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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第1课


数学

R B(理)

§4.1 任意角、弧度制及任 意角的三角函数
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.角的概念 (1)角的分类(按旋转的方向):
?正角:按照 逆时针 方向旋转而成的角. ? 角?负角:按照 顺时针 方向旋转而成的角. ? 零角 :射线没有旋转. ?

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练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)象限角:
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象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角
(3)终边相同的角

象限角α的集合表示
{α|k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈Z}

{α|k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k∈Z}
{α|k· 360° +180° <α<k· 360° +270° ,k∈Z} {α|k· 360° +270° <α<k· 360° +360° ,k∈Z}

所有与α终边相同的角,包括α本身构成一个集合,这个集合可

360° ,k∈Z} 记为S= {β|β=α+k·
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2.弧度制 (1)定义:把长度等于 半径 长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角,正角的弧度数是 正数 ,负角的弧度数是
π (2)角度制和弧度制的互化:180° = π rad,1° = 180

负数 ,零角的弧度数是 零 .
?180? ? ?° ? π ? .

rad,

1 rad=

r ,扇形的面积公式: (3)扇形的弧长公式:l= |α|·

S=
基础知识

1 1 2 lr = | α |· r 2 2

.
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3.任意角的三角函数的定义 α为任意角,α的终边上任意一点P(异于原点)的坐标 (x,y),它与原点的距离|OP|=r= x2+y2 (r>0),
y x y 则sin α= r ;cos α= r ;tan α= x ;

x r r cot α= y ;sec α= x ;csc α= y .

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4.三角函数在各象限的符号规律及三角函数线 (1)三角函数在各象限的符号:

Ⅰ sin α,csc α cos α,sec α tan α,cot α + + +

Ⅱ + - -

Ⅲ - - +

Ⅳ - + -

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基础知识·自主学习
要点梳理
(2)三角函数线:
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正弦线 余弦线 正切线

→ 如图,角α的正弦线为 MP . → 如图,角α的余弦线为 OM . → 如图,角α的正切线为 AT .
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) × (2) × (3) √ (4) √ (5) √ (6) √

解析

C C

-8
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 3 3? ?

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合是___________ ____________. (2)如果 α 是第三象限角, 那么 角 2α 的终边落在__________ ________________________.

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题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合是___________ ____________. 角 2α 的终边落在__________

(1)利用终边相同的角的集 合进行表示,注意对结果
(2)根据 α 的范围求 2α 的范

(2)如果 α 是第三象限角, 那么 进行合并; ________________________. 围,再确定终边位置.

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题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合是___________ ____________. (2)如果 α 是第三象限角, 那么

(1)∵在 (0, π)内终边在直线 π y= 3x 上的角是 , 3

∴终边在直线 y= 3x 上的 角 2α 的终边落在__________ π 角的集合为 {α|α = 3 + kπ , ________________________. k∈Z}.

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题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合是___________ ____________.

3 (2)∵2kπ + π<α<2kπ + π , 2 k∈Z,

(2)如果 α 是第三象限角, 那么 ∴4kπ + 2π<2α<4kπ + 3π , 角 2α 的终边落在__________ k∈Z.
二 ________________________. ∴角 2α 的终边落在第一、 象限或 y 轴的非负半轴上.

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题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)终边在直线 y= 3x 3 {α|α=kπ (2)∵2kπ + π<α<2kπ + π , 上的角的集合是___________ 2 π + ,k∈Z} . ____________ k∈Z, 3 (2)如果 α 是第三象限角, 那么 ∴4kπ + 2π<2α<4kπ + 3π , 第一、二 k∈Z. 角 2α 的终边落在__________

象限或y轴的非负半轴上 . ∴角 2α 的终边落在第一、 二 ________________________ 象限或 y 轴的非负半轴上.

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题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)终边在直线 y= 3x {α|α=kπ 上的角的集合是___________ π + ,k∈Z} . ____________ 3 (2)如果 α 是第三象限角, 那么

(1) 利用终边相同的角的集 合可以求适合某些条件的 角, 方法是先写出与这个角 的终边相同的所有角的集 数 k 赋值来求得所需角.

