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2015-2016年高中数学 2.1.1函数的概念、定义域、值域和图像学案 苏教版必修1


2015-2016 年高中数学 2.1.1 函数的概念、 定义域、 值域和图像学案 苏教版必修 1

1.函数的概念. 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应, 那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数 y=f(x), x∈A,通常记为函数 y=f(x)的定义域,其中,所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数的定 义域.则对于 A 中的每一个 x,都有一个输出值 y 与之对应.将所有输出值 y 组成的集合称 为函数的值域. 2 2.若 f(x)=x-x ,则 f(1)=0;f(n+1)-f(n)=-2n. 1 3.函数 f(x)= 的定义域为(-1,+∞),值域为(0,+∞). x+1 4.如图所示中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是(D)

? 1 ? + 3x+1的定义域为?- ,1?. ? 3 ? 1-x 2 x -1 f(2) 6.设 f(x)= 2 ,则 等于(B) x +1 1? ? f? ? ?2? 3 3 A.1 B.-1 C. D.- 5 5 1 2 7.函数 y= + x -1的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1}. 2|x| 2 8.若正比例函数 y=(m-1)xm -3 的图象经过二、四象限,则 m=-2.
5.函数 f(x)= 3x
1

2

9.已知函数 y=(a-1)x 是反比例函数,则它的图象在(B) A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 |x| 10.函数 y=x+ 的图象是(A)

a

x

A.两条不含端点的射线 B.一条射线 C.两条平等直线 D.一条直线,

一、对函数概念的理解 函数的定义域(即原象集合)是自变量 x 的取值范围, 它是构成函数的一个不可缺少的组 成部分. 当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后, 函数的值域也就随之 确定了.因此,定义域和对应法则为“y 是 x 的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当 两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说: (1)定义域不同,两个函数也就不同; (2)对应法则不同,两个函数也是不同的; (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的 定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则. 例如:函数 y=2x+1 与 y=x-1,其定义域都是 R,值域都为 R.也就是说,这两个函 数的定义域和值域相同, 但它们的对应法则是不同的, 因此不能说这两个函数是同一个函数. 定义域 A、值域 C 以及从 A 到 C 的对应法则 f,称为函数的三要素.由于值域可用定义 域和对应法则唯一确定. 所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时, 才是同一函 数. 二、求函数的定义域 求函数的定义域,其实质就是使解析式各部分都有意义,列出不等式或不等式组,然后 求出它们的解集.其准则一般指以下几个方面: (1)分式中,分母不等于零; (2)偶次根式中,被开方数为非负数; 0 (3)对 y=x ,要求 x≠0. 如果用已知函数通过有限次加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数,求新 函数的定义域要根据实际问题而定. 三、求函数的值域 求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作 用.即求函数的值域,首先求函数的定义域. 求函数值域是一个相当复杂的问题,常见的方法有:①图象法;②观察法;③反解 x; ④配方法;⑤换元法;⑥单调性;⑦判别式法;等等. 四、函数的图象 作出函数的图象一般有两种方法: 一是描点法, 二是图象变换法. 但不管使用哪种方法, 必须与函数的性质结合起来. 掌握一些基本初等函数的图象, 利用图象变换法作图是常用的 方法. 识图题要分析所给函数图象的特征,并把图象与性质有机地结合起来思考问题. 函数的图象应用十分广泛, 如求函数的最值、 判定方程解的个数、 比较函数值的大小等、 函数图象是数形结合思想方法的“形”的载体, 形的直观性能帮助我们化抽象为具体, 直观 而简捷,解题的关键是正确画出函数图象,把代数语言化为图形语言.

基 础 巩 固 1.下列各图中,不可能表示函数 y=f(x)的图象的是(B)
2

2.下列四组中,f(x)与 g(x)表示同一个函数的是(B) 4 4 4 4 A.f(x)= x ,g(x)=( x) 3 3 B.f(x)=x,g(x)= x ?1,x>0, ? C.f(x)=1,g(x)=? ? ?1,x<0 2 x -4 D.f(x)= ,g(x)=x-2 x+2 解析:选项 A、C、D 中两个函数的定义域不相同.

?2x,x>0, ? 3.已知函数 f(x)=? 且 f(a)+f(1)=0,则 a=(A) ? ?x+1,x≤0, A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:当 a>0 时,f(a)+f(1)=2a+2=0? a=-1,与 a>0 矛盾;当 a≤0 时,f(a)+ f(1)=a+1+2=0? a=-3,适合题意. 4.定义域在 R 上的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则函数 y=f(x+a)的值域为(C) A.[2a,a+b] B.[0,b-a] C.[a,b] D.[-a,a+b] 2 ? ?x ,x>0, ? 5.已知 f(x)= 则 f(2)+f(-2)的值为(B) ?f(x+1),x≤0, ? A.6 B.5 C.4 D.2 2 解析:f(2)=2 =4,f(-2)=f(-2+1)=f(-1)=f(-1+1)=f(0)=f(0+1)=f(1) 2 =1 =1,∴f(2)+f(-2)=4+1=5. x+1 6.函数 y= 的定义域为________.

x

解析:利用解不等式组的方法求解.

