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值域


求值域方法 值域方法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题, 对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的 值域取决于定义域和对应法则,求函数的值域要注意优先考虑定义域

常用求值域方法
(1)、直接观察法 )、直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 直接观察法 对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例 1、求函数

y=

1 , x ∈ [1, 2] x 的值域。(

) )

( 例 2、 求函数 y = 3 ? x 的值域。
答案:值域是: [?∞,3] 【同步练习 1】函数 y

=

1 2 + x2

的值域.





解: { y 0 <

1 y≤ } 2

2 、配方法 (2) 配方法:二次函数或可转化为形如 F ( x) = a[ f ( x)] + bf ( x) + c 类的函数的值域问题,均可用配方 ) 配方法: 、

法,而后一情况要注意 f (x ) 的范围 要注意 的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2 例 1、求函数 y = x ? 2 x + 5, x ∈ R 的值域。(

) )

2 ( 例 2、求函数 y = x ? 2x + 5, x ∈ [?1,2] 的值域。 2 解:将函数配方得: y = ( x ? 1) + 4

∵ x ∈ [?1,2]

由二次函数的性质可知:当 x=1 时, y min = 4 ,当 x = ?1 时, y max = 8 故函数的值域是:[4,8]

( 例 3、求 y = 2(log 2 2 x ) + 6 log 2 x + 6 = 2(log 2 x + 2 ) ? 2 。
2 2

) (配方法、换元法)

解:………所以当 x = 时, y 有最小值-2。故所求函数值域为[-2,+∞) 。
例 4、设 0 ≤ x ≤ 2 ,求函数 f ( x ) = 4 x ? 3 2 x +1 + 1 的值域. 解: f ( x ) = 4 x ? 3 2 x +1 + 1 = (2 x ? 3) 2 ? 8 ,

1 4

∵ 0 ≤ x ≤ 2 ,∴1 ≤ 2 x ≤ 4 .

∴当 2 x = 3 时,函数取得最小值 ?8 ;当 2 x = 1 时,函数取得最大值 ?4 , ∴函数的值域为 [?8, 4] . ?
评注: 评注:配方法往往需结合函数图象求值域. 例 5、求函数 y = 2 x ? 3 + 解: y =

4 x ? 13 的值域。 (

) (配方法、换元法)

1 1 4 x ? 6 + 2 4 x ? 13 = (4 x ? 13) + 2 4 x ? 13 + 7 2 2 2 1 7 7 = 4 x ? 13 + 1 + 3 ,所以 y ≥ ,故所求函数值域为[ ,+∞]。 2 2 2

(

) [

]

(

)

例 6、求函数 y = 2 ?

? x 2 + 4 x 的值域。 (

) (配方法)

y ∈ [0, 2] 。
【同步练习 2】 同步练习 (

) ( )

1、求二次函数 y = ? x 2 + 4 x ? 2 ( x ∈ [1, 4] )的值域. 2、求函数 y = e
? x 2 + 4 x ?3

的值域.



) ( ) ) ) )

?x ?x 3、求函数 y = 4 ? 2 + 1, x ∈ [ ?3, 2] 的最大值与最小值.

4、求函数 y = log 2

x x ? log 2 ( x ∈ [1,8]) 的最大值和最小值. ( 2 4
x? 1 2

5、已知 x ∈ [ 0, 2] ,求函数 f ( x) = 4

? 3 ? 2 x + 5 的值域. (

( 6、若 x + 2 y = 4, x > 0, y > 0 ,试求 lg x + lg y 的最大值。
最大值 lg 2 。

、换元法 (三角换元法)有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个)新的量来 (3) 换元法: 、换元法 代替原来的量,实行这种“变量代换“往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题 方向,这就是换元法.在求值域时,我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求 得原函数的值域. 例 1、求 f ( x) = x + 1 ? x 的值域. 解:令 1 ? x = t > 0 ,则 x = 1 ? t 2 (t ≥ 0) ,

? 1? 5 5 f ( x) = f (1 ? t ) = 1 ? t + t = ? t ? ? + ≤ , ? 2? 4 4
2 2

2

所以函数值域为 ? ?∞, ? . 评注: 评注:利用引入的新变量 t ,使原函数消去了根号,转化成了关于 t 的一元二次函数,使问题得以解决.用 换元法求函数值域时,必须确定新变量的取值范围,它是新函数的定义域. 小结: 小结: 【同步练习 3】求函数 y = x ? 1 ? 2 x 的值域。 解:由 1 ? 2 x ≥ 0 ,得 x ≤

? ?

5? 4?

1 。令 1 ? 2 x = t (t ≥ 0 ) 2

1? t2 1? t2 1 1 2 得x = ,于是 y = ? t = ? (t + 1) + 1 ,因为 t ≥ 0 ,所以 y ≤ 。故所求函数值域为[2 2 2 2
1 ∞, ]。 2
2 2 例 2、求函数 y = x 1 ? x + x 的值域。

解:设 x = sin α ? α ≤

? ?

π?

? ,则 2?

y = sin α cos α + sin 2 α =

1 1 1 2 ? π? sin 2α + (1 ? cos 2α ) = + sin ? 2α ? ? 。 2 2 2 2 4? ?

所以

?1 ? 2 1 + 2 ? 1? 2 1+ 2 ≤ y≤ ,故所求函数值域为 ? , ?。 2 2 2 ? ? 2

2 【同步练习 4】求函数 y = x + 4 + 5 ? x 的值域。
2 解:由 5 ? x ≥ 0 ,可得 | x |≤ 5

故可令 x = 5 cos β, β ∈ [0, π]

π y = 5 cos β + 4 + 5 sin β = 10 sin(β + ) + 4 4
∵0≤β≤ π

π π 5π ∴ ≤β+ ≤ 4 4 4
当 β = π / 4 时, y max = 4 + 10 当 β = π 时, y min = 4 ? 5 故所求函数的值域为: [4 ? 5 ,4 + 10 ] 小结: 小结:

【同步练习 5】 1、求函数 y = x + 1? 2x 的值域. 2、求函数



) )

y = x + 2 + 1 ? ( x + 1) 2

的值域。 (

2 解:因 1 ? ( x + 1) ≥ 0 2 即 ( x + 1) ≤ 1

故可令 x + 1 = cos β, β ∈ [0, π] ∴

y = cos β + 1 + 1 ? cos 2 β = sin β + cos β + 1

π = 2 sin(β + ) + 1 4 0 ≤ β ≤ π,0 ≤ β + π 5 ≤ π 4 4



2 π ≤ sin(β + ) ≤ 1 2 4 π ∴ 0 ≤ 2 sin(β + ) + 1 ≤ 1 + 2 4 ∴?
故所求函数的值域为 [0,1 + 2 ] 3、已知函数 f (x ) 的值域为 ? 3 , 5 ? ,求函数 y = f ( x) + 1 ? 2 f ( x) 的值域. ?8 9 ? ? ?