第一、二 角 2α 的终边落在__________

象限或y轴的非负半轴上 . 合, 然后通过对集合中的参 ________________________

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题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)终边在直线 y= 3x {α|α=kπ 上的角的集合是___________ π + ,k∈Z} . ____________ 3 (2)如果 α 是第三象限角, 那么

(2)利用终边相同的角的集 合 S={β|β=2kπ+α, k∈Z} 判断一个角 β 所在的象限

时,只需把这个角写成 第一、二 角 2α 的终边落在__________ [0,2π) 范围内的一个角 α 象限或 y 轴的非负半轴上 ________________________. 与 2π 的整数倍的和, 然后 判断角 α 的象限.

基础知识

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在直角坐标平面内,对于始边为 x 轴非负半轴的角, ( C ) B.终边相同的角必相等 D.不相等的角终边一定不同 下列命题中正确的是 A.第一象限中的角一定是锐角 C.相等的角终边一定相同 ________________.
解析 π (1)第一象限角是满足 2kπ<α<2kπ+ , k∈Z 的角, 当 k≠0 2

(2)已知角 α=45° ,在区间[-720° ,0° ]内与角 α 有相同终边的角 β=

时,它都不是锐角,与角 α 终边相同的角是 2kπ+α,k∈Z;当 k≠0 时,它们都与 α 不相等,亦即终边相同的角可以不相等, 但不相等的角终边可以相同.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在直角坐标平面内,对于始边为 x 轴非负半轴的角, ( C ) B.终边相同的角必相等 D.不相等的角终边一定不同 下列命题中正确的是 A.第一象限中的角一定是锐角 C.相等的角终边一定相同

(2)已知角 α=45° ,在区间[-720° ,0° ]内与角 α 有相同终边的角 β=

-675° 或-315° ________________.
解析 (2)由终边相同的角关系知 β=k· 360° +45° ,k∈Z,

∴取 k=-2,-1,得 β=-675° 或 β=-315° .

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
基础知识 题型分类
思维启迪 解析 答案 思维升华

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
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思维启迪 解析 答案 思维升华

(1) 由于三角函数值与选择 终边上的哪个点没有关系, 因此知 道了终边所在的 直 线,可在这个直线上任取一 点,然后按照三角函数的定 义来计算,最后用倍角公式 求值.

(2) 可以根据各象限内三角 函数值的符号判断.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
基础知识 题型分类
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1) 取 终 边 上 一 点 (a,2a) , a≠0, 根据任意角的三角函 5 数定义,可得 cos θ=± , 5 3 2 故 cos 2θ=2cos θ-1=- . 5

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
基础知识 题型分类
思维启迪 解析 答案 思维升华

(2)由 sin αtan α<0 可知 sin α,tan α 异号,从而 α 为第二或第三象限角. cos α 由 tan α <0 可知 cos α,tan α 异号,从而 α 为第三或第四 象限角, 故 α 为第三象限角.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( B ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 ( C ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
基础知识 题型分类
思维启迪 解析 答案 思维升华

(2)由 sin αtan α<0 可知 sin α,tan α 异号,从而 α 为第二或第三象限角. cos α 由 <0 可知 cos α,tan α tan α 异号,从而 α 为第三或第四 象限角, 故 α 为第三象限角.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ( B ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0,且 <0, tan α 则角 α 是 ( C ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
基础知识 题型分类
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)利用三角函数的定义, 求一 个角的三角函数值,需确定三 个量:角的终边上任意一个异 于原点的点的横坐标 x,纵坐 标 y,该点到原点的距离 r.

(2)根据三角函数定义中 x、y 的符号来确定各象限内三角 函数的符号,理解并记忆: “一全正、二正弦、三正切、 四余弦”.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 (1)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30° ),且cos α 4 =- ,则m的值为 ( B ) 5 1 1 3 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 sin?cos θ? < (2)若θ是第二象限角,则 ________0.( 判断大小) cos?sin θ?

