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坐标系与参数方程


(5)(2011 年安徽理 5) 在极坐标系中,点 (?,

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为

(A)2

(B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3

(5)D 【命题意图】 本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化, 考查两点间距离. 【解析】极坐标 (?,

?
?

) 化为直角坐标为 (2 cos

?

, 2sin ) ,即 (1, 3). 圆的极坐标方程 3 3

?

? ? 2cos ? 可 化 为 ? 2 ? 2? cos? , 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x2 ? y 2 ? 2 x , 即
( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 所 以 圆 心 坐 标 为 ( 1,0 ), 则 由 两 点 间 距 离 公 式
d ? (1 ? 1) 2 ? ( 3 ? 0) 2 ? 3 .故选 D.
7、 (2010 年安徽理 7)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程 ? y ? ?1 ? 3sin ?
7 10 的点的个数为 10
C、3
2 2

为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为 A、1 B、2

D、4

【解析】化曲线 C 的参数方程为普通方程: ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 ,圆心 (2, ? 1) 到直线

x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| 2 ? 3 ? (?1) ? 2 | 7 ? 10 ? 3 ,直线和圆相交,过圆心和 l 平行 10 10

的直线和圆的 2 个交点符合要求, 又 符合要求,所以选 B.

7 10 7 10 ? 3? ,在直线 l 的另外一侧没有圆上的点 10 10

【方法总结】解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程,然后利用圆心到直线的 距离判断直线与圆的位置关系,这就是曲线 C 上到直线 l 距离为

7 10 ,然后再判断知 10

7 10 7 10 ? 3? ,进而得出结论. 10 10
(12) (安徽 2009 理)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系 中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?

4

( ? ? R) , 它 与 曲 线

? x ? 1 ? 2cos ? ( ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|=_______. ? ? y ? 2 ? 2sin ?
[解析] 直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ∴ | AB |? 2 22 ? (

|1 ? 2 | 2 ) ? 14 1?1

(13) (2012 安徽理)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ?

?
6

( ? ? R ) 的距离是

_____
【解析】距离是 _____

3

圆 ? ? 4sin ? ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心 C (0, 2) 直线 l : ? ?

?
6

( ? ? R) ? x ? 3 y ? 0 ;点 C 到直线 l 的距离是

0?2 3 2

? 3

(7) (2013 年安徽理)在极坐标系中,圆 p =2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 (A) ? =0(? ? R)和?cos=2 (C) ? = 【答案】B (B) ? =

?
2

(? ? R)和? cos=2

?
2

(? ? R)和? cos=1

(D) ? =0(? ? R)和?cos=1

,? ? 0,半径 r ? 1.故左切线为 ? ? 【解析】在极坐标系中,圆心坐标 ? ? 1

?
2



3? 2

右切线满足cos? ?
所以选 B

2

?

? ? cos? ? 2.即切线方程为: ? ?

?
2

和? cos? ? 2.

(23) (2010 辽宁理) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知 P 为半圆 C: ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) ,

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

的长度均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。

(23) (2011 辽宁理) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数)曲线 C2 的参数方 y ? sin ? , ?

程为 ?

? x ? a cos ? , ( a ? b ? 0 , ? 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标 ? y ? b sin ? ,
π 2

系中, 射线 l: θ = ? 与 C1, C2 各有一个交点.当 ? =0 时, 这两个交点间的距离为 2, 当? = 时,这两个交点重合. (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

π π 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? =- 时,l 与 C1, 4 4

C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 解析: (I)C1 为圆,C2 为椭圆. 当 ? =0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别是(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为 2, 所以 a=3. 当 ? ? ? 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别是(0,1),( 0,b),因为这两点重合,所以
2

b=1.

x2 ? y2 ? 1, (II)C1,C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1, 9
2 2

当 ? ? ? 时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标是 x ?
4

2 3 10 ,与 C2 交点 B1 的横坐标是 x ' ? ; 2 10

当 ? ? ? ? 时,射线 l 与 C1 、C2 的两个交点 A2 、B2 的分别与 A1、B1 关于 x 轴对称,因此,
4

四边形与 A1 A2B2B1 为梯形. 故四边形与 A1 A2B2B1 的面积为

? 2 x '? 2 x ?? x '? x ? ? 3 .
2 5

(23)(2012 辽宁理)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。 【答案及解析】

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极

坐 标 系 的 组 成 . 本 题 要 注 意 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 的 圆 心 为 (0,0) 半 径 为 r1 ? 2 , 圆