(4)、函数有界性法(方程法) )、函数有界性法(方程法) 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。 我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。

例 1、求函数 y = 、

sin x ? 3 的值域。 sin x + 3

解:因为 sin x + 3 ≠ 0 ,所以 y sin x + 3 y = sin x ? 3 ,则 sin x =

3( y + 1) 1? y

由于 sin x ≤ 1 ,所以

3( y + 1) 1 1 ≤ 1 ,解得 ? 2 ≤ y ≤ ? 。故所函数的值域为[-2,- ]。 2 1? y 2

求函数 y =

x2 ?1 的值域 x2 +1 ∴ ?1 ≤ y < 1

Q x2 =

1+ y ≥0 1? y

∴ 原函数的值域为 [? 11)

例 2、求函数 y =

3 sin x ? 1 的值域。 2 cos x + 3

解:因为 2 cos x + 3 ≠ 0 ,所以 2 y cos x + 3 y = 3 sin x ? 1 , 即 3 sin x ? 2 y cos x = 3 y + 1 ,所以

3 4y + 9
2

sin x ?

2y 4y + 9
2

cos x =

3y + 1 4y2 + 9

,令

cos ? =

3 4y2 + 9

, sin ? =

2y 4y2 + 9

得 sin ( x ? ? ) =

3y + 1 4y2 + 9





3y +1 4y + 9
2

≤ 1 ,解得 ? 2 ≤ y ≤

4 4 ,故所函数的值域为[-2, ]。 5 5

【同步练习 6】求函数

y=

ex ? 1 2sin θ ? 1 2sin θ ? 1 y= y= x 1 + sin θ , 1 + cos θ 的值域. e +1 ,

ex ? 1 1+ y ? ex = >0 x 1? y e +1 2sin θ ? 1 1+ y y= ?| sin θ |=| |≤ 1, 1 + sin θ 2? y 2sin θ ? 1 y= ? 2sin θ ? 1 = y (1 + cos θ ) 1 + cos θ 2sin θ ? y cos θ = 1 + y y= 4 + y 2 sin(θ + x) = 1 + y, 即 sin(θ + x) = 又由 sin(θ + x) ≤ 1知 1+ y 4 + y2 ≤1 1+ y 4 + y2

解不等式,求出y,就是要求的答案
(5)、数形结合法 )、数形结合法(函数的图像):对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题,我们可 数形结合法 以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况,再有的放矢地通过函数解析式求函数最值,确定 函数值域,用数形结合法,使运算过程大大简化. 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结 合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。

? 2 ? x + 2 x ? 3 (?2 ≤ x < 0), 例1、 求函数 f ( x ) = ? 2 ? x ? 2 x ? 3 (0 ≤ x ≤ 3) ?
域. 分析:求分段函数的值域可作出它的图象,则其函 化情况就一目了然了, 从而可以快速地求出其值域. 解:作图象如图所示.

的值

数值的整体变

∵ f (?1) = f (1) = ?4 , f (?2) = ?3 , f (3) = 0 ,
∴函数的最大值、最小值分别为 0 和 ?4 ,即函数的

f (0) = ?3 ,
值域为

[?4, . 0]
例2、 求函数

y = ( x ? 2) 2 + ( x + 8) 2

的值域.

解:原函数可化简得: y =| x ? 2 | + | x + 8 | 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) B(?8) 间的距离之和。 , 由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, y =| x ? 2 | + | x + 8 |=| AB |= 10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y =| x ? 2 | + | x + 8 |>| AB |= 10 故所求函数的值域为: [10,+∞]
2 2 例 3、求函数 y = x ? 6x + 13 + x + 4x + 5 的值域.

解:原函数可变形为:

y = ( x ? 3) 2 + (0 ? 2) 2 + ( x + 2) 2 + (0 + 1) 2
上式可看成 x 轴上的点 P( x ,0) 到两定点 A (3,2), B(?2,?1) 的距离之和, 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, 故所求函数的值域为 [ 43 ,+∞]

y min =| AB |= (3 + 2) 2 + ( 2 + 1) 2 = 43



2 2 例 4、求函数 y = x ? 6x + 13 ? x + 4x + 5 的值域.

解:将函数变形为:

y = ( x ? 3) 2 + (0 ? 2) 2 ? ( x + 2) 2 + (0 ? 1) 2

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 B(?2,1) 到点 P( x ,0) 的距离之差。 即: y =| AP | ? | BP | 由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P ' ,则构成 ?ABP' ,根据三角形两 边之差小于第三边,有 即: ? 26 < y < 26

|| AP' | ? | BP' ||<| AB |= (3 + 2) 2 + (2 ? 1) 2 = 26

(2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 || AP | ? | BP ||=| AB |= 26 综上所述,可知函数的值域为: (? 26 , 26 ]

注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差 时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。 如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为: (3,2) (?2,?1) ,在 x 轴的同侧;例 18 的 A,B 两点坐标分别为(3, , 2) (2,?1) ,在 x 轴的同侧。 , 【同步练习 7】 1、求函数 y = x ? 1 + x ? 3 的值域. 2、求函数 y = x ? 3 ? x + 1 的值域. 3、求函数 y =

x 2 + 4 x + 5 + x 2 ? 4 x + 8 的值域. x 2 + 2 x + 5 ? x 2 + 2 x + 2 的最大值.

4、求函数 f ( x ) =

2 (6)均值不等式法:利用基本关系 [ f ( x )] ≥ 0, 两个正数的均值不等式 a + b ≥ 2 ab 在应用时要注意“一 均值不等式法

正二定三相等“;
+ 3 利用基本不等式 a + b ≥ 2 ab , a + b + c ≥ 3 abc (a , b, c ∈ R ) , 求函数的最值, 其题型特征解析式是和式时

要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 1、求函数 y =

x 2 + 2x + 2 ( x > ?1) 的值域 x +1

( x + 1) 2 + 1 1 解:原函数可化为 y = = x +1+ ≥ 2 (Q x > ?1) x +1 x +1
当且仅当 x = 0 时取等号,故值域为 [2 , + ∞ )

例3、 求函数

y = (sin x +

1 2 1 2 ) + (cos x + ) ?4 sin x cos x 的值域.

