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圆锥曲线的参数方程


1 ? x?t? ? ? t (t 为参数)表示的曲线是 ( 1.参数方程 ? ?y ? t ? 1 ? t ?
A、椭圆 【答案】B 【解析】 B、双曲线 C、抛物线 D、圆



? 2 2 1 x ?t ? 2 ?2 ? ? t ? x 2 ? y 2 ? 4 ,故此参数方程为双曲线。 试题分析:由题可知: ? 1 ?y2 ? t 2 ? ? 2 ? t2 ?
考点:双曲线的参数方程

? x ? 3t 2 ? 2 2.曲线的参数方程为 ? (t 是参数),则曲线是( 2 ? y ? t ?1
A、线段 【答案】D 【解析】 B、直线 C、圆 D、射线



试题分析:消去参数 t,得 x ? 3 y ? 5?x ? 2? ,故是一条射线,故选 D. 考点:参数方程与普通方程的互化

3.在直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极 坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 1 ? 0 ,曲线 C2 的参数方程为 ?
个不同公共点.

? x ? ?1 ? cos ? , ( ? 为参数, ? y ? ?1 ? sin ? ,

0 ? ? ? ? ),则 C1 与 C2 有

【答案】C1 与 C2 有且只有一个公共点 【解析】 试 题 分 析 : 曲 线 C1



















? ? sin ? cos

? ?

?
4

? cos ? sin

??

? ? 1 ? 0 ? y ? x ? 2 ? 0 , 曲 线 C2 化 为 普 通 方 程 为 4?

? x ? 1?

2

? ? y ? 1? ? 1 ,则圆心 C2 到直线 C1 的距离为 d ?
2

1 ?1 ? 2 12 ? 12

? 1 ? r ,即直线与

圆相切,则 C1 与 C2 有且只有一个公共点 考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位 置关系

试卷第 1 页,总 26 页

4.已知曲线 C1 : ?

? x ? 8cos t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 ? y ? 3sin t
7 . cos ? ? 2sin ?

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ?

(Ⅰ) 将曲线 C1 的参数方程化为普通方程, 将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ) 设 P 为曲线 C1 上的点, 点 Q 的极坐标为 (4 2, 的点的距离的最小值. 【答案】 (Ⅰ)

3? ), 求 PQ 中点 M 到曲线 C2 上 4

x2 y 2 8 5 ? ?1, x ? 2y ? 7 ? 0 ; (Ⅱ) 64 9 5

【解析】 (Ⅰ)由 ?

? x ? 8cos t x2 y 2 ? ?1 ;由 , 消 去 参 数 得 曲 线 C1 普 通 方 程 为 64 9 ? y ? 3sin t
, 7故 曲 线 C 2 的 直 角 坐 标 方 程 为

??

7 , 得 ? c o s? ? 2? s i ? n ? cos? ? 2 s i ? n
5分

x ? 2y ? 7 ? 0 .

(Ⅱ) 点 Q 的直角坐标为 (?4, 4) , 设 P( 8c o s ,3s i t n)

t

2 ?4c o s ,2 t ? s i n) , 故 M (?

3 2

t



C2 为 直 线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C2 的 距 离 d ?
cos t ? 4 3 8 5 ,sin t ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5

5 , | 4 cost ? 3 sin t ? 13 |从而当 5
10 分

【命题意图】 本题考查参数方程和普通方程的互化、 极坐标方程和直角坐标方程的互化、 点到直线的距离公式等基础知识,意在考查基本运算能力. 5.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标

?x ? t ?1 ? y ? t ? 3 (t 为参数) 系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是 ? ,圆 C 的极
坐标方程是 ? ? 4 cos ? ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为____________. 【答案】2 2 【解析】 试题分析:直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,圆 C 的方程是 ( x ? 2) ? y ? 4 ,因此圆 C
2 2

d?
到直线 l 距离为

|2?0?4| ? 2 2 2 2 ,直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r ? d ? 2 2

考点:直线与圆位置关系,参数方程,极坐标

试卷第 2 页,总 26 页

? ?x ? 2 ? ? 6.在平面直角坐标系中,曲线 C : ? ? y ? 1? ? ?
___________. 【答案】 x ? y ? 1 ? 0

2 t 2 ( t 为参数)的普通方程为 2 t 2

? ?x ? 2 ? ? 【解析】试题分析:联立 ? ? y ? 1? ? ?
x ? y ?1 ? 0 .

