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【名师一号】2015年新课标A版高中数学必修五课件:3-3-二元一次不等式与简单的线性规划问题1_图文

第三章

不等式

§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

自 学 导 引 1.了解二元一次不等式的几何意义. 2.会画二元一次不等式表示的平面区域.

课 前 热 身 1.二元一次不等式. 含有________个未知数,且含有未知数的项的次数最高为 ________的不等式称为二元一次不等式. 2.二元一次不等式组. 由几个________组成的不等式组称为二元一次不等式组.

3.二元一次不等式(组)的解集. 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x, y),所有这样的________数对________构成的________称为二元 一次不等式(组)的解集.有序实数对可以看成直角坐标平面内点 的________,于是,二元一次不等式(组)的________就可以看成 直角坐标平面内的点构成的集合.

4.平面区域. 一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+ C>0 表示直线________某一侧所有点组成的平面区域,直线 Ax +By+C=0 称为这个平面区域的________.这时,在平面直角 坐标系中,把直线 Ax+By+C=0 画成________,以表示不含边 界;而不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边界 画成____________.

自 1.两 一 我 校 对 2.二元一次不等式 3.有序 (x,y) 集合 坐标 解集

4.Ax+By+C=0 边界 虚线 实线

名 师 讲 解 1.二元一次不等式表示的平面区域 含有两个未知数,并且未知数的次数都是一次的不等式叫 做二元一次不等式.使不等式成立的未知数的值叫做它的解.3x -2y+1>0 就是一个二元一次不等式, 它的解是一些数对(x, y), 因此,它的解集不能用数轴上一个区间表示,而应是平面上的 一个区域.

2.二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元一次不等式 表示的平面区域的公共部分.

3.二元一次不等式表示平面区域的判断方法 (1)由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),实 数 Ax+By+C 的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一个 特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.当 C≠0 时,常把原点作为此特殊 点.如果特殊点(x0,y0)使 Ax0+By0+C>0,则 Ax+By+C>0 的 平面区域是含点(x0,y0)的区域,则不含点(x0,y0)的区域为 Ax+ By+C<0 表示的区域. 当 C=0 时, 常取(0,1)或(1,0)作为测试点.

(2)一般地, 二元一次不等式 Ax+By+C>0, 或 Ax+By+C<0 在平面直角坐标系内表示直线 l: Ax+By+C=0 某一侧的所有点 组成的平面区域.在直线 l 外任取两点 P(x1,y1),Q(x2,y2),若 P, Q 在 l 的同一侧, 则 Ax1+By1+C 与 Ax2+By2+C 同号; 若 P, Q 在 l 异侧,则 Ax1+By1+C 与 Ax2+By2+C 异号.这个规律可 概括为“同侧同号,异侧异号”.利用这个规律,只要在直线 l 的某一侧取一个点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的正负,就可知 Ax +By+C>0 表示直线 l 哪一侧的平面区域.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通



典 例 剖 析 二元一次不等式表示的平面区域
画出下列不等式表示的平面区域.

【例 1】

(1)2x+y-10<0; (2)y≤-2x+3. 【分析】 先在直角坐标系内作出二元一次不等式对应的

直线,然后取特殊点,判断不等式所表示的平面区域.

【解】

(1)先画出直线2x+y-10=0(画成虚线),取点

(0,0),代入2x+y-10,有2×0+0-10=-10<0, ∴2x+y-10<0表示的区域是直线2x+y-10=0的左下方的 平面区域,如图①所示.

(2)将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0,首先画出直线2x+y -3=0(画成实线),取点(0,0),代入2x+y-3,有2×0+0-3= -3<0,∴2x+y-3<0表示的平面区域是直线2x+y-3=0的左 下方的平面区域. ∴2x+y-3≤0表示的区域是直线2x+y-3=0以及左下方 的平面区域,如图②所示.