解:原函数变形为:

y = (sin 2 x + cos 2 x ) + = 1 + ces 2 x + sec 2 x = 3 + tan 2 x + cot 2 x ≥ 33 tan 2 x cot 2 x + 2 =5 当且仅当 tan x = cot x

1 1 + 2 sin x cos 2 x

即当

x = kπ ±

π 4 时 (k ∈ z) ,等号成立

故原函数的值域为: [5,+∞)

、根判别式法: (7) 根判别式法:对于形如 y = 、根判别式法

a1 x 2 + b1 x + c1 ( a1 , a2 不同时为 0 )的函数常采用此法,就是把函数 a2 x 2 + b2 x + c2

,通过方程有实数根,从而根的判别式大于等于零, 转化成关于 x 的一元二次方程(二次项系数不为 0 时) 求得原函数的值域. 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进 行化简 如:

b 型:直接用不等式性质 k+x2 bx b. y = 2 型,先化简,再用均值不等式 x + mx + n x 1 1 例:y = = ≤ 2 1 2 1+x x+ x 2 x + m ′x + n ′ c.. y = 2 型 通常用判别式 x + mx + n x2 + mx + n d. y = 型 x+n 法一:用判别式 a. y = 法二:用换元法,把分母替换掉
2 x2 + x + 1 (x+1) ? (x+1) +1 1 例:y = = = (x+1) + ?1 ≥ 2 ?1 = 1 x +1 x +1 x +1

1 + x + x2 的值域. 例 1、求函数 y = 1 + x2
2 解:原函数化为关于 x 的一元二次方程 ( y ? 1) x ? x + y ? 1 = 0 .

(1)当 y ≠ 1 时, x ∈ R , ? = ( ?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ≥ 0 ,解得 (2)当 y = 1 时, x = 0 ,而 1 ∈ ? , ? . 2 2 故函数的值域为 ? , ? . 2 2

1 3 ≤ y≤ ; 2 2

?1 3? ? ?

?1 3? ? ?

评注: 评注:①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零;②使用此法须在 x ∈ R 或仅有个别值(个 别值是指使分母为 0 的值,处理方法为将它们代入方程求出相应的 y 值,若在求出的值域中则应除去此 y

1 + x + x2 值)不能取的情况下,否则不能使用,如求函数 y = , x ∈ (2, 的值域,则不能使用此方法. 3) 1 + x2
例 2、求函数

y = x + x ( 2 ? x ) 的值域.

2 2 解:两边平方整理得: 2 x ? 2( y + 1) x + y = 0 (1)

∵ x∈R
2 ∴ ? = 4( y + 1) ? 8 y ≥ 0

解得: 1 ? 2 ≤ y ≤ 1 + 2 但此时的函数的定义域由 x ( 2 ? x ) ≥ 0 ,得 0 ≤ x ≤ 2
2 2 由? ≥ 0, 仅保证关于 x 的方程:2 x ? 2( y + 1) x + y = 0 在实数集 R 有实根, 而不能确保其实根在区间[0,

2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 ? ≥ 0 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的

?1 3? ? , ? 值域为 ? 2 2 ? 。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0≤ x ≤ 2

∴ y = x + x (2 ? x ) ≥ 0

∴ y min = 0, y = 1 + 2 代入方程(1)
x1 =
解得:

2 + 2 ? 24 2 2

∈ [0,2]

即当

x1 =

2 + 2 ? 24 2 2 时,

原函数的值域为: [0,1 + 2 ]

注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的 部分剔除。 【同步练习 8】

5x 2 + 8x + 5 的值域. 1、求函数 y = x2 + 1
2、求函数 y =
x +1 x2 +2 x+2

的值域.
ax 2 + 8 x + b

3、函数 f ( x ) = log 3

x 2 +1

的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,值域为 [0, 2] ,求 a, b 的值.

ax + b 的值域为 [? 1,5] ,求 a,b . 4、设函数 y = f ( x ) = 2 x +2
2 5、已知函数 y=f(x)= 2 x + bx + c (b < 0) 的值域为[1,3],求实数 b,c 的值. 2

x +1

、分离常数法: (8) 分离常数法:对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题,因为分子分母都有变量,利用函 、分离常数法 数单调性确定其值域较困难,因此,我们可以采用凑配分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和 的形式,而此时的分式,只有分母上含有变量,进而可利用函数性质确定其值域.

2x 的值域. 例 1、求函数 y = x 2 +1
解: y =

2x (2 x + 1) ? 1 1 = = 1? x . x x 2 +1 2 +1 2 +1

∵ 2 x > 0 ,∴ 2 x + 1 > 1 ,∴ 0 <

1 1 < 1 ,∴ ?1 < ? x < 0, 2 +1 2 +1
x

∴0 < 1 ?

1 <1. 2 +1
x

∴函数的值域为 (0, . 1)
求y=

x+2?3 3 = 1? ≠ 1 ,可得值域 {y y ≠ 1} x+2 x+2 ax + b 小结: (c ≠ 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为 小结:已知分式函数 y = cx + d
解: (利用部分分式法)由 y =

x ?1 的值域. x+2

? a? ?y y ≠ ? ; c? ?
ad b? a c (ad ≠ bc) , 如果是条件定义域(对自变量有附加条件) ,采用部分分式法将原函数化为 y = + c cx + d
用复合函数法来求值域。 )、倒数法 (8)、倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况

例 1、求函数

y=

x+2 x + 3 的值域.

x+2 x+3 x + 2 ≠ 0时, 1 x + 2 +1 = = x+2+ y x+2 y= x + 2 = 0时,y =0 1 ∴0 ≤ y ≤ 2

1 x+2

≥2?0< y≤

1 2

多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 例题综合分析】 综合分析 【例题综合分析】 例 1、求下列函数的值域: (1) y = 3 x 2 ? x + 2 ; (2) y =

?x2 ? 6x ? 5 ;

