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2.3等差数列的前n项和(一)


2.3 等差数列的前 n 项和(一) 一、教学目标 1、等差数列前 n 项和公式. 2、等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 3、会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题. 二、教学重点:等差数列前 n 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点:灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题. 三、教学过程 (一) 、复习引入: 1.等差数列的定义: a n - a n 1 =d , (n≥2,n∈N ) 2.等差数列的通项公式: (1) a n = a1 + ( n 1) d (2) a n = a m + ( n m) d (3) a n =pn+q (p、q 是常数)
n 1
+

3.几种计算公差 d 的方法:① d = a n - a n 1 4.等差中项: A =

② d = a n a1

③ d = an am
n m

a+b a, b, 成等差数列 2

5.等差数列的性质: m+n=p+q a m + a n = a p + a q (m, n, p, q ∈N ) 6.数列的前 n 项和:数列 {a n } 中, a1 + a 2 + a3 + L + a n 称为数列 {a n } 的前 n 项和,记为 S n . “小故事”1、2、3 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道 题目: 1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+…+100=5050. ” 教师问: “你是如何算出答案的?” 高斯回答说: “因为 1+100=101; 2+99=101;…50+51=101,所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出 某些规律性的东西. (2) 该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法, 这就是下面我们要介绍的 “倒 序相加”法. 二、讲解新课: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n = 证明:

n(a1 + a n ) 2


S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n1 + a n

S n = a n + a n 1 + a n 2 + L + a 2 + a1 ②
①+②: 2 S n = ( a1 + a n ) + (a 2 + a n 1 ) + ( a3 + a n 2 ) + L + ( a n + a n )

∵ a1 + a n = a 2 + a n 1 = a3 + a n 2 = LL ∴ 2 S n = n( a1 + a n ) 由此得: S n =

n(a1 + a n ) . 2

2. 等差数列的前 n 项和公式 2: S n = na1 +

n(n 1)d . 2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , a n . 但 a n = a1 + ( n 1) d 代入公式 1 即得: S n = na1 +

n(n 1)d 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d 总之:两个公式都表明要求 S n 必须已知 n, a1 , d , a n 中三个. 公式二又可化成式子:

Sn =

d 2 d n + (a1 )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式. 2 2

三、例题讲解 例 1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求 a8 和 d ; (2)等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54? 解:(1) 172 =

8(4 + a8 ) a8 = 39 2

39 = 4 + (8 1)d d = 5
则 a1 = 10, d = ( 6) ( 10) = 4, S n = 54 解之得: n1 = 9, n 2 = 3 (舍去)

(2)设题中的等差数列为 {a n } ,前 n 项为 S n 由公式可得 10n +

n(n 1) × 4 = 54 . 2

∴等差数列-10,-6,-2,2…前 9 项的和是 54. 例 2、教材 P43 面的例 1 解: 例 3.求集合 M = {m | m = 7 n, n ∈ N * 且m < 100}的元素个数,并求这些元素的和. 解:由 7 n < 100 得 n <

100 2 = 14 7 7 ∴正整数 n 共有 14 个即 M 中共有 14 个元素

即:7,14,21,…,98 是 a1 = 7为首项 a14 = 98 等差数列.

14 × (7 + 98) = 735 答:略. 2 例 4、等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 = 84, S 20 = 460 ,求 S 28 . 教师点评及规范) (学生练 → 学生板书 → 教师点评及规范) 练习:⑴在等差数列 {a n } 中,已知 a3 + a99 = 200 ,求 S101 . 练习:
∴ Sn = ⑵在等差数列 {a n } 中,已知 a15 + a12 + a9 + a6 = 20 ,求 S 20 .

例 4.已知等差数列{an}前四项和为 21,最后四项的和为 67,所有项的和为 286,求项数 n. 解:依题意,得

a1 + a 2 + a3 + a 4 = 21, a n + a n 1 + a n 2 + a n 3 = 67,

两式相加得 ( a1 + a n ) + ( a 2 + a n 1 ) + ( a 3 + a n 2 ) + ( a 4 + a n 3 ) = 88, 又 a1 + a n = a 2 + a n 1 = a 3 + a n 2 = a 4 + a n 3 , 所以 a1 + a n = 22 又 Sn =

n(a1 + a n ) = 286 ,所以 n=26. 2

例 5.已知一个等差数列{an}前 10 项和为 310,前 20 项的和为 1220,由这些条件能确定这个等差数 列的前 n 项的和吗?. 思考: 1)等差数列中 S10 , S 20 S10 , S30 S 20 ,成等差数列吗? ( (2)等差数列前 m 项和为 S m ,则 S m 、 S 2 m S m .、 S 3m S 2 m 是等差数列吗? 练习:教材第 118 页练习第 1、3 题. 三、课堂小结: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n =

n(a1 + a n ) ; 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n = na1 + 四、课外作业: 1.阅读教材第 42~44 页; 2.《习案》作业十三.

n(n 1)d . 2



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