C2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 4 的圆心为 (2,0) 半径为 r2 ? 2 ,从而写出它们的极坐标方程;对于两
圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据直线的参数形式 写出。 对于极坐标和参数方程的考查, 主要集中在常见曲线的考查上, 题目以中低档题为主. 23. (2013 辽宁理) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极 坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ? (I) 求C1与C2交点的极坐标; (II) 设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点已知直线 . PQ的参数方程为

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? , 求a, b的值. y ? t ?1 ? ? 2

(13)(2009 天津理) 设直线 l1 的参数方程为 ? 则 l1 与 l2 的距离为_______

?x ? 1? t (t 为参数) , 直线 l2 的方程为 y=3x+4 ? y ? 1 ? 3t

【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。 解析:由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,故它与与 l2 的距离为

|4? 2| 10

?

3 10 。 5

(13) (天津理)已知圆 C 的圆心是直线 ?

?? ? t ( t 为参数)与 ? 轴的交点,且圆 C 与直 ?? ? 1 ? t


线 ? ? ? ? 3 ? 0 相切。则圆 C 的方程为 13. ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

11.已知抛物线 C 的参数方程为 ?

? x ? 8t 2 , ? y ? 8t ,

( t 为参数) , 若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦

点,且与圆 ( x ? 4)2 ? y2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r

答案: 2 解析:由题意知抛物线的方程为 y2 ? 8x ,因为相切,所以容易得出结果。

(2) (2012 福建理) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线

l 上 两 点 M , N 的 极 坐 标 分 别 为 ( 2,0 ) ,

,圆 C 的参数方程

。 (Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 【解析】

(Ⅰ)由题意知 M(2,0) ,N(0,

2 3 3 ) ,因为 P 是线段 MN 中点,则 P(1, ) , 3 3

因此 PO 直角坐标方程为: y ?

3 x. 3 2 3 ) 3

(Ⅱ)因为直线 l 上两点 M(2,0) ,N(0,

∴l 垂直平分线方程为: 3x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,圆心(2, ? 3 ) ,半径 r=2.

∴d=

2 3 ?3 3 ?2 3 3?9

?

3 ?r,故直线 l 和圆 C 相交. 2

(2) (2013 年福建理) (本小题满分 7 分)坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点 A 的

) ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上. 4 4 l (1)求 a 的值及直线 的直角坐标方程;
极坐标为 ( 2, (2)圆 c 的参数方程为 ?

?

?

? x ? 1 ? cos ? , ( ? 为参数) ,试判断直线 l 与圆的位置关系. ? y ? sin ?

本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化.圆的参数方程等基础知识.考查运算求解能力, 考查化归与转化思想,满分 7 分.

解: (Ⅰ)由点 A( 2,

?

) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4

?

所以直线 l 的方程可化为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 从而直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1

以为圆心到直线的距离 d ?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

(23) (2009 辽宁理) (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ? =1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点。 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。 (23)解:

?
3



? ? ? ) ? 1得 (Ⅰ)由 ? cos( 3

? ( cos? ?

1 2

3 sin? ) ? 1 2

从而 C 的直角坐标方程为

1 3 x? y ?1 2 2 即 x ? 3y ? 2

? ? 0时,? ? 2,所以M (2,0) ?? ?
2 时,? ? 2 3 2 3 ? ,所以N ( , ) 3 3 2

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为 (0,
2 3 ) 3
(1. 3 2 3 ? ), 则P点的极坐标为( , ), 3 3 6

所以 P 点的直角坐标为

所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? (??,??) ?

21. 本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知 ? ? ? ?1? ? 为矩阵 A ? ?

?1? ? ?

?1 a ? ? ? 属于特征值 ? 的一个特征向量. ??1 4 ? ? ? ?
(Ⅱ)求矩阵 A 的逆矩阵.