(3) y =

3x + 1 ; x?2

2 (4) y = x + 4 1 ? x ; (5) y = x + 1 ? x ;

(6) y =| x ? 1| + | x + 4 | ;

(7) y =

2x2 ? x + 2 2x2 ? x + 1 1 1 ? sin x ; (8) y = ( x > ) ; (9) y = 2 x + x +1 2x ?1 2 2 ? cos x

解: (1)法一:公式法(略) 法二: (配方法)Q y = 3 x ? x + 2 = 3( x ? ) +
2 2

1 6

23 23 ≥ , 12 12

∴ y = 3 x 2 ? x + 2 的值域为 [

23 , +∞) . 12

【拓展】求函数 y = 3 x 2 ? x + 2 , x ∈ [1,3] 的值域. 拓展】 解: (利用函数的单调性)函数 y = 3 x 2 ? x + 2 在 x ∈ [1,3] 上单调增, ∴当 x = 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x = 3 时,原函数有最大值为 26 . ∴函数 y = 3 x 2 ? x + 2 , x ∈ [1,3] 的值域为 [4, 26] . (2)求复合函数的值域:设 ? = ? x 2 ? 6 x ? 5 ( ? ≥ 0 ) ,则原函数可化为 y = 又∵ ? = ? x 2 ? 6 x ? 5 = ?( x + 3) 2 + 4 ≤ 4 ,∴ 0 ≤ ? ≤ 4 ,故 ∴y=

?.

? ∈ [0, 2] ,

? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] .
3x + 1 2x + 1 的反函数为 y = ,其定义域为 {x ∈ R | x ≠ 3} , x?2 x?3

(3) (法一)反函数法: y =

∴原函数 y =

3x + 1 的值域为 { y ∈ R | y ≠ 3} . x?2
3x + 1 3( x ? 2) + 7 7 , = = 3+ x?2 x?2 x?2

(法二)分离变量法: y = ∵

7 7 ≠ 0 ,∴ 3 + ≠3, x?2 x?2

∴函数 y =

3x + 1 的值域为 { y ∈ R | y ≠ 3} . x?2
2

(4)换元法(代数换元法) :设 t = 1 ? x ≥ 0 ,则 x = 1 ? t , ∴原函数可化为 y = 1 ? t + 4t = ?(t ? 2) + 5(t ≥ 0) ,∴ y ≤ 5 ,
2 2

∴原函数值域为 (?∞,5] . 说明:总结 y = ax + b + cx + d 型值域,变形: y = ax 2 + b + cx 2 + d 或 y = ax 2 + b + cx + d (5)三角换元法:∵ 1 ? x ≥ 0 ? ?1 ≤ x ≤ 1 ,∴设 x = cos α , α ∈ [0, π ] ,
2

则 y = cos α + sin α = ∵ α ∈ [0, π ] ,∴ α + ∴ 2 sin(α +

2 sin(α + ) 4

π

π

π 5π π 2 ∈ [ , ] ,∴ sin(α + ) ∈ [? ,1] , 4 4 4 4 2

π
4

) ∈ [?1, 2] ,

∴原函数的值域为 [ ?1, 2] .
? ?2 x ? 3 ? ( x ≤ ?4) (?4 < x < 1) ,∴ y ≥ 5 , ( x ≥ 1)

(6)数形结合法: y =| x ? 1| + | x + 4 |= ?5

?2 x + 3 ?

∴函数值域为 [5, +∞ ) . (7)判别式法:∵ x + x + 1 > 0 恒成立,∴函数的定义域为 R .
2

由y=

2x2 ? x + 2 得: ( y ? 2) x 2 + ( y + 1) x + y ? 2 = 0 x2 + x + 1



①当 y ? 2 = 0 即 y = 2 时,①即 3 x + 0 = 0 ,∴ x = 0 ∈ R ②当 y ? 2 ≠ 0 即 y ≠ 2 时,∵ x ∈ R 时方程 ( y ? 2) x 2 + ( y + 1) x + y ? 2 = 0 恒有实根, ∴ = ( y + 1) 2 ? 4 × ( y ? 2) 2 ≥ 0 , ∴ 1 ≤ y ≤ 5 且 y ≠ 2 , ∴原函数的值域为 [1,5] .

1 2 x 2 ? x + 1 x(2 x ? 1) + 1 1 1 1 (8) y = = = x+ = x? + 2 + , 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x? 1 2 2

1 1 1 1 ∵ x > ,∴ x ? > 0 ,∴ x ? + 2 ≥ 2 ( x ? ) 2 1 2 x? 2 (x ? 1) 2 2
2 2

1

1

1 1+ 2 1 = 2 ,当且仅当 x ? = 2 时,即 x = 1 2 x? 2 2

时等号成立.∴ y ≥

1 1 2 + ,∴原函数的值域为 [ 2 + , +∞) . 2 2

(9) (法一)方程法(函数有界性) :原函数可化为: sin x ? y cos x = 1 ? 2 y , ∴ 1 + y sin( x ? ? ) = 1 ? 2 y (其中 cos ? =
2

1 1+ y
2

,sin ? =

y 1+ y2

) ,

∴ sin( x ? ? ) =

1? 2 y 1+ y2

∈ [?1,1] ,∴ |1 ? 2 y |≤ 1 + y 2 ,∴ 3 y 2 ? 4 y ≤ 0 ,∴ 0 ≤ y ≤

4 , 3

∴原函数的值域为 [0, ] . (法二)数形结合法:可看作求点 (2,1) 与圆 x 2 + y 2 = 1 上的点的连线的斜率的范围,解略.
?| x ? 3| 2 ) = 3 + a 有实数根,求实数 a 的取值范围. (综合) 例 2、若关于 x 的方程 (2 ? 2

4 3

解:原方程可化为 a = (2 ? 2?| x ?3| ) 2 ? 3 , 令t = 2
?| x ?3|

,则 0 < t ≤ 1 , a = f (t ) = (t ? 2) 2 ? 3 ,又∵ a = f (t ) 在区间 (0,1] 上是减函数,

∴ f (1) ≤ f (t ) < f (0) ,即 ?2 ≤ f (t ) < 1 , 故实数 a 的取值范围为: ?2 ≤ a < 1 .