-8m 4 解析 (1)∵r= 64m +9,∴cos α= =- , 2 5 64m +9 4m2 1 1 ∴m>0,∴ = ,即 m= . 2 2 64m +9 25 (2)∵θ 是第二象限角,∴-1<cos θ<0,0<sin θ<1,
2

sin?cos θ? ∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0,∴ <0. cos?sin θ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若扇形的周长是一定值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R.

(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 (1)弓形面积可用扇形面积 形的弧长及该弧所在的弓形的 与三角形面积相减得到; 面积; (2) 若扇形的周长是一定值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?
(2)建立关于 α 的函数.

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题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇

(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则

π π α = 60° = , R = 10 , l = ×10 3 3 形的弧长及该弧所在的弓形的 10π = (cm), 3 面积; 1 10π 1 (2) 若扇形的周长是一定值 C S 弓=S 扇-S△=2× 3 ×10-2 π 2 (C>0),当 α 为多少弧度时,该 ×10 ×sin 3 ?π 50 50 3 3? 扇形有最大面积? ? = π- = 50 ? - ? 3 2 2? ?3 ?

(cm2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若扇形的周长是一定值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

(2) 扇形周长 C = 2R + l = 2R + C αR,∴R= , 2+α ? 1 2 1 ? ? C ?2 ∴S 扇= α· R = α· ? 2 2 ? ?2+α? C2 1 C2 1 = α· = · 2 4+4α+α2 2 4 4+α+ α C2 ≤ . 16 当且仅当 α2=4,即 α=2 时, C2 扇形面积有最大值 . 16
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R.

涉及弧长和扇形面积的计

(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 算时,可用的公式有角度表 形的弧长及该弧所在的弓形的 示和弧度表示两种,其中弧 面积; (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?
度表示的公式结构简单,易 心角用弧度表示.弧长和扇 形面积公式:l=|α|R,S= 1 |α|R2. 2
思想方法 练出高分

(2) 若扇形的周长是一定值 C 记好用,在使用前,应将圆

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知扇形的周长为 4 cm ,当它的半径为

1 cm 和圆心角为________ 2 ________ 弧度时,扇形面积最大,这个 1 cm2 . 最大面积是________
解析 设扇形圆心角为 α,半径为 r,则 4 2r+|α|r=4,∴|α|= r -2. 1 ∴S 扇形=2|α|· r2=2r-r2=-(r-1)2+1, ∴当 r=1 时(S 扇形)max=1,此时|α|=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.
审 思题 维路 启线 迪图 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)求定义域,就是求使 3-4sin2x>0 的 x 的范围.用 三角函数线求解.

(2)比较大小,可以从以下几个角度观察: θ ①θ 是第二象限角, 是第几象限角?首先应予以确定. 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.
审 思题 维路 启线 迪图 规 范 解 答

温 馨 提 醒

θ θ θ ②sin , cos , tan 不能求出确定值,但可以画出 2 2 2 三角函数线. ③借助三角函数线比较大小.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)∵3-4sin2x>0, 3 2 ∴sin x< , 4 3 3 2分 ∴- <sin x< . 2 2 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边 范围(如图阴影部分所示), 解
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒
4分
? π π? ? ? k π - , k π + ∴x∈? ?(k∈Z). 3 3 ? ?

(2)∵θ 是第二象限角, π ∴2+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, π θ π ∴4+kπ<2<2+kπ,k∈Z,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒
6分

θ ∴ 是第一或第三象限的角. 2

(如图阴影部分), 结合单位圆上的三角函数 线可得: θ ①当2是第一象限角时,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

θ θ θ sin =AB,cos =OA,tan =CT, 2 2 2 θ θ θ 从而得,cos <sin <tan ; 2 2 2 θ ②当2是第三象限角时,
基础知识 题型分类 思想方法

8分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.

