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1.2类比推理


§1.2 类比推理 一、学习目标: 1、结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; 2、能利用类比进行简单的推理; 3、体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

姓名

二、 学习过程
(一)复习:归纳推理的定义、特征及其步骤。 定义:根据一类事物中 具有某种属性,推断该类事物中 们将这种推理方式称为归纳推理。 特征:归纳推理是由部分到整体,从个别(特殊)到一般的推理 。 步骤: 具体材料 个别 ↓ (特殊) 部分 ↓ 实验、观察、分析、概括、推广 ↓ 一般 整体 ↓ 猜想出 的结论 都具有这种属性。我

(二)引入: 春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅 草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的:茅草是齿形的;茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具;它也可以是齿形的. 思考:这个推理过程是归纳推理吗? 火星是否存在生命? 地球 行星、围绕太阳运行、绕轴自转 有大气层 一年中有四季的变更 温度适合生物的生存 有生命存在 类比等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (2) a=b? ac=bc; (3) a=b?a2=b2;等等。 火星 行星、围绕太阳运行、绕轴自转 有大气层 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 可能有生命存在

猜想不等式的基本性质 (1) (2) (3) ; ; 。 思考: 这样猜想出的结论 是否一定正确?

(三)阅读课本 P5~P6 ,然后思考、回答以下问题: 1、平面图形与空间图形哪些元素可以类比? 平面图形 点 线 圆 三角形 线线角 空间图形 线 面 球 四面体 二面角 平面图形 周长 面积 边的对角 边长 …
1

空间图形 表面积 体积 面的对角 面积 …

2、类比推理 定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类 对象也_____________________,这种推理方式称为类比推理(简称类比). 特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类 比出新的结果. ②类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类事物特征之间的推理. ③利用类比推理得出的结论不一定是正确的.一般地,如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质 与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠. 类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想). 类比推理的一般思维过程: 观察、比较



联想、类推



猜想新结论

归纳推理和类比推理的过程 从具体问题出发

联想、类推

→ 观察、分析、比较、联想
联想、类推



归纳、类比



提出猜想

归纳推理

联想、类推

联想、类推

合情推理 类比推理

思考:我 我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”.你是否想过“等和数列”、“等积数列” ? 从第二项起,每一项与其前一项的差等于一个常数的数列是等差数列. ↓类推 等和数列: ; 等积数列: 。 课堂效果检测 1.如图是 2015 年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个 呈现出来的图形是( )

2.下面类比推理中恰当的是(

)

A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类比推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(a· b)c=ac· bc” a+b a b C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“ c =c +c (c≠0)”
2

D.“(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn” 3.下列平面图形中,与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适的是( A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 )

D.矩形 T20 T30 T40 , , 也成等比数列,且公 T10 T20 T30

4. 在公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则有

比为 4100.类比上述结论,相应地,在公差为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和,可类比得到 的结论是_____ 5. 如图所示,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且 SA, SB,SC 和底面 ABC 所成的角分别为 α1,α2,α3,三侧面△SBC,△SAC, △SAB 的面积分别为 S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情 形的一个猜想:________(不需要证明). .

学业水平达标 1.观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( A. C. 2.下面几种推理是合情推理的是( ) B.△ D.○ )

①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°, 归纳出所有三角形的内角和都是 180°; ③教室内有一把椅子坏了, 则猜想该教室内的所有椅子都坏了; ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得出凸 n 边形的内角和 是(n-2)· 180°(n∈N*,且 n≥3). A.① C.①②④ B.①③④ D.②④

3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间内, 若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为( A.1∶2 C.1∶8 B.1∶4 D.1∶16 )

4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间结论: ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;③垂直于同 一条直线的两个平面互相平行;④垂直于同一平面的两个平面互相平行,则其中正确的结论是( A.①② C.③④ B.②③ D.①④ )

-2 2 6 5 3 7 1 10 5.观察下列各等式: + =2, + =2, + =2, + =2,依照 2-4 6-4 5-4 3-4 7-4 1-4 10-4 -2-4
3

以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( 8-n n A. + =2 n-4 (8-n)-4 n+4 n C. + =2 n-4 (n+4)-4 6.观察下列等式

) n+ 1 (n+1)+5 B. + =2 (n+1)-4 (n+1)-4 n+ 1 n+5 D. + =2 (n+1)-4 (n+5)-4

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第 n 个等式为________. 7.我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆中,圆的面 积最大,将这些结论类比到空间,可以得到的结论是_______________________. 8.如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图(乙) 的一连串直角三角形演化而成的,其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图(乙)中的直角三角形 依此规律继续作下去,记 OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列{an}的通项公式为 an =__________.

9.在平面内观察:凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,凸六边形有 9 条对角线,…, 由此猜想凸 n 边形有几条对角线?

10.已知 f(x)= 并证明你的结论.

1 ,分别求 f(0)+f(1) ,f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论, 3+ 3
x

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ). ).

※ 组长或教师评价 该同学(学生)完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
4

学业水平达标答案 1.解析:选 A 观察可发现规律:①每行、每列中,方、圆、三角三种形状均各出现一次,②每行、 每列有两阴影一空白,即得结果. 2.解析:选 C ①是类比推理;②④是归纳推理,∴①②④都是合情推理. 3.解析:选 C 由平面和空间的知识,可知面积之比与边长之比成平方关系,在空间中体积之比与 棱长之比成立方关系,故若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积之比为 1∶8. 4.解析:选 B 根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知,②③是正确的结论. 5.解析:选 A 观察发现:每个等式的右边均为 2,左边是两个分数相加,分子之和等于 8,分母中 被减数与分子相同,减数都是 4,因此只有 A 正确. 6.解析:观察所给等式,等式左边第一个加数与行数相同,加数的个数为 2n-1,故第 n 行等式左 边的数依次是 n,n+1,n+2,…,(3n-2);每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方,从而第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 7.解析:平面图形与立体图形的类比:周长→表面积,正方形→正方体,面积→体积,矩形→长方 体,圆→球. 8.解析:根据 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1 和图(乙)中的各直角三角形,由勾股定理,可得 a1 =OA1=1,a2=OA2= 故可归纳推测出 an= n. 答案: n 9.解:因为凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,比凸四边形多 3 条;凸六边形有 9 条 对角线,比凸五边形多 4 条,…,于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸(n-1)边形多(n-2)条对角线, 1 由此凸 n 边形的对角线条数为 2+3+4+5+…+(n-2),由等差数列求和公式可得 n(n-3)(n≥4,n∈ 2 N*). 1 所以凸 n 边形的对角线条数为 n(n-3)(n≥4,n∈N*). 2 10.解: f(x)= 1 1 1 3 1 1 3 , 所以 f(0)+f(1)= 0 + 1 = , f(-1)+f(2)= 1 + 2 = , 3 3 - 3+ 3 3+ 3 3+ 3 3 + 3 3+ 3
x 2 OA2 1+A1A2=

12+12= 2,a3=OA3=

2 OA2 2+A2A3=

( 2)2+12= 3,…,

1 1 3 f(-2)+f(3)= 2 + 3 = . 3 - 3 + 3 3+ 3

归纳猜想一般性结论;f(-x)+f(x+1)=

3 . 3

5

证明如下:f(-x)+f(x+1)=

1 3-x+

1 + x 1 + 3 3 + 3



3x 3· 3x 1 1 + = + x 1 x x+1 x+1 + 1+ 3· 3 3 + 3 3+3 3 + 3 3· 3x+1 = 3· 3 x+ 1 3(1+ 3· 3)
x



3+3x+1



3 . 3

6



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