例 3、 求函数

y=

x+2 x + 3 的值域。 (换元法、不等式法)

2 解:令 t = x + 2 ( t ≥ 0) ,则 x + 3 = t + 1

y=
(1)当 t > 0 时,

t 1 1 = ≤ 1 2 1 t +1 t + 0< y≤ t 2 ,当且仅当 t=1,即 x = ?1 时取等号,所以
2

(2)当 t=0 时,y=0。

? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为: ? 2 ?
注:先换元,后用不等式法

(共 11 题,附答案) 【拓展练习】 拓展练习】 一、选择题 1、下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是 A. y =

1 5 +1
?x

B. y = 1 ? 2

x

C. y =

1 ( )x ?1 2

D. y = ( )

1 3

1? x

3 2 ,在 [ ?2, 2] 上有最大值 3,那么在 [ ?2, 2] 上的最小值是 2、已知 f ( x) = 2 x ? 6 x + a ( a 是常数)

A. ?5
2

B. ?11

C. ?29

D. ?37

3、已知函数 y = x ? 2 x + 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 A、[ 1,+∞) B、[0,2] 则 a= C、 (-∞,2] D、[1,2] 4、 (04 年天津卷.文 6 理 5)若函数 f ( x) = log a x(0 < a < 1) 在区间 [ a, 2a ] 上的最大值是最小值的 3 倍,

1 1 D. 4 2 x (04 年湖北卷.理 7)函数 f ( x ) = a + log a ( x + 1) 在[0,1] 上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为 5、 1 1 (A) (B) (C)2 (D)4 4 2 y?2 x y 2 2 的最小值是__________ + 的最大值是______________ 6、若 x + y = 1 ,则 x ?1 3 4
A. B. C.
2 7、已知函数 y = lg(ax + 2 x + 1) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是_____________

2 4

2 2

8、下列函数的值域分别为: (2) (1) (1) y =

(3)
x 2 ?2 x

(4) (3) y = 3 x ? x 3

. (4) y =

e e

x x

?1 +1

(2) y = 0.25

x2 + 5 x2 + 4

9、已知函数 f ( x ) =

2 x 2 + bx + c (b < 0) 的值域为 [1,3] ,求实数 b, c 的值。 x2 +1

10、 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx ( a ≠ 0) 满足条件:f (5 ? x ) = f ( x ? 3) 且方程 f ( x ) = x 有等根, 求 ⑴ 10、

f (x) 的解析式;⑵ 是否存在实数 m, n(m < n) ,使得 f (x) 的定义域为 [m, n] ,值域为 [3m,3n] 。

11、 11、已知函数 f ( x ) = (1) 当a =

x 2 + 2x + a , x ∈ [1,+∞) x

1 时,求函数 f (x ) 的最小值 ; 2

(2)

若对任意 x ∈ [1,+∞) , f (x ) > 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

答案: 答案:同步练习 g3.1011 函数的最值与值域 1—5、DDDAB 6、

3 5 ; 4 12

7、[0,1]

8(1)(-1,1)

(2) ( 0, 4]

(3)R (4) ? , +∞ ? ?2 ?

?5

?

9、 b = ?2, c = 2

10(1) f ( x ) = ?

1 2 x + x (2) m = ?4, n = 0 2

9(1)

7 2

(3) a > ?3

1、函数 y =

2x 的值域为 (0,1) . (分离常数法) 2x + 1 2 或 2. (函数单调性法) 2

2、若函数 f ( x) = log a x 在 [2, 4] 上的最大值与最小值之差为 2,则 a = 【拓展练习】( 拓展练习】 一、选择题 1、函数 y=x + A.(-∞,- C.[
2



1 1 (x≤- )的值域是( x 2

)(函数单调性法) B.[-

7 ] 4

7 ,+∞ ) 4
33 2] 2

33 2 ,+∞ ) 2

D.(-∞,-

2、函数 y=x+ 1? 2 x 的值域是( A.(-∞,1 ] C.R

)(换元法) (配方法) B.(-∞,-1 ] D.[1,+∞ )

1、函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为( A.

x

)(



1 4

B.

1 2

C.2

D.4

) ( ) 2、函数 y=log2x+logx(2x)的值域是( A.(-∞,-1] B.[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 2 3、已知 f(x)是奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x +3x+2.若当 x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最 小值为( ) A.

9 4

B.2

C.

3 4

D.

1 4

4、把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是

( A.

)

3 3 2 cm 2

B.4 cm

2

C. 3 2 cm
2

2

D. 2 3 cm

2

5、在区间[1.5,3]上,函数 f(x)=x +bx+c 与函数 g ( x ) = x + 在区间[1.5,3]上的最大值为( ) A.8 B.6 C.5 2 2 2 6、若方程 x +ax+b=0 有不小于 2 的实根,则 a +b 的最小值为( A.3 7、函数 f ( x ) = A.190
19

1 同时取到相同的最小值,则函数 f(x) x ?1
D.4 ) D.

B.

16 5
)

C.

17 5

18 5

∑ | x ? n | 的最小值为(
n =1

B.171

C.90

D.45

8、设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 A. 2
2 2

1 ,则 a 等于( 2
D.4

)

B.2 )

C. 2 2

9、设 a、b∈R,a +2b =6,则 a+b 的最小值是( A. ? 2 2 B. ?

5 3 3

C.-3

D. ?

7 2
)

10、 10、若动点(x,y)在曲线

x2 y2 + 2 = 1 (b>0)上变化,则 x2+2y 的最大值为( 4 b
?b 2 ? + 4,0 < b < 2 B. ? 4 ?2b, b ≥ 2 ? b2 C. +4 4

?b 2 ? + 4,0 < b < 4 A. ? 4 ?2b, b ≥ 4 ?
11、 11、设 a,b∈R,记 max{a,b}= ?

D.2b

? a , a ≥ b, 函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是_________. ?b, a < b.
ab + a + b ,a、b∈R+.若 1Δk=3,则函数 f(x)=kΔx 的值

12、 12、规定记号“Δ“表示一种运算,即 a?b =

域是__________. 2 2 13、 13、已知函数 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)] +f(x )的值域为___________. 14、 14、若变量 x 和 y 满足条件 ? 15、 15、求下列函数的值域:( 2 (1)y=x -4x+6,x∈[1,5); (2) y =

? x + y ? 3 ≥ 0, y 则 z=2x+y 的最小值为_______; 的取值范围是_________. x ? x ? 2 y ≥ 0,


5x ? 1 ; 4x + 2
x ?1 .