θ θ θ sin =EF,cos =OE,tan =CT, 2 2 2 θ θ θ 10分 得 sin <cos <tan . 2 2 2 θ θ θ θ 综上可得,当2在第一象限时,cos 2<sin 2<tan 2; θ θ θ θ 12分 当2在第三象限时,sin 2<cos 2<tan 2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式, 可以用 三角函数图象,也可以用三角函数线.但用三角函数线 更方便.
(2)第(2)小题比较大小, 由于没有给出具体的角度, 所以 用图形可以更直观的表示.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列6 数形结合思想在三角函数中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的 2 2 2 大小.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

θ (3)本题易错点:①不能确定 所在的象限;②想不到 2 应用三角函数线.原因在于概念理解不透,方法不 够灵活.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上 任一点, 如有可能则取终边与单位圆的交

方 法 与 技 巧

点.|OP|=r 一定是正值.
2.三角函数符号是重点,也是难点,在理 解的基础上可借助口诀:一全正,二正 弦,三正切,四余弦.
3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆 及三角函数线是一个小技巧.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角. 第一类是象限 角,第二、第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互 化,在同一个式子中,采用的度量制度必须 一致,不可混用.
3. 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要 遗漏终边在坐标轴上的情况.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

失 误 与 防 范

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 在 A.第一或第三象限 C.第二或第四象限

( A )

B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

解析 45° 角在第一象限, 角 α 和 45° 角终边相同或互 为反向延长线,∴角 α 在第一或第三象限.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则 其圆心角 α∈(0,π)的弧度数为 π π A. B. C. 3 3 2 ( C ) D.2

解析 设圆半径为 r,则其内接正三角形的边长为 3r,
所以 3r=α· r,∴α= 3.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

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4

专项基础训练
5
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3.角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α 等于 ( B ) 5 2 5 5 2 5 A. B. C.- D.- 5 5 5 5
解析 由三角函数的定义, 2 2 5 得 sin α= 2 2= 5 . ?-1? +2

基础知识

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1 2 3

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专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 ( B ) A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0
则可排除 A、C、D,故选 B.

B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

解析 在第三象限,sin α<0,cos α<0,tan α>0,

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
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专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角, 它们与 扇形的半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1
基础知识

( C.3
思想方法

)

B.2
题型分类

D.4
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1 2 3

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4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

解析 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° , 故①错; 当三角形的内角为 90° 时,其既不是第一象限角,也
不是第二象限角,故②错;③正确; π 5π π 5π 由于 sin 6=sin 6 , 但6与 6 的终边不相同, 故④错; 当 cos θ=-1,θ=π 时既不是第二象限角, 又不是第
三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.

答案 A
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
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6.设 α 为第二象限角,其终边上一点为 P(m, 5),且
10 2 4 cos α= m,则 sin α 的值为________ . 4

解析 设 P(m, 5)到原点 O 的距离为 r, m 2 则 r =cos α= 4 m,
5 5 10 ∴r=2 2,sin α= r = = 4 . 2 2
思想方法

基础知识

题型分类

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2π 2π 7.已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin ,cos ), 3 3 11
π 则角 α 的最小正值为________ . 6 2π 1 cos - 3 2 3 解析 ∵tan α= = =- , 2π 3 3 sin 3 2 2π 2π 且 sin >0,cos <0, 3 3 3 ∴α 在第四象限, 由 tan α=- , 得 α 的最小正值 3 11 为 π. 6
题型分类 思想方法

基础知识

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 3 {x|2kπ+3≤x≤2kπ+ 8.y= sin x- 的定义域为____________________ 2 2π , k ∈ Z} ___________ . 3
3 3 解析 ∵sin x≥ 2 ,作直线 y= 2 交单 位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分) 即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合 π 2π 为{x|2kπ+3≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= 2 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 4 的值.
解 由题意,得r= 3+m2,

