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四川省雅安中学2014届高三下期3月月考 数学文试题

四川省雅安中学 2014 届高三下期 3 月月考 数学文试题
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的。 1、已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B ={2,3} ,则 Cu ( A ? B) ? ( A. {1,3, 4} B. {3, 4} C. {3} ) B.第二象限 D.第四象限 ) D. {4} )

2、在复平面内,复数 i (2 ? i ) 对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限

3、设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集。若命题 p ?x ? A,2 x ? B ,则( (A) ?p : ?x ? A, 2 x ? B (C) ?p : ?x ? A,2 x ? B 4、 双曲线 (A) 2 3 (C) 3 (B) ?p : ?x ? A, 2 x ? B (D) ?p : ?x ? A, 2 x ? B )

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是( 3
(B) 2 (D) 1

5、一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

·1 ·

( ) A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π )

π 5π 6、已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ=( 4 4 π (A) 4 π (B) 3 π (C) 2 3π (D) 4 )

7、执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是(
开始 输入n i=1, s=1 i≤n 是 s=s+(i-1) i=i +1 否 输出s 结束

图 1

A.1

B.2

C .4

D.7

? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, ? 8、若变量 x, y 满足约束条件 ? 且 z ? 5 y ? x 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b 的值是 ? x ? 0, ? ? y ? 0,
·2 ·



) (B)24 (C)30 (D)48

(A)16

9、过椭圆的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 则椭圆的离心率 e 等于( A. 2 ? 1 B. ) C. 1 ? 2 D. 1 ?

?
2



2 2

2 2
) B. 若e ? 3b ? e ? 2a, 则a ? b
a b

10、设 a ? 0, b ? 0, e是自然对数的底数 ,则( A.若 e ? 3b ? e ? 2a, 则a ? b
a b

C. 若e ? 3b ? e ? 2a, 则a ? b
a b

D. 若e ? 3b ? e ? 2a, 则a ? b
a b

第二部分

(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、 lg 4 ? lg 50 ? lg 2 的值是____________。 12、 OA 为边, OB 为对角线的矩形中, OA ? (?3,1) , OB ? (?2, k ) ,则实数 k ? ____________.

1 ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 2 时取得最小值,则 a ? ____________。 x ? 1 3? ) ,则 tan 2? 的值是____________。 14、设 cos( ? ? ) ? , ? ? (? , 2 2 2
13、已知函数 f ( x ) ? ax ? 15、数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为____________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 17、(本小题满分 12 分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下 产品编号 质量指标(x, y, z) 产品编号 质量指标(x, y, z)

A1
(1,1,2)

A2
(2,1,1)

A3
(2,2,2)

A4
(1,1,1)

A5
(1,2,1)

A6
(1,2,2)

A7
(2,1,1)
·3 ·

A8
(2,2,1)

A9
(1,1,1)

A10
(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的 概率. 18、(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1) 证明 BC1//平面 A1CD;

(2) 设 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 ,求三棱锥 C 一 A1DE 的体积. 19、(本小题满分 12 分) 在数列 ?a n ? 中,已知 a1 ?

7 , a n ? 3a n?1 ? 3 n ? 1 ( n ? 2, n ? N * ) . 2

1? ? a ? ? ? n 2? ? (1)求证: ? ? 是等差数列; n ? 3 ? ? ? ? ?

(2)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n 及它的前 n 项和 S n .

20、 (本题满分 13 分) 已知圆 C x ? ( y ? 1) ? 5 ,直线 L: mx ? y ? 1 ? m ? 0 。
2 2

(1)求证:对 m ? R , 直线 L 与圆 C 总有两个不同交点; (2)设 L 与圆 C 交与不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (3)若定点 P(1,1)分弦 AB 所得向量满足 AP ?

1 PB ,求此时直线 L 的方程。 2

·4 ·

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)当 a ? 1 的值时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.

雅安中学 2013-2014 学年高三下期 3 月试题
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) DACDA,ACBAB 二、填空题(本大题共 4 题,每小题 4 分,共 16 分) 11.2 12. 4 13.

1 4

14. 3

15.1830

三、解答题 16. (I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac ,
·5 ·

所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ? 17.

18.提示:连接 AC1 , 交A1C于G ,中位线易证明平行 易知 S ?A1DE ? 所以 V=1
1? ? ? an ? 2 ? 7 ? ? 19. 由(1)知 ? ? 是等差数列,且公差为 1,且 a1 ? n 2 ? 3 ? ? ? ? ?