(3) y = 2 x ?

16、 16、(2009 山东烟台高三模块检测,20)设函数 g ( x ) =

1 3 1 2 x + ax ? bx (a,b∈R),在其图象上一点 P(x,y) 3 2

处的切线的斜率记为 f(x). (1)若方程 f(x)=0 有两个实根分别为-2 和 4,求 f(x)的表达式; 2 2 (2)若 g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求 a +b 的最小值.

【答案】 答案】 x x 1、解析:f(x)=a +loga(x+1)是单调递增(减)函数 解析: 〔原因是 y=a 与 y=loga(x+1)单调性相同〕,且在 [0,1] 解析 0 上的最值分别在两端点处取得,最值之和为 f(0)+f(1)=a +loga1+a+loga2=a, ∴loga2+1=0.∴ a =

1 . 答案:B 2

2、解析:y=log2x+logx(2x)= log 2 x + 解析: 解析

1 + log 2 x 1 = log 2 x + + 1. log 2 x log 2 x

∵ | log 2 x +

1 1 |=| log 2 x | + ≥ 2, log 2 x | log 2 x |

∴ log 2 x +

1 + 1 ∈(-∞,-1]∪[3,+∞).故选 D. log 2 x

3、解析:设 x>0,则-x<0, 解析: 解析 2 2 ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x) +3(-x)+2]=-x +3x-2. ∴在[1,3]上,当 x =

3 1 时 f(x)max= ,当 x=3 时 f(x)min=-2. 2 4 1 9 ∴m≥ 且 n≤-2.故 m-n≥ . 答案:A 4 4 3 2 3 3 2 3 x , (4 ? x) 2 ,则它们的面积之和为 S = x + (4 ? x) 2 4 4 4 4 3 3 (2 x 2 ? 8 x + 16) = [( x ? 2) 2 + 4] ,可见当 x=2 时,两个正三角形面积之和的最小值为 2 3 cm2. 4 2

4、 解析:设其中一段长为 3x,则另一段为 12-3x,则所折成的正三角形的边长分别为 x,4-x,它们的面积分别 解析: 为

=

答案:D 5、解析: g ( x) = x ? 1 + 解析: 解析
2

1 1 + 1 ≥ 2 ( x ? 1) × + 1 = 3 ,当且仅当 x=2 时,g(x)min=3, x ?1 x ?1

∴f(x)=(x-2) +3. ∴在区间[1.5,3]上,f(x)max=f(3)=4. 故选 D. 2 2 2 2 6、解析:将方程 x +ax+b=0 看作以(a,b)为动点的直线 l:xa+b+x =0 的方程,则 a +b 的几何意义为 l 上的 2 2 2 点(a,b)到原点 O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离 d 的最小性知 a +b ≥d =

(

0 + 0 + x2 x2 +1

)2 =

x4 1 = ( x 2 + 1) + 2 ? 2 (x≥2), 2 x +1 x +1

令 u=x +1,易知 f (u ) = u +
2

1 16 ? 2 (u≥5)在[5,+∞)上单调递增,则 f(u)≥f(5)= , u 5

∴a +b 的最小值为

2

2

16 .故选 B. 5

7、解析:f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-9|+|x-10|+|x-11|+…+|x-18|+|x-19|, 由|a-b|≤|a|+|b|(当且仅当 a·b≤0 时取等号), 得|x-1|+|x-19|≥|x-1-x+19|=18, |x-2|+|x-18|≥|x-2-x+18|=16,… |x-9|+|x-11|≥|x-9-x+11|=2, |x-10|≥0. 上面各式当 x=10 时同时取等号, ∴f(x)最小值为 18+16+…+2+0=

10 × (18 + 0) = 90 . 答案:C 2 1 1 8、解:由 a>1 知 f(x)为增函数,所以 loga2a-logaa= ,即 loga2= ,解得 a=4.所以选 D. 2 2
9、解析:∵ 解析: 解析 ∴a +b =

a2 b2 + = 1 ,故令 a = 6 cos α , b = 3 sin α , 6 3
6 cos α + 3 sin α = 3 sin(α + ? ) .

∴a+b 的最小值为-3. 答案:C 2 2 2 10、解析:令 x=2cosθ,y=bsinθ,则 x +2y=4cos θ+2bsinθ=-4sin θ+2bsinθ+4= -4( sin θ ?
2

b 2 b2 b b2 b b 2 ) +4+ ;当 <1 即 0<b<4 时,x +2y 取最大值 4 + ,此时 sin θ = ;当 ≥ 1 即 b≥4 4 4 4 4 4 4

时,x +2y 的最大值为 2b,此时 sinθ=1.故选 A. 11、解析:如右图所示,函数 y=max{|x+1|,|x-2|}的图象为图中实线部分, 解析: 解析

∴max{|x+1|,|x-2|}的最小值为 12、解析:由题意 1?k = 解析: 解析 ∴ f ( x) =

3 3 . 答案: 2 2

k + 1 + k = 3 ,解得 k=1,

x +1+ x . x + 1 在[0,+∞)上递增,

而 f ( x) = x +

∴f(x)≥1. 答案:[1,+∞) 13、解析:∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9], ∴y=[f(x)] +f(x )的定义域为 ?
2 2

?1 ≤ x ≤ 9,
2 ?1 ≤ x ≤ 9.

解得 1≤x≤3,即定义域为[1,3]. ∴0≤log3x≤1. 2 2 又 y=[f(x)] +f(x ) 2 2 =(2+log3x) +2+log3x 2 =(log3x) +6log3x+6 2 =(log3x+3) -3, ∵0≤log3x≤1, ∴6≤y≤13. 故函数的值域为[6,13]. 答案:[6,13] 14、解析:如图作出可行域,易知将直线 DE:2x+y=0 平移至点 A(2,1)时目标函数 z=2x+y 取得最小值,

y 表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从 GH 绕原点逆时针方向转动到 x y 1 1 AB 位置,斜率变得越来越大,故-1=kGH< ≤kAB= . 答案:5 (-1, ] x 2 2
即 zmin=2×2+1=5, 15、解:(1)y=x -4x+6=(x-2) +2, ∵x∈[1,5), ∴由图象知函数的值域为{y|2≤y<11}.
2 2

(2) y =

5x ? 1 4x + 2

5 5 ( 4 x + 2) ? 1 ? 2 =4 4x + 2 5 7 ( 4 x + 2) ? 2 =4 4x + 2


5 7 ? . 4 2( 4 x + 2)



7 ≠0, 2( 4 x + 2)
5 . 4 5 }. 4

∴y≠

∴函数的值域为{y∈R|y≠
2

(3)令 x ? 1 = t ,则 x=t +1(t≥0), ∴y=2(t +1)-t=2t -t+2=2( t ?
2 2

1 2 15 )+ . 4 8

∵t≥0, ∴y≥

15 . 8 15 ,+∞). 8
2

∴函数的值域是[

16、解:(1)根据导数的几何意义知 f(x)=g′(x)=x +ax-b, 解 2 由已知-2、4 是方程 x +ax-b=0 的两个实数, 由韦达定理, ?

