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人教版高中数学选修2-2学案:3.1.1数系的扩充和复数的概念

中小学精品资料 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 【学习目标】 1.了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数单位 i; 2.了解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律; 3.了解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解 并掌握复数相等的有关概念. 【新知自学】 知识回顾: 1.数系的扩充历程: (1)在自然数集内引入负数,扩充到___________; (2)在整数集内引入分数,扩充到_____________; (3)在有理数集内引入无理数,扩充到_________. 2.在实数集内方程 x2+1=0 的解的问题该如何解决? 数集扩到实数集 R 以后,像 x2=-1 这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平 方等于-1. 由于解方程的需要, 人们引入了一个新数 i, 叫做虚数单位, 并由此产生了复数. 新知梳理: 1.虚数单位 i: (1)它的平方等于_________,即 i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有______________仍然成立. 2.复数的定义:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数, a 叫复数的_______, b 叫复数的 _______.全体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示. 3.复数 a+bi(a,b∈R)的分类: (1)当_______________时,复数 a+bi(a,b∈R)为实数; (2)当_______________时,复数 a+bi(a,b∈R)为 0; (3)当_______________时,复数 a+bi(a,b∈R)为虚数; (4)当_______________时,复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数. 4.复数集与其他数集之间的关系:____________. 5.两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相 等. 这就是说,如果 a,b,c, d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d . 对点练习: 1.写出复数 4,2-3i,0, ? 虚数,哪些是纯虚数? 1 4 ? i,5+2i,6i 的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是 2 3 中小学精品资料 2.下列说法中正确的是( ) A. 方程 x ? 1 ? 0 没有根 B. 纯虚数和虚数构成实数集合 C. 实数集合由虚数与复数构成 D. 实数是复数 2 3.已 2i ? 5 的虚部为实部,以 5i ? 2i 的实部为虚部的新复数是( 2 ) A. 2 ? 2i C. ? 5 ? 5i B. 2 ? i D. 5 ? 5i 4. 如果 (x+y)+ (y-1)i = (2x+3y) + (2y+1)i,求实数 x, y 的值. 【合作探究】 典例精析: 例 1. 实数 m 取什么数值时,复数 z=m(m-1)+(m-1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 中小学精品资料 变式练习: 实数 m 取什么数值时,复数 z=m2+m-2+(m2-1)i 是(1)实数? (2)虚数? (3) 纯虚数? 例 2.已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y. 变式练习: 中小学精品资料 若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0,求 x 的值. 规律总结: 1.对于复数 z= a+bi,只有在 a,b∈R 时,a,b 才能分别是复数的实部和虚部,并注意 虚部是 b,而非 bi; 2.只有两个实数才可以比较大小,对于两个虚数,或者一个虚数一个实数都不能比较大 小; 3.在两复数相等以及复数的分类中,要首先明确实部和虚部. 【课堂小结】 【当堂达标】 1.设集合 C={复数} ,A={实数} ,B={纯虚数} ,若全集 S=C,则下列结论正确的是( ) 中小学精品资料 A.A∪B=C C.A∩ CS B= ? B. CS A=B D.B∪ CS B=C ) 2.若 ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x 的值为( A .1 B.-1 C. -2 D.1 或-1 3.若实数 x , y 满足 ( x ? y) ? ( x ? y)i ? 2, 求 xy 的值. 4.复数 z1 ? (2m ? 7) ? (m 2 ? 2)i, z 2 ? (m2 ? 8) ? (4m ? 3)i(m ? R) ,当 z1 ? z 2 时,求 m 的值. 中小学精品资料 【课时作业】 1.复数 z ? ?1 ? 2i 的实部是 ,虚部是 ,模为 . . 2.已知复数 z ? k 2 ? 3k ? (k 2 ? 5k ? 6)i (k ? R), 且 z ? 0 ,则 k ? 3.已知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i} ,集合 P={-1,3}.M∩P={3} ,则 实数 m 的值为 ( ) A.-1 B.-1 或 4 C.6 D.6 或-1 4.若复数 z ? x ? 2 x ? 3 ? (log1 x ? 2)i 是虚部为正数的纯虚数,求实数 x 的值. 2 2 5.若 (?2 ? i) x ? (3 ? 10i) y ? 1 ? 9i ,求实数 x , y 的值. 中小学精品资料 6.已知 m∈R,复数 z= m(m ? 2) +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时, m ?1 (1)z∈R; (2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数;(4)z= 1 +4i. 2 7.如果 log1 (m ? n) ? (m ? 3m)i ? ?1 ,求自然数 m,n 的值. 2 2 中小学精品资料 END


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