3 2 ,h ? 2 2



an ?

1 1 a1 ? 2 ? 2 ? ( n ? 1) ? 1 ? n 3 3n

∴ ∴

an ? n ? 3 n ?

1 2 n 2

Sn ? (1 ? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? 4 ? 34 ? ? ? n ? 3n ) ?

令 Tn ? 1 ? 31 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? 3 3 ? 4 ? 3 4 ? ? ? n ? 3 n …………① 则 3Tn ? 1 ? 3 2 ? 2 ? 3 3 ? 3 ? 3 4 ? 4 ? 3 5 ? ? ? (n ? 1) ? 3 n ? n ? 3 n?1 ……② 两式相减得:

? 2Tn ? 31 ? 3 2 ? 3 3 ? 3 4 ? 3 5 ? ? ? 3 n ? n ? 3 n?1
3(1 ? 3 n ) 1 ? n ? 3 n ? 1 ? ? ( 3 ? 3 n ?1 ) ? n ? 3 n ?1 1? 3 2 2n ? 1 n?1 3 Tn ? ?3 ? 4 4 2n ? 1 n?1 3 n Sn ? ?3 ? ? 4 4 2 ?
·6 ·

20. (1)直线过定点(1,1)在圆内 (2)当 M 不与 P 重合时,连接 CM、CP,则 CM ? MP,设 M(x,y) 则

x 2 ? ( y ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1,

化简得: x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 当 M 与 P 重合时,满足上式。 (3)设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )由 AP ?

1 PB , 2

?1 ? x1 ?

1 ( x2 ? 1), 化简得 x2 ? 3 ? 2 x1 ? 2
(*)

又,直线与圆联解得 (1 ? m2 ) x 2 ? 2m2 x ? m2 ? 5 ? 0

? x1 ? x2 ?

2m 2 1 ? m2
,代入 (*) 得 m ? ?1

3 ? m2 可得 x1 ? 1 ? m2

直线方程为 x ? y ? 0或x ? y ? 2 ? 0 21. 解(Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 1 ?

a a ,得 f ? ? x ? ? 1 ? x . x e e

又曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线平行于 x 轴, 得 f ? ?1? ? 0 ,即 1 ? (Ⅱ) f ? ? x ? ? 1 ?

?

?

a ? 0 ,解得 a ? e . e

a , ex

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为 ? ??, ?? ? 上的增函数,所以函数 f ? x ? 无极值. ②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 e x ? a , x ? ln a .

x ? ? ??, ln a ? , f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ln a, ?? ? , f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? x ? 在 ? ??, ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ?? ? 上单调递增, 故 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f ? ln a ? ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极小值;

·7 ·

当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 ex 1 , ex

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

则直线 l y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. 假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ?

1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 , ? k ?1 ? e k ?1

又函数 g ? x ? 的图象连续不断 , 由零点存在定理 , 可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解 , 与“方程

g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 .
又 k ? 1 时, g ? x ? ?

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. ex

所以 k 的最大值为 1 . 解法二 (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 . ex

直线 l y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于关于 x 的方程 kx ? 1 ? x ? 1 ?

1 在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程 ex

? k ? 1? x ?

1 ex

(*)

在 R 上没有实数解.

1 ? 0 ,在 R 上没有实数解. ex 1 ②当 k ? 1 时,方程(*)化为 ? xe x . k ?1
①当 k ? 1 时,方程(*)可化为 令 g ? x ? ? xe ,则有 g ? ? x ? ? ?1 ? x ? e .
x x

令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 , 当 x 变化时, g ? ? x ? 的变化情况如下表

x

? ??, ?1?
·8 ·

?1

? ?1, ?? ?

g? ? x?
g ? x?
当 x ? ?1 时, g ? x ?min ? ?

?

0
? 1 e

?

1 ,同时当 x 趋于 ?? 时, g ? x ? 趋于 ?? , e

从而 g ? x ? 的取值范围为 ? ? , ?? ? . 所以当 取值范围是 ?1 ? e,1? . 综上,得 k 的最大值为 1 .

? 1 ? e

? ?

1 1? ? ? ? ??, ? ? 时,方程(*)无实数解, 解得 k 的 k ?1 ? e?

·9 ·



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