?? 2 + 4 = ? a , ? ? 2 × 4 = ? b,

∴?

?a = ?2, 2 f(x)=x -2x-8. b = 8, ?

(2)g(x)在区间[-1,3]上是单调减函数, 2 ∴在[-1,3]区间上恒有 f(x)=g′(x)=x +ax-b≤0, 2 即 f(x)=x +ax-b≤0 在[-1,3]上恒成立, 这只需满足 ?

? f (?1) ≤ 0, ?a + b ≥ 1, 即可,也即 ? ? f (3) ≤ 0 ?b ? 3a ≥ 9, ?a + b ≥ 1, 内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,∴当 ?b ? 3a ≥ 9,

而 a +b 可视为平面区域 ?

2

2

?a = ?2, 2 2 时,a +b 有最小值 13. ? b=3 ?
【拓展练习】 拓展练习】 1、函数 y =

x2 ?1 的值域是( x2 +1

) (

) C. (-1,1] D. (-1,1) ) ( )

A.[-1,1] 2、若函数 A.3

B.[-1,1)

1 f ( x) = ( x ? 1) 2 + 1 的定义域和值域都是 [1, b], (b > 1) ,则 b 的值为( 2
B.4 C.5 D.6

3、已知定义在闭区间[0,a]上的函数 y=x -2x+3,若 y 的最大值是 3,最小值是 2,则 a 的取值范围 是 . ( ) 2 5、函数 y=x -2x+a 在[0,3]上的最小值是 4,则 a= ;若最大值是 4,则 a= . 6、已知函数 y = A.p ? Q

2

x+3 x 2 ? 9 的值域分别是集合 P、Q,则( ,y= 2 x?4 x ? 7 x + 12
B.P=Q C.P ? Q ) (

) (

) (根判别法)

D.以上答案都不对 ) (配方法) D.[- 2 , 2 ] )

7、函数 y = 2 ? ? x 2 + 4 x ( x ∈ [0,4]) 的值域是( A.[0,2] 8、若函数 f ( x ) = A. [ 1 ,3]
3

B.[1,2]

C.[-2,2]

3x ? 1 的值域是{ y | y ≤ 0} ∪ { y | y ≥ 4}, 则f ( x) 的定义域是( x ?1
B. [ 1 ,1) ∪ (1,3]
3

C. ( ?∞, 1 ]或[3,+∞)
3

D.[3,+∞ )

9、求下列函数的值域: ①y=

3x + 5 ( x > 1) 5x ? 3

②y=|x+5|+|x-6| ⑤y=

③y = 4?

? x2 + x + 2

④ y = x + 1 ? 2x

x x ? 2x + 4
2

10、设函数 f ( x ) = x + x ?
2

1 . 4

(Ⅰ)若定义域限制为[0,3],求 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若定义域限制为 [ a, a + 1] 时, f ( x ) 的值域为 [ ? 11、若函数 f ( x ) =

1 1 , ] ,求 a 的值. 2 16

x 2 + ax ? 2 的值域为[-2,2],求 a 的值. x2 ? x +1

一、选择题 x 1.若函数 y=2 的定义域是 P={1,2,3},则该函数的值域是 A.{2,4,6} B.{2,4,8} D.{1,2,log23} C.{1,2,log32} 2.定义在 R 上的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则 y=f(x+1)的值域为 A.[a,b] B.[a+1,b+1] C.[a-1,b-1] D.无法确定 3.函数 y=

(

)

(

)

x (x>0)的值域是 x2+x+1

(

)

A.(0,+∞)

1 B.(0, ) 3 1 1 C.(0, ] D.[ ,+∞) 3 3 2 4.函数 y=x -2x+3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2]

)

1 1 5.若函数 y=f(x)的值域是[ ,3],则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( ) 2 f(x) 1 10 A.[ ,3] B.[2, ] 2 3 5 10 10 D.[3, ] C.[ , ] 2 3 3 x 6.(2009·海南/宁夏高考)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2 ,x+2,10 -x}(x≥0),则 f(x)的最大值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 2x-5 7.函数 y= 的值域是{y|y≤0 或 y≥4},则此函数的定义域为__________. x-3 3 4 8.已知 f(x)的值域是[ , ],g(x)=f(x)+ 1-2f(x),则 y=g(x)的值域是__________. 8 9 9.函数 f(x)= x -2x+2 x -5x+4的最小值为__________. 10.(2009·泉州质检)在实数的运算法则中,我们补充定义一种新运算“““如下:当 a≥b 时,a“b=a; 2 当 a<b 时,a“b=b ;则函数 f(x)=(1“x)·x-(2“x),(x∈[-2,2])的最大值是__________. 【答案】 答案】 x x x 1、解析:由题意得,当 x=1 时,2 =2,当 x=2 时,2 =4,当 x=3 时,2 =8,即函数的值域为{2,4,8}, 故应选 B. 答案:B 2、解析:∵函数 y=f(x+1)的图象是由函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位得到的,其值域不改变, ∴其值域仍为 [a,b],故应选 A. 答案:A x x 1 1 1 1 3、 解析: y= 2 由 (x>0)得 0<y= 2 = ≤ = , 因此该函数的值域是(0, ], x +x+1 x +x+1 1 3 3 1 x+ +1 2 x· +1 x
2 2

x

选 C. 4、解析:x=1 时,y 取最小值 2;令 y=3,得 x=0 或 x=2.故 1≤m≤2. 答案:D 1 1 5、解析:令 t=f(x),则 t∈[ ,3],F(t)=t+ ,根据其图象可 2 t 当 t=1 时,F(x)min=F(t)min=F(1)=2; 10 当 t=3 时,F(x)max=F(t)max=F(3)= , 3 10 故其值域为[2, ]. 答案:B 3 x 6、解析:令 2 =x+2?x1<0(舍)或 x2=2, x x 令 2 =10-x 即 2 +x=10,则 2<x<3. 则可知 f(x)的大致图象如图 2 所示. 故 f(x)≤6,即选 C. 答案:C 2x-5 1 7、解析:y= =2+ , x-3 x-3 1 1 即 ≤-2 或 ≥2, x-3 x-3 1 5 由 ≤-2? ≤x<3, x-3 2 7 5 7 1 ≥2?3<x≤ . 答案:[ ,3)∪(3, ] 由 x-3 2 2 2

