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2.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆方程及性质的应用


第2课时 椭圆方程及性质的应用

B2

y

A2
F2 F2 A2 x B1

y





A1

· F1

O B1

B2
x

O F1· A1







x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0 ?

y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b

|x|? a,|y|? b
(c,0)、(?c,0) (?a,0)、(0,?b)

|x|? b,|y|? a (0,c)、(0,?c) (?b,0)、(0,?a)

对称性
焦 顶 点 点

关于x轴、y轴、原点对称

离心率

c e= ( 0 < e < 1 ) a

探究点1 利用椭圆的简单几何性质求椭圆的方程
【例 1】如图,一种电影放映灯泡的反 射镜面是旋转椭圆面 (椭圆绕其对称 轴旋转一周形成的曲面)的一部分. 过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部 分, 灯丝位于椭圆的一个焦点 F1上, 片 门位于另一个焦点 F2上.由椭圆一个 焦点 F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 . 已知 BC ? F1 F2 ,| F1 B |? 2.8cm ,| F1 F2 |? 4.5cm .试建立适当的坐标 系, 求截口BAC 所在椭圆的方程 .

建立上图所示的直角坐标系, 设所求椭圆方程为 解: x2 y2 ? 2 ? 1. 2 a b

在 Rt ? BF1 F2 中,

| F2 B |? | F1 B |2 ? | F1 F2 |2 ? 2.8 2 ? 4.5 2 .

由 椭 圆 的 性 质 知 ,| F1 B | ? | F 2 B |? 2 a , 所 以
1 1 a ? ( | F1 B | ? | F2 B | ) ? 2.8 ? 2.8 2 ? 4.5 2 ? 4.1; 2 2

?

?

b ? a 2 ? c 2 ? 4.1 2 ? 2.25 2 ? 3.4 .
x y 所以 , 所求的椭圆方程为 ? ? 1. 2 2 4.1 3.4
2 2

25 【例2】点M ( x , y )与定点F (4, 0)的距离和它到直线l : x ? 的 4 4 距离的比是常数 ,求点M的轨迹 . 5 25 y 设 d 是点 M 到直线 l : x ? 的距离, 解: l 4 M d H 根据题意,点 M的轨迹就是集合

? MF 4 ? ? ? P ? ?M ? ?, d 5? ? ? ?

O

F

.

x

( x ? 4)2 ? y 2 4 由此得 ? . 25 5 ?x 4

将 上 式 两 边 平 方 , 并 化 简 , 得 9 x 2 ? 25 y 2 ? 225, 2 22 2 x yx y ? ??1. ? 1. 即 25 9 25 9 所以,点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.
【提升总结】 已知椭圆的几何性质,求其标准方程的方法步骤: (1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆方程的形式;

(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数
a ,b ,c ; (3)写出标准方程.

探究点2 直线与椭圆的位置关系 问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?

问题2:怎么判断它们之间的位置关系?

几何法: d>r
代数法: ?<0

d=r
?=0

d<r
?>0

问题3:直线与椭圆有什么样的位置关系呢?

种类:

相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(两个交点)

问题4:直线与椭圆的位置关系如何判定? 代数方法,联立方程
? Ax ? By ? C ? 0, ? 2 2 2 ? m x ? nx ? p ? 0 ( m ? 0 ) 由方程得 ? x y ? 2 ? 2 ?1 b ?a △ = n 2 ? 4m p

△?0

方程组有两解 方程组有一解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△= 0
△?0

方程组无解

【提升总结】 直线与椭圆的位置关系: 1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程,消元得到一元二次方 通法

程(当二次项系数不为0时)
(1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点;

(2)△=0?直线与椭圆相切?有且只有一个
公共点; (3)△<0?直线与椭圆相离?无公共点.

x2 y2 【例 3】已知椭圆 ? ? 1 , 直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 25 9 椭圆上是否存在一点 , 到直线 l 的距离最小 ? 最小距离是 多少?

分析:作出直线l及椭圆(如图), 观察图形,可以发现,利用平行于 直线l且与椭圆只有一个交点的 直线,可以求得相应的最小距离.
l

y
m m

o

x

解:由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭 圆不相交.设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以 写成

4 x ? 5 y ? k ? 0.



? 4 x ? 5 y ? k ? 0, ? 2 由方程组 ? x y2 ? 1, ? ? ? 25 9

消去y,得25 x 2 ? 8kx ? k 2 - 225 ? 0.



令方程②的根的判别式△=0,得

64 k ? 4 ? 25 ( k ? 225 ) ? 0 .
2 2



解方程③,得

k1 ? 25, k2 ? ?25.
由 图 可 知 ,当 k =25 时 ,直 线 m 与 椭 圆 的 交 点 到 直 线 l 的 距 离 最 近 , 此 时 直 线 m 的 方 程 为 4 x -5 y +25=0.
直线 m 与直线 l 间的距离

15 d? ? 41, 42 ? ( ?5)2 41
15 所以最小距离是 41. 41

| 40 ? 25 |

最大的距离

是多少?

d max

65 ? ? 41 42 ? (?5)2 41

40 ? 25

1.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆, 近地点 A 距地面 m 千米,远地点 B 距地面 n 千米,地球 半径为 k 千米,则飞船运行轨道的短轴长为( A ) A.2 (m+k)(n+k) C. m ·n
1 2

B. (m+k)(n+k) D.2mn

2.若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形, 则其离心率为 .

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 3.(2012·四川高考)椭圆 4 3

为F,直线

x ? m 与椭圆相交于点A,B,当 ? F A B
6 ,求椭圆的标准 3

3 的周长最大时,? F A B 的面积是___________. 4.椭圆过(3,0)点,离心率e= 方程.

解析:当椭圆的焦点在 x 轴上时,

c 6 因为 a=3, = ,所以 c= 6, a 3
所以 b2=a2-c2=3.所以椭圆方程为 + =1. 9 3

x2 y2

当椭圆的焦点在 y 轴上时,

c 6 a 2 - b2 6 因为 b=3, = , 所以 = , 所以 a2=27. a 3 a 3
故椭圆的方程为 + =1. 9 27

x2

y2

所以所求椭圆的标准方程为 + =1,或 + =1. 9 3 9 27

x2 y2

x2

y2

阻止你前行的,不是人生道路上的一百 块石头,而是你鞋子里的那一颗石子。


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