2 t 2 消 可 得 x ? y ?1 ? x ? y ? 1 ? 0, 故 填 t 2 t 2

考点:参数方程 7.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C 的 参数方程为

?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 6 .点 P 在 y ? sin ? 3


曲线 C 上,则点 P 到直线 l 的距离的最小值为 【答案】5 【解析】 试 题 分 析: 直 线 l : ? ( cos ? ?

1 2

1 3 3 ? sin ? ? 6 , ∴ sin ? ) ? 6 , ∴ ? cos ? ? 2 2 2

x ? 3 y ? 12? 0,
设 ? (cos ? ,sin ? ) ,则 d ? 当 sin(? ?

| cos ? ? 3 sin ? ? 12 | ? ?| sin(? ? ) ? 6 | , 2 6

?
6

) ? 1 时, dmin ?|1 ? 6 |? 5 .

考点:两角差的正弦余弦公式、三角函数的最值、点到直线的距离. 8.设 F1 是椭圆 x ?
2

???? ??? ? y2 ? 1的下焦点, O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,则 PF1 ? PO 的 4

最大值为

.

【答案】 4 ? 2 3 【解析】设 P(cos ? , 2sin ? ) ,则 F 1 (0, ? 3), O(0,0)

???? ??? ? PF1 ? PO ? cos2 ? ? 2sin ? ( 3 ? 2sin ? ) ? ( 3sin ? ?1)2
2 所以 PF 1 ? PO 的最大值为 ( 3 ? 1) ? 4 ? 2 3

???? ??? ?

试卷第 3 页,总 26 页

故答案为 4 ? 2 3 考点:椭圆中的最值;椭圆的参数方程. 9.曲线 C1 : ? 2 ? ? (m sin ? ? 2cos? ) ? 2 ? 0 关于曲线 C2 : ? 对称,则 m ? 【答案】2 【解析】曲线 C1 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? my ? 2 ? 0 ,其圆心 C1 (1, ? 消去 t 得曲线 C2 的方程为 x2 ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 由题意知, C1 (1, ? .

? x ? 2t ( t 为参数)的准线 2 ?y ? t

m ); 2

m m ) 在直线 y ? ?1 上,所以 ? ? ?1 ,解得 m ? 2 2 2

故答案为 2 考点:曲线的参数方程和极坐标方程.

5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? 10.已知两曲线参数方程分别为 ? ? 0 ? ? ? ? ? 和 ? 4 ? t ? R ? ,它们 ? ? y ? sin ? ? ? y ?t
的交点坐标为___________. 【答案】 ? 1, 【解析】

? 2 5? ? ? 5 ? ? ?

? x2 ? y2 ? 1 ? ?5 试题分析:两曲线参数方程化成普通方程联立方程得: ? ,解方程组得交 ? x ? 5 y2 ? ? 4
点坐标为 ? 1,

? 2 5? ? ? ?. 5 ? ?

考点:参数方程. 11 . (本小题满分 12 分)已知在直角坐标系 x?y 中,圆锥曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,定点 A 0,? 3 , F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左、右焦点. ? y ? 3 sin ? ? ?

?

?

(Ⅰ)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线

AF2 的直线 l 的极坐标方程;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中直线 l 与圆锥曲线 C 交于 M , N 两点,求 F 1M ? F 1N .

试卷第 4 页,总 26 页

【答案】 (Ⅰ) 2 ? sin(? ? 【解析】

?
3

) ? 3 ;(Ⅱ)

12 . 5

试题分析: (Ⅰ) 根据 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 将圆锥曲线 C 化为普通方程,从而可得 F1 , F2 的 坐标,根据斜率公式求直线 AF2 的斜率,因两直线平行,直线 l 斜率与直线 AF2 的斜率相 等,根据点斜式可求得直线 l 的方程.再根据 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 将其化为极坐标方 程. (Ⅱ)将直线 l 改写为过定点 F1 的参数方程,将其代入曲线 C 的普通方程,可得关于 参 数 t 的 一 元 二 次 方 程 , 从 而 可 得 两 根 之 积 t1t2 , 由 t 的 几 何 意 义 可 得

| F1M || F1N |? t1t2 .
试题解析: (Ⅰ)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,所以普通方 ? ? y ? 3 sin ?

