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第1课时 用树状图或表格求概率第1课时 用树状图或表格求概率教案北师大版九年级上册数学 第1课时

教学目标:

第三章 概率的进一步认识
3.1 用树状图或表格求概率
第 1 课时 用树状图或表格求概率

知识与技能目标:学习用列表法、画树形图法计算概率,并通过比较概率大小作出合理的决策。 过程与方法目标:经历实验、列表、统计、运算、设计等活动,学生在具体情境中分析事件,计算其发生 的概率。渗透数形结合,分类讨论,由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力。 情感与态度目标:通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的 应用价值,培养积极思维的学习习惯。
教学重点:习运用列表法或树形图法计算事件的概率。 教学难点:能根据不同情况选择恰当的方法进行列举,解决较复杂事件概率的计算问题。 教学过程 1.创设情景,发现新知 例:同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率: (1) 两个骰子的点数相同; (2) 两个骰子的点数的和是 9; (3) 至少有一个骰子的点数为 2。 这个例题难度较大,事件可能出现的结果有 36 种。若首先就拿这个例题给学生讲解,大多数学生理 解起来会比较困难。所以在这里,我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏(前一课已有例 2作基础)。 (1)创设情景 引例:为活跃联欢晚会的气氛,组织者设计了以下转盘游戏:A、B 两个带指针的转盘分别被分成三个 面积相等的扇形,转盘 A 上的数字分别是 1,6,8,转盘 B 上的数字分别是 4,5,7(两个转盘除表面数 字不同外,其他完全相同)。每次选择 2 名同学分别拨动 A、B 两个转盘上的指针,使之产生旋转,指针停 止后所指数字较大的一方为获胜者,负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上,则重转一次)。 作为游戏者,你会选择哪个装置呢?并请说明理由。

1 8
6

4
7 5

A

B

【设计意图】 选用这个引例,是基于以下考虑:以贴近学生生活的联欢晚会为背景,创设转盘游戏 引入,能在最短时间内激发学生的兴趣,引起学生高度的注意力,进入情境。
(2)学生分组讨论,探索交流 在这个环节里,首先要求学生分组讨论,探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题,即: “停止转动后,哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢?” 由于事件的随机性,我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画,同学们 会发现这个游戏涉及 A、B 两转盘, 即涉及 2 个因素,与前一课所讲授单转盘概率问题(教材 P148 例 2) 相比,可能产生的结果数目增多了,列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢? 实际上,可以将这个游戏分两步进行。 于是,指导学生构造表格 (3)指导学生构造表格

A

B

4

5

7

1

6

8

首先考虑转动 A 盘:指针可能指向 1,6,8 三个数字中的任意一个,可能出现的结果就会有 3 个。接

着考虑转动 B 盘:当 A 盘指针指向 1 时,B 盘指针可能指向 4、5、7 三个数字中的任意一个,这是列举法

的简单情况。当 A 盘指针指向 6 或 8 时,B 盘指针同样可能指向 4、5、7 三个数字中的任意一个。一共会

产生 9 种不同的结果。

【设计意图】 这样既分散了难点,又激发了学生兴趣,渗透了转化的数学思想。

(4)学生独立填写表格,通过观察与计算,得出结论(即列表法)

A

B4

5

7

1

(1,4)

(1,5)

(1,7)

6

(6,4)

(6,5)

(6,7)

8

(8,4)

(8,5)

(8,7)

从表中可以发现:A 盘数字大于 B 盘数字的结果共有 5 种。

5

4

∴P(A 数较大)= , P(B 数较大)= .

9

9

∴P(A 数较大)> P(B 数较大)

∴选择 A 装置的获胜可能性较大。

在学生填写表格过程中,注意向学生强调数对的有序性。

由于游戏是分两步进行的,我们也可用其他的方法来列举。即先转动A盘,可能出现 1,6,8 三种结

果;第二步考虑转动B盘,可能出现 4,5,7 三种结果。

(5)解法二:

开始

A 装置

1

6

8

B 装置 4 5 7 4 5 7 4 5 7 由图知:可能的结果为: (1,4),(1,5),(1,7),

(6,4),(6,5),(6,7),

(8,4),(8,5),(8,7)。共计 9 种。

5

4

∴P(A 数较大)= , P(B 数较大)= .

9

9

∴P(A 数较大)> P(B 数较大)

∴选择 A 装置的获胜可能性较大。

然后,引导学生对所画图形进行观察:若将图形倒置,你会联想到什么?这个图形很像一棵树,所以 称为树形图(在幻灯片上放映)。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。
【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。 2.自主分析,再探新知 通过引例的分析,学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解,为了帮助学生熟练掌握这两种方 法,我选用了下列两道例题。 例 1:同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率: (1) 两个骰子的点数相同;(2) 两个骰子的点数的和是 9;(3) 至少有一个骰子的点数为 2。

例 1 是教材上一道“掷骰子”的问题,有了引例作基础,学生不难发现:引例涉及两个转盘,这里涉 及两个骰子,实质都是涉及两个因素。于是,学生通过类比列出下列表。

第2个 第1个
1

1 (1,1)

2 (1,2)

3 (1,3)

4 (1,4)

5 (1,5)

6 (1,6)