知:

3 4 3 8 8、解析:∵f(x)∈[ , ],则 2f(x)∈[ , ], 8 9 4 9 1 1 1-2f(x)∈[ , ]. 9 4 1 1 令 t= 1-2f(x)∈[ , ], 3 2 2 2 1-t 1-t 则 f(x)= ,g(x)= + t, 2 2 2 -t +2t+1 ,对称轴 t=1, 即 g(x)= 2 1 1 7 7 7 7 g(x)在 t∈[ , ]上单调递增,g(x)∈[ , ].答案:[ , ] 3 2 9 8 9 8
?x -2x≥0 ? 9、解析:由? 2 ? ?x -5x+4≥0
2

??

?x≥2或x≤0, ? ? ?x≥4或x≤1,

∴x≥4 或 x≤0. 又 x∈[4, +∞)时, (x)单调递增?f(x)≥f(4)=1+2 2; x∈(-∞, f 而 0]时, (x)单调递减?f(x)≥f(0) f =0+4=4. 故最小值为 1+2 2. 答案:1+2 2 10、解析:

拓展练习】 【拓展练习】 一、选择题 2 ( 1.函数 y=x -2x 的定 义域为{ 0,1,2,3},那么其值域为 A. {-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 2 2 2.若函数 f(x)=(a -2a-3)x +(a-3)x+1 的定义域和值域都为 R,则 a 的取值范围是( A.a=-1 或 a=3 B.a=-1 C.a=3 D.a 不存 在 3.已知函数 f(x)=lg(4-x)的定义域为 M,g(x)= 0.5 -4的定义域为 N,则 M∩N=( A.M B.N C.{x|2≤x<4} D.{x|-2≤x<4} 2 -x -3x+4 4.(2009·江西高考)函数 y= 的定义域为 (
x

)

)

) )

x

B.[-4,0) C.(0,1] D.[-4,0)∪(0,1] 1 1 的值域是 ( ) 5.若函数 f(x)的值域为[ ,3],则函数 F(x)=f(x)+ 2 f(x) 1 10 5 10 10 A.[ ,3] B.[2, ] C.[ , ] D.[3, ] 2 3 2 2 3 6.(2010·南通模拟)若函数 y=f(x)的值域是[1,3],则函数 F(x)=1-2f(x+3)的值域是( A.[-5,-1] B.[-2,0] C.[-6,-2] D.[1,3] 二、填空题 ln(2+x-x ) 7.函数 f(x)= 的定义域为 |x|-x 8.函数的值域:y= -x -6x-5为
2 2

A.[-4,1]

)

. .

4 9.已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b) |x|+2 共有 个. 三、解答题 10.求下列关于 x 的函数的定义域和值域: (1)y= 1-x- x; 2 (2)y=log2(-x +2x); (3)

【答案】 2 1、解析:把 x=0,1,2,3 分别代入 y=x -2x, 即 y=0,-1,3. 答案:A

? a 2 ? 2a ? 3 = 0 2、解析:依题意应有 ? , 解得a = ?1. ?a ? 3 ≠ 0
3、解析:M={x|4-x>0}={x|x<4}, N={x|0.5x-4≥0}={x|x≤-2}, 则 M∩N=N. 答案:B 2 -x -3x+4 4、解析:要使 y= 有意义,

答案: B

x

只要 ?

? ? x ? 3 x + 4 ≥ 0, ?x ≠ 0
2

所以所求定义域为[-4,0)∪(0,1]. 答案:D 2 1 1 1 1 t -1 5、解析:令 f(x)=t ,t∈[ ,3],问题转化为求函数 y=t+ 在[ ,3]的值域.又 y′=1- 2= 2 ,当 2 t 2 t t 1 1 1 t∈[ ,1],y′≤0,y=t+ 为减函数, 在[1,3],y′≥0,y=t+ 在[1,3]上为增函数,故 t=1 时 ymin 2 t t 10 =2,t=3 时 y= 为最大. 3 1 1 10 ∴y=t+ ,t∈[ ,3]的值域为[2, ]. 答案:B t 2 3 6、解析:∵1≤f(x)≤3,∴1≤f(x+3)≤3, ∴-6≤-2f(x+3)≤-2,∴-5≤F(x)≤-1. 答案:A 7、解析:由 ?

? 2 + x ? x 2 > 0, ? ?1 < x < 2, ? 解得 ? ? x ? x ≠ 0, ? x < 0, ?

即-1<x<0.状元源:(-1,0) 2 2 8、解析:设 μ=-x -6x-5(μ≥0),则原 函数可化为 y= μ.又∵μ=-x -6x-5= 2 -(x+3) +4≤4, ∴0≤μ≤4,故 μ∈[0,2], 2 ∴y= -x -6x-5的值域为[0,2]. 答案:[0,2] 4 4 9、解析:由 0≤ -1≤1,即 1≤ ≤2 得 0≤|x|≤2,满足整数数对的有(-2,0), |x|+2 |x|+2 (-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共 5 个. 答案:5

10、解: (1)要使函数有意义,则 ?

?1 ? x ≥ 0, ∴0 ≤ x ≤ 1 ? x ≥ 0,

函数的定义域为[0,1].[来源:学科网] ∵函数 y= 1-x- x为减函数, ∴函数的值域为[-1,1]. 2 (2)要使 函数有意义,则-x +2x>0,∴0<x<2. ∴函数的定义域为(0,2). 2 又∵当 x∈(0,2)时,-x +2x∈(0,1], 2 ∴log2(-x +2x)∈(-∞,0]. 即函数的值域为(-∞,0]. (3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}, 函数值域为{2,3,4,5,6,7}.


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