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2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质一导学案新人教A版选修.doc

2019-2020 学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单 几何性质一导学案新人教 A 版选修
【自主学习】阅读课本 P-P 内容,完成导学案自主学习内容. 一.学习目标 1.熟练掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等) 2.掌握标准方程中 a, b, c 的几何意义,以及 a, b, c, e 的相互关系 3. 能利用双曲线的几何性质解决相关的问题 二.自主学习 双曲线的简单几何性质

定义

1. 到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长( ? F1F2 )的点的轨迹

2. 到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e ( ? 1 )的点的轨迹

标准方程

y

y

简图
O

P
O

F2

x

x

F1

P

焦点坐标

顶点 几何性质 范围

渐近线方程

对称性

关于 x , y 轴均对称,关于原点中心对称;

离心率

a, b, c 的关系
注:等轴双曲线:

c ? a 2 ? b2
,这样的双曲线叫做等轴双曲线.
2

结合图形说明: a=b 时,双曲线方程变成 x2 ? y 2 ? a2 ( 或 b ) ,它的实轴和虚轴都等于 2a(2b),这时直线围成正方形,渐近线方程为 y ? ? x 和虚轴所成的角. 它们互相垂直且平分双曲线的实轴

三.自主检测 1.求双曲线 9 y 2 ? 16x 2 ? 144 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐 近线方程,并作出草图 2.顶点在 x 轴上,两顶点间的距离为 8, e ?

5 的双曲线的标准方程为( 4
(D) x ? y ? 1
25 16
2 2



2 2 2 2 x2 y 2 (A) x ? y ? 1 (B) x ? y ? 1 (C) ? ?1 9 16 16 9 16 25

3. 设双曲线 程为( )

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方 a2 b2

A y ? ? 2x

B y ? ?2 x

C y??

2 x 2

Dy??

1 x 2

答案:1.顶点坐标: ? 0,4? , ? 0, ?4? ;焦点坐标: ? 0,5? , ? 0, ?5? ;实半轴长:4;虚半轴:3; 离心率: 2.A;

5 4 ;渐近线方程: y ? ? x 4 3
3.C

§2.2.2 双曲线的简单几何性质(一)

【课堂检测】 1. 等轴双曲线的离心率为 ;等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 .

2. 求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上;

(2)离心率 e ?

2 ,经过点 M(-5, 3);

3. 下列各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是( ) (A)

y2 x2 x2 2 -y =1 和 =1 9 3 3
x2 y2 2 =1 和 x =1 3 3

(B)

x x2 2 2 -y =1 和 y =1 3 3
2

2

(C)y -

2

(D)

x x2 2 y2 -y =1 和 =1 9 3 3

【拓展探究】 探究一:双曲线的渐近线方程为 4 y ? ?3x ,求双曲线的标准方程及离心率 e 的值。

探究二:已知 F1、F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左右两个焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双 a 2 b2

曲线的左支交于 A、B ,若 ?ABF2 是正三角形,求离心率 e 的值。

【当堂训练】 1.双曲线 16x ―9y =―144 的实轴长、虚轴长、离心率分别为( )
2 2

A.4, 3,

1 4

7

B.8, 6,

1 4

7

C.8, 6,

5 4

D.4, 3,

5 4

2.求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)与

5 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e= 49 24 4,
2 2 2 2

(2)以 5x +8y =40 的焦点为顶点,且以 5x +8y =40 的顶点为焦点,

(3)与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且一顶点为(0,9). 3 6

3. 双曲线的虚轴的一个端点为 M , 两个焦点为 F1、F2 ,?F 求离心率 e 的值。 1MF 2 ? 120 ,

小结与反馈: 1. 双曲线的性质与椭圆相比,多了两条渐近线,双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线方程是 a 2 b2

y??

b x. a

2. 注意数形结合思想的应用 【课后拓展】 1. 与 双 曲 线 是 2、过(1,1)点且

x2 y 2 ? ? 1 有 共 同 的 渐 近 线 , 且 过 点 M (?3, 2 3) 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 9 16


b ? 2 的双曲线的标准方程是 a



3、与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点的等轴双曲线的标准方程为为 16 64



4、双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2 倍,且一个顶点的坐标为 (0, 2) ,则双曲 线的标准方程为 。 ( )

x2 y2 ? 5.若方程 =1 表示双曲线,其中 a 为负常数,则 k 的取值范围是 3k ? a 4k ? a
A.(

a a ,- ) 3 4

B.(

a a ,- ) 4 3

C.(-

a a , ) 3 4

D.(-∞,

a a )∪(- ,+∞) 3 4



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