2

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

由上表可以看出,同时掷两个骰子,可能出现的结果有 36 个,它们出现的可能性相等。由所列表格

可以发现: (1)满足两个骰子的点数相同(记为事件 A)的结果有 6 个,即(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),

61
(5,5),(6,6),所以 P(A)= = 。
36 6
[满足条件的结果在表格的对角线上] (2)满足两个骰子的点数的和是 9(记为事件 B)的结果有 4 个,即(3,6),(4,5),(5,4),(6,

41
3),所以 P(B)= = 。
36 9
[满足条件的结果在(3,6)和(6,3)所在的斜线上]

11
(3)至少有一个骰子的点数为 2(记为事件 C)的结果有 11 个,所以 P(C)= 。
36

[满足条件的结果在数字 2 所在行和 2 所在的列上] 接着,引导学生进行题后小结: 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,通常采用列表法。运用列表法求概率的 步骤如下: ①列表 ;
m ②通过表格计数,确定公式 P(A)= n 中 m 和 n 的值;
m
③利用公式 P(A)= 计算事件的概率。
n

分析到这里,我会问学生:“例 1 题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”,还可以使用列表法来 做吗?”由此引出下一个例题。
例 2: 甲口袋中装有 2 个相同的球,它们分别写有字母 A 和 B;乙口袋中 3 个相同的球,它们分别写 有字母 C、D 和 E;丙口袋中 2 个相同的球,它们分别写有字母 H 和 I。从三个口袋中各随机地取出 1 个球。
(1)取出的三个球上恰好有 1 个、2 个和 3 个元音字母的概率分别为多少? (2)取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少? 例 2 与前面两题比较,有所不同:要从三个袋子里摸球,即涉及到 3 个因素。此时同学们会发现用列 表法就不太方便,可以尝试树形图法。
本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。



A

B



C

D

E

C

D

E



HI HI HI

HI HI HI

从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 12 个,即:

AAAAAA CCDDEE HI HI HI

BBBBBB CCDDEE HI HI HI

(幻灯片上用颜色区分)

这些结果出现的可能性相等。

(1)只有一个元音字母的结果(黄色)有

5

个,即

ACH,ADH,BCI,BDI,BEH,所以

P(一个元音)?

5 12



有两个元音的结果(白色)有 4 个,即 ACI,ADI,AEH,BEI,所以 P(两个元音)

?4 12

?

1

3

全部为元音字母的结果(绿色)只有 1 个,即 AEI

,所以 P(三个元音)

?1 12



(2)全是辅音字母的结果(红色)共有

2

个,即

BCH,BDH,所以 P(三个辅音)

?2 12

?

1 6



通过例 2 的解答,很容易得出题后小结:

当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时,通常采用“画树形图”。运用树形图法

求概率的步骤如下:(幻灯片) ①画树形图 ;

m
②列出结果,确定公式 P(A)= 中 m 和 n 的值;
n m
③利用公式 P(A)= 计算事件概率。
n
接着我向学生提问:到现在为止,我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况? 列表法和画树形 图法求概率有什么优越性?什么时候使用“列表法”方便,什么时候使用“树形图法”更好呢?
【设计意图】 通过对上述问题的思考,可以加深学生对新方法的理解,更好的认识到列表法和画树 形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息,有利于学生根据实际情况选择正确的 方法。
3.应用新知,深化拓展 为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况,提高应用所学知识解决问题的能力,在此我设置了 两道随堂练习。 (1)经过某十字路口的汽车,它可能继续前行,也可能向左或向右,如果这三种可能性大小相同。 三辆汽车经过这个十字路口,求下列事件的概率: ①三辆车全部继续前行; ②两辆车向右转,一辆车向左转; ③至少有两辆车向左转。 [随堂练习(1)是一道与实际生活相关的交通问题,可用树形图法来解决。] (2)在 6 张卡片上分别写有 1——6 的整数,随机地抽取一张后放回,再随机地抽取一张,那么第二 次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少? 通过解答随堂练习(2),学生会发现列出的表格和例 1 的表格完全一样。不同的是:变换了实际背景, 设置的问题也不一样。这时,我提出:我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢? 为了进一步拓展思维,我向学生提出了这样一个问题,供学生课后思考: 在前面的引例中,转盘的游戏规则是不公平的,你能把它改成一个公平的游戏吗? 【设计意图】 以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质,做到举一反三,融会贯通。 4.归纳总结,形成能力 我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内交流,派小组 代表发言。 【设计意图】 通过这个环节,可以提高学生概括能力、表达能力,有助于学生全面地了解自己的学

习过程,感受自己的成长与进步,增强自信,也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依 据。
5.布置作业,巩固提高 考虑到学生的个体差异,为促使每一个学生得到不同的发展,同时促进学生对自己的学习进行反思, 在第五个环节“布置作业,巩固提高”里作如下安排: (1)必做题:教材习题 3.1 3.2 (2)选做题: ①请设计一个游戏,并用列举法计算游戏者获胜的概率。 ②研究性课题:通过调查学校周围道路的交通状况,为交通部门提出合理的建议等。 【设计意图】 通过教学实践作业和社会实践活动,引导学生灵活运用所学知识,让学生把动脑、动口、 动手三者结合起来,启发学生的创造性思维,培养协作精神和科学的态度。



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