (t ) ? 0 ,所以当 t ? (1,

?
1? ?

) 时, g '(t ) ? 0 ,

所以 g (t ) 在 (1, 所以当 t ? (1,

?
1? ?

) 上单调递增,则 g (t ) ? g (1) ? 0 ,

?
1? ?

) 时, g (t ) ? 0 不符合题意.

综上所述, 0 ? ? ?

1 . 2

2 2 ? cos ? ? cos ? ) ? 2 2 , 22.解: (Ⅰ)由 ? cos(? ? ) ? 2 2 可得, ? ( 2 2 4

整理得 ? cos ? ? ? cos? ? 4 ,故直线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 由 ? ? 4sin ? 可得 ? 2 ? 4? sin ? ,故圆 C2 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .
? x ? 0, ? x2 ? 2, ? x ? y ? 4 ? 0, 联立方程组 ? 2 解得 ? 1 ? 2 ? x ? ( y ? 2) ? 4, ? y1 ? 4, ? y2 ? 2.

故 C1 与 C2 交点的直角坐标为 (0, 4) , (2, 2) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知点 P , Q 的直角坐标分别为 (0, 2) , (1,3) , 故直线 PQ 的直角坐标方程为 y ? x ? 2 .
? b ? x ? t 3 ? a, ? 1, ? ? b ab ? 2 由? 可得 .所以 解得 a ? ?1 , b ? 2 . y? x? ?1 ? b 3 2 2 ?y ? t ?1 ? ? ab ? 1 ? 2, ? 2 ? 2 ?
??2 x ? 6, x ? 2, ? 23.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时,依题意, f ( x) ? x ? 4 ? ? 2, 2 ? x ? 4, ? 2 x ? 6, x ? 4. ?

当 x ? 2 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 ,即 f ( x) ? x ? 4 ? 4 ,可得 ?2 x ? 6 ? 4 ,解得 x ? 1 ; 当 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? x ? 4 ? 4 无解; 当 x ? 4 时,由 f ( x) ? x ? 4 ? 4 ,可得 2 x ? 6 ? 4 ,解得 x ? 5 . 所以 f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集为 {x x ? 1或x ? 5} .
?2a, x ? 0, ? ? (Ⅱ)记 h( x) ? f (2 x ? a) ? 2 f ( x) ,则 h( x) ? ?4 x ? 2a, 0 ? x ? a, ? 2 x, x ? a. ?

由 h( x) ? 2 ,解得

a ?1 a ?1 .又已知 h( x) ? 2 的解集为 {x 1 ? x ? 2} , ?x? 2 2

? a ?1 ? 1, ? ? 2 所以 ? 于是 a ? 3 . ? a ? 1 ? 2, ? ? 2



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