规律技巧

对于不是标准形式的二元一次不等式,要作出

它所表示的平面区域,可以先把它化为标准形式,再作图,?如 本题②的解答?也可以直接作出,如本题②中先作出直线y=- 2x+3,再将原点?0,0?代入y≤-2x+3中适合,于是含有原点 的区域即为不等式y≤-2x+3所表示的区域.



二元一次不等式组表示的平面区域

? ?x<3, ?2y≥x, 【例2】 用平面区域表示不等式组 ? ?3x+2y≥6, ? ?3y<x+9 集.

的解

【解】

不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合,不等式

2y≥x即x-2y≤0表示直线x-2y=0上及左上方点的集合.不等 式3x+2y≥6,即3x+2y-6≥0表示直线 3x+2y-6=0上及右

上方点的集合.不等式3y<x+9,即x-3y+9>0表示直线x-3y +9=0右下方点的集合.综上,可得不等式组表示的平面区域 是如上图所示的阴影部分. 规律技巧 要想求出不等式组的解集我们要知道每一个二

元一次不等式的解集是什么,最后求出其公共部分,将公共部 分表示出来,此公共部分即为所求的不等式组的解集.



求平面区域的面积

【例3】

?x-y+5≥0, ? 画出不等式组 ?x+y≥0, ?x≤3 ?

表示的平面区

域,并回答下列问题: (1)指出x,y的取值范围; (2)求平面区域的面积.

【解】 (1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右 下方点的集合. x+y≥0表示直线上及右上方的点的集合.x≤3表示直线x =3上及左方的点的集合,所以不等式组 ?x-y+5≥0, ? ?x+y≥0, ?x≤3 ?

表示的平面区域如图所示.

? 5 ? 由图中阴影部分,可得x∈?-2,3?,y∈[-3,8]. ? ?

(2)平面区域是以 形.

? 5 5? ?- , ? ? 2 2?

,(3,-3),(3,8)为顶点的三角

? 5? 121 1 所以面积为S=2×(8+3)×?3+2?= 4 . ? ?

易错探究 画出二元一次不等式5x-2y+10<0表示的区域. 【错解】 作出直线5x-2y+10=0, 代入点(0,0)知,点(0,0)不在5x-2y+10<0的区域内,所以 5x-2y+10<0表示的区域不包括含(0,0)点的一侧.如图.

【错因分析】 界.

不等式5x-2y+10<0表示的区域不包括边

【正解】 边界应画成虚线

随堂训练 ?x≥0, ? 1.不等式组 ?x+3y≤4 ?3x+y≥4 ? ( ) 3 A.2 2 B.3 4 C.3 3 D.4

,所表示的平面区域的面积等于

解析 三角形.

不等式组表示的平面区域如图所示,该区域是一个

1 4 4 面积S=2×(4-3)×1=3.

答案 C

2.在平面直角坐标系中,若不等式组

?x+y-1≥0, ? ?x-1≤0, ?ax-y+1≥0 ? )

(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( A.-5 B.1 C.2 D.3

解析 由题意,知不等式组表示的平面区域为一个三角形 区域.

设为△ABC,则A(1,0),B(1,a+1),C(0,1). 1 S=2×(a+1)×1=2,∴a=3.

答案

D

?x≤0, ? 3.若A为不等式组?y≥0, ?y-x≤2 ?

表示的平面区域,则当a从-

2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积 为( ) 3 A. 4 B.1 7 C. 4 D.2

解析 如图所示,直线x+y=a扫过的区域为四边形AOBC.

1 1 2 2 7 ∴S四边形AOBC=S△AOD-S△BCD= ×2×2- × × = . 2 2 2 2 4

答案

C

?-x+2y-4≤0, ? 4.画出不等式组?x+3>0, ?y+1>0 ?

表示的平面区域.



不等式-x+2y-4≤0即x-2y+4≥0表示直线x-2y+

4=0上及右下方的点的集合.不等式x+3>0表示直线x=-3右 侧(不含边界)的点的集合.不等式y+1>0表示直线y+1=0,即y =-1上方(不含边界)的点的集合.综上,可得原不等式组表示 的平面区域为如图所表示的阴影部分.



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