3

要使函数有意义,需?

? ?x+1≥0, ? ?x≠0,

解得?

? ?x≥-1, ? ?x≠0.

∴原函数的定义域为{x|x≥-1 且 x≠0}. 答案:{x|x≥-1 且 x≠0} 1 7.函数 f(x)= 的定义域是________. 1-2x 1 解析:由 1-2x>0? x< . 2 ? ? 1? 答案:?x?x< ? ? ? 2? ? ?3x+2,x<1, 8.已知 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a=________. ?x +ax,x≥1. ? 解析:∵f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a. ∴4+2a=4a? a=2. 答案:2 9.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],值域为[1,2],则 f(x+2)的定义域是________, 值域是________. 解析:∵f(x)的定义域为[0,1],∴0≤x+2≤1, ∴-2≤x≤-1.即 f(x+2)的定义域为[-2,-1],值域仍然为[1,2]. 答案:[-2,-1] [1,2] 10.对于每一个实数 x,设 f(x)是 y=4x+1,y=x+2 和 y=-2x+4 三个函数中的最 小值,则 f(x)的最大值是________. 解析:在同一平面直角坐标系中作出如下图象:图中实线部分为 f(x),则 A 的纵坐标 8 为 f(x)的最大值,∴f(x)max= . 3 8 答案: 3 2 11.方程 x -|x|+a-1=0 有四个相异实根,求实数 a 的取值范围. 2 2 解析:原方程可化为 x -|x|-1=-a,画出 y=x -|x|-1 的图象. 2 ? 1? 5 ∵x≥0 时,y=?x- ? - . ? 2? 4 2 ? 1? 5 x<0 时,y=?x+ ? - . ? 2? 4 5 ? 5? 由图象可知,只有当- <-a<-1 时,即 a∈?1, ?时,方程才有四个相异实根. 4 ? 4? ? 5? ∴a 的取值范围是?1, ?. ? 4?

能 力 提 升
4

12.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是(C) A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 解析:∵|2x|=2|x|,∴A 满足;2x-|2x|=2(x-|x|)∴B 满足;-2x=2(-x),∴D 满足;2x+1≠2(x+1);∴C 不满足. 13.(2013·全国卷)已知 f(x)的定义域为(-3,0),则函数 f(2x-1)的定义域为(B) 1? ? A.(-1,1) B.?-1, ? 2? ? ?1 ? C.(-1,0) D.? ,1? ?2 ? 1 解析:∵f(x)的定义域(-3,0),∴-3<2x-1<0? -1<x< . 2 14.如左下图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入圆柱形桶中,H 是圆锥形漏斗中液面下降 的距离,则 H 与下降时间 t(分钟)的函数关系用图象表示只可能是(B)

15 .已知函数 f(x) = ______. 解析:∵f(x)=

?1? ?1? ?1? ,那么 f(1) + f(2) + f ? ? + f(3) + f ? ? + f(4) + f ? ? = 1+x ?2? ?3? ?4?
2

x2

x2
1+x

2

1 ?1? ,f? ?= 2 , ?x? x +1

?1? ∴f(x)+f? ?=1. x ? ?
7 ?1? ?1? ?1? 1 ∴f(1)+f(2)+f? ?+f(3)+f? ?+f(4)+f? ?= +1+1+1= . 2 3 4 2 2 ? ? ? ? ? ? 7 答案: 2

? 2? 2 16 .已知函数 f(3x + 2) 的定义域是 ( - 2 , 1) ,则函数 f(x ) - f ?x+ ? 的定义域为 ? 3? ________. 解析:∵f(3x+2)的定义域为(-2,1), ∴-2<x<1, ∴-4<3x+2<5. 2 ?-4<x <5,
∴?

?

-4<x+ <5. ? 3 ?

2

∴- 5<x< 5. 答案:(- 5, 5)

5

? 1 ? 17.已知 a∈?- ,0?,函数 f(x)的定义域是(0,1],求 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+ ? 2 ? f(x)的定义域. 解析:由题设得 ?0<x+a≤1, ? ?0<x-a≤1, ? ?0<x≤1, -a<x≤1-a, ? ? 即?a<x≤1+a, ? ?0<x≤1,

1 ∵- <a≤0, 2 1 3 1 ∴0≤-a< ,1≤1-a< , <1+a≤1. 2 2 2

∴不等式组的解集为-a<x≤1+a. ∴g(x)的定义域为(-a,1+a]. 18 .已知 m , n ∈ N ,且 f(m + n) = f(m)·f(n) , f(1) = 2. 求
*

f(2) f(3) + +?+ f(1) f(2)

f(2 012) 的值. f(2 011) * 解析:∵f(1)=2,f(m+n)=f(m)·f(n)(m,n∈N ), * ∴对于任意 x>1,x∈N ,有 f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)·f(1)=2f(x-1). f(x) f(2) f(3) f(2 012) ∴ =2,则 + +?+ =2+2+?+2=2 011×2=4 f(x-1) f(1) f(2) f(2 011)
022.

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