(Ⅰ)求实数 a, ? 的值;

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轻为极轴,建立极坐标系.曲线 C

? 3 x ? ?3 ? t, ? ? 2 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程是 ? (t 为参数) , ?y ? 1 t ? 2 ?
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 普通方程; (Ⅱ)M、N 分别为曲线 C、直线 l 上的动点,求|MN|的最小值.

. (1)解: (Ⅰ)由 ?

a ? ?1? ?1 ? a ? ? ?1? ? a ? 2, ? ? 3 ? ? ? = ? ? ? 得: ? ??1 ? 4 ? ? ?1? ? ?1 4 ? ? 1 ? ?1 2 ? (Ⅱ)由(Ⅰ) 知 A ? ? ? ? | A |? 1? 4 ? 2 ? 6 ? ?1 4 ? 1? ?2 ? 4 ? 2? ? 3 ? 3 ? ? ? ? 1 ? A ?1 ? ?1 1 ? ? ? 1 1 ? …………………… 7 分 | A| ? ? ? ? ? ? ?6 6? ? ? ?1

……4 分

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 本小题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆的位置关系等基础知识, 考查运算求解能力,考查数形结合思想、归化与转化思想,满分 7 分. 解:(Ⅰ)化极坐标方程为 ? ? 4 cos? 为直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , 所以曲线 C 是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆. …………2 分

? 3 x ? ?3 ? t, ? ? 2 化参数方程 ? (t 为参数)为普通方程 x ? 3 y ? 3 ? 0. …4 分 ?y ? 1 t ? 2 ?
(Ⅱ)圆心到直线 l 的距离 d ?

| 2?3| 1? 3

?

5 1 5 , 所以|MN|的最小值为 ? 2 ? . …7 分 2 2 2

21.本题(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如 果多做,则按所做的前两题计分。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 曲线 x ? 4 xy ? 2 y ? 1 在二阶矩阵 M ? ?
2 2

?1 a ? 2 2 的作用下变换为曲线 x ? 2 y ? 1, ? ?b 1 ?

(I)求实数 a , b 的值; (II)求 M 的逆矩阵 M ?1 . (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? x?? t?2 ? ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? , 直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) 。 ?y ? 4 t ? 5 ?
(I)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 为曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值。

21.本题有(1)、(2)、(3)三个选考题,每小题 7 分,请考生人选两题作答,满分 17 分.若 多做,则按所做的前两题计分.作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已 知点 A(a,b) ( 其 中 a ? b ) 在 矩 阵 M ?

? ?cos sin?

? sin ? cos ? 对 应 的变 换作 用下 得 到点

?

A(?b,a) .
(Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M -1 ; ( Ⅱ ) 求曲线 C:( x ?1)2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M -1 所对应的变换作用下得到的曲线 C ? 的方 程. (2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点 O 重合,极轴与直角坐标系的非负半轴重合, 直线 l 的参数方程为 ?

? cos2 ? ? 2sin ? .

? x ? t, (参数 t?R ) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求证: OA ? OB ? 0 21.(1)解:(Ⅰ)由已知得

uur uu u r

? sin ? a ? ?b ,∴ ?a cos ? ? b sin ? ? ?b, ? cos ? b a ?a sin ? ? b cos ? ? a, ∵ a ? b ,∴ cos ? ? 0, sin ? ? 1 ,M = 0 -1 ,于是 M -1= 0 1 . 1 0 ?1 0 (Ⅱ)设点 P( x,y ) 在矩阵 M -1 所对应的变换作用下得到点 P?( x? ,y?) , ? x ? ? y?, 0 1 x ? y ? x? 则 ,∴ 代入 C 的方程得 (- y? ?1)2 ? x? 2? 1 , ? ?x ?1 0 y y? ? y ? x , ? 2 ∴曲线 C ? 的方程为 x 2 + ( y ? 1) ? 1.

? ?cos sin ?

?? ? ? ? ? ?

?

?

?

?? ? ? ? ? ?

(2)解:(Ⅰ)直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ,曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? 2 y . (Ⅱ)由 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0, 解得 A ( 2- 2 2, 6 ? 4 2) , ( 2+2 2, 6 ? 4 2) , B ? x 2 ? 2 y, uur uu u r ∴ OA ? OB ? ( 2+2 2, 6+4 2)( ? 2- 2 2, 6 ? 4 2)=4 - 8+36 - 32=0 .


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