m 2 所以 sin θ= 2= 4 m. 3+m
因为 m≠0,所以 m=± 5,
故角 θ 是第二或第三象限角.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= 2 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 4 的值.
当 m= 5时, r=2 2, 点 P 的坐标为(- 3, 5), 角 θ 是第二象限角,
当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5), 角 θ 是第二象限角,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= 2 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 4 的值.
x - 3 6 所以 cos θ= = =- , r 2 2 4

y 5 15 tan θ=x= =- 3 ; - 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,
- 5),角 θ 是第三象限角,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= 2 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 4 的值.
6 x - 3 所以 cos θ= r = =- , 4 2 2

y - 5 15 tan θ=x= = 3 . - 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2, 它的周长是 4 cm, 求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解 设圆的半径为r cm,弧长为 l cm, ?1 ? ? lr=1, ?r=1, 则?2 解得? ? l=2. ? ? ?l+2r=4, l ∴圆心角 α=r=2 弧度. 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1(cm),∴AB=2sin 1(cm).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

k k 1.设集合 M={x|x= ×180° +45° ,k∈Z},N={x|x= 2 4 ×180° +45° ,k∈Z},那么 ( ) A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? k 解析 方法一 由于 M={x|x=2×180° +45° , k∈Z} ={?,-45° ,45° ,135° ,225° ,?}, k N={x|x=4×180° +45° ,k∈Z}={?,-45° ,0° , 45° ,90° ,135° ,180° ,225° ,?}, 显然有 M?N.
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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

k k 1.设集合 M={x|x= ×180° +45° ,k∈Z},N={x|x= 2 4 ×180° +45° ,k∈Z},那么 ( B ) A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? k 方法二 由于集合 M 中, x = ×180° + 45° = 2
k×90° +45° =45° ×(2k+1),2k+1 是奇数; k 而集合 N 中,x=4×180° +45° =k×45° +45° =(k +1)×45° ,k+1 是整数,因此必有 M?N.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π 2.已知角 α=2kπ- (k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同, 5 sin θ cos θ tan θ 则 y= + + 的值为 ( B ) |sin θ| |cos θ| |tan θ| A.1 B.-1 C.3 D.-3 π 解析 由 α=2kπ-5(k∈Z)及终边相同的概念知,角
α 的终边在第四象限,

又角 θ 与角 α 的终边相同, 所以角 θ 是第四象限角,
所以 sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.

所以 y=-1+1-1=-1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5
?π ? ? ? + 2 k π , ? ? ?3 ?

3.函数 y= sin x+
? ? ?

1 -cos x的定义域是________ 2

π+2kπ??(k∈Z) . ____________
?sin x≥0, ? 解析 由题意知?1 ? -cos x≥0, ?2 ?sin x≥0, ? 即? 1 ?cos x≤ . 2 ?

?

π ∴x 的取值范围为3+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4.已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和 弦长 AB.
解 设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
?2r+l=8, ? (1)由题意可得?1 ? lr=3, ?2 ? ? ?r=3 ?r=1, 解得? 或? ?l=2 ? ? ?l=6,

l 2 l ∴α=r=3或 α=r=6.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4.已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和 弦长 AB. (2)∵2r+l=8, 1 1 1 l+2r 2 1 8 2 ∴S 扇=2lr=4l· 2r≤4( 2 ) =4×(2) =4, l 当且仅当 2r=l,即 α=r=2 时,扇形面积取得最
大值 4. ∴r=2,∴弦长 AB=2sin 1×2=4sin 1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2 解 (1)由sin α<0,知α在第三、四象限或y轴的负半
轴上; 由 tan α>0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为 3π {α|(2k+1)π<α<2kπ+ 2 ,k∈Z}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2 3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ ,k∈Z, 2 π α 3π 得 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z, 2 2 4 α 故2终边在第二、四象限.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2 α α α (3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0, 2 2 2
α cos <0, 2 α α α 所以 tan 2sin 2cos 2取正号; α α α α 当2在第四象限时,tan 2<0,sin 2<0,cos 2>0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2
α α α 所以 tan sin cos 也取正号. 2 2 2 α α α 因此,tan 2sin 2cos 2取正号.

基础知识

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