程为 C :

x2 y2 ? ?1 4 3

A(0,? 3 ), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3 , l : y ? 3 ( x ? 1) ?

直线极坐标方程为: ? sin ? ?

3? cos ? ? 3 ? 2 ? sin(? ?

?
3

)? 3

t ? x ? ?1 ? ? 2 ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) , ? y ? 3t ? 2 ?
5t 2 ? 4t ? 12 ? 0
| F1M || F1 N |? t1t2 ? 12 5

代入椭圆方程得

? t1 t 2 ? ?

12 5

由 t 的 几 何 意 义 可 得

考点:1 参数方程与普通方程间的互化,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2 直线参 数方程中 t 的几何意义. 12. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知椭圆 C:

? x2 y 2 ? x ? ?3 ? 3t ? ? 1 ,直线 l : ? (t 为参数) . 4 3 y ? 2 3 ? t ? ?

(Ⅰ)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设 A(1, 0) ,若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的坐标. 【答案】 (1) ?

? 8 3 3 ? x ? 2 cos ? ,x- 3 y+9=0; (2) P ( ? , ). 5 5 ? ? y ? 3 sin ?

【解析】 试题分析:本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转 化等基础知识, 意在考查考生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、 运算求解能力. 第
试卷第 5 页,总 26 页

一问,利用椭圆的参数方程,直接得到将直线的参数方程消参,得到直线的普通方程; 第二问,由于 P 点在椭圆上,结合参数方程设出 P 点坐标,利用两点间的距离公式,及 点到直线的距离公式,再相等,解出 sin ? 及 cos ? ,从而得到 P 点坐标. 试题解析: (Ⅰ)C: ?

? ? x ? 2 cos ? (θ 为参数) ,l:x- 3 y+9=0. ? ? y ? 3 sin ?

4分

(Ⅱ)设 P(2cos? , 3 sin ? ) , 则 | AP |?

(2 cos ? ? 1) 2 ? ( 3 sin ? ) 2 ? 2 ? cos ? ,
| 2 cos ? ? 3sin ? ? 9 | 2 cos ? ? 3sin ? ? 9 ? . 2 2
2 2

P 到直线 l 的距离 d ?

由|AP|=d 得 3sin θ -4cos θ =5, 又 sin θ +cos θ =1, 得 sin ? ? 故 P(? ,

3 4 cos ? ? ? . , 5 5

8 3 3 ). 5 5

10 分

考点:极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.

? x ? 8cos ? ? x ? ?4 ? cos t ? ? C C y ? 3sin ? ( ? 为参数) y ? 3 ? sin t ( t 为参数) 13.已知曲线 1 : ? , 2:? .
(1)化

C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

C ( 2 )若 1 上的点 P 对应的参数为

t?

? 2 , Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t C3 : ? ? y ? ?2 ? t ( t 为参数)距离的最小值.

【答案】 (1)C1: (x+4) +(y-3) =1,C2: 【解析】

2

2

=1(2)

试题分析: (1)C1: (x+4) +(y-3) =1,C2:

2

2

=1. (2)M 到 C3 的距离,

d=

|4cos θ -3sin θ -13|.

从而当 cos θ =

,sin θ =-

时,d 取得最小值



试题解析: (1)C1: (x+4) +(y-3) =1,C2:

2

2

=1.C1 为圆心是(-4,3) ,

半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.

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(2)当 t=

时,P(-4,4) ,Q(8cos θ ,3sin θ ) ,

故M θ -3sin θ -13|.

.C3 为直线 x-2y-7=0,M 到 C3 的距离,d=

|4cos

从而当 cos θ =

,sin θ =-

时,d 取得最小值



考点: 参数方程。 14.选修 4-4:坐标系与参数方程
?x ? 2 ? ? ? x?s ? ( s为参数) , 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C: 直线 l: ? ? 2 ?y ? s ?y ? 4 ? ? ?
1 t 10 (t 为参数) . 3 t 10

设曲线 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长度. 【答案】 10 【解析】将参数方程都转化出普通方程,联立方程组求交点,进而求出距离; 试题分析:
?x ? s 2 试题解析:由 ? 消去 s 得曲线 C 的普通方程为 y=x ; 2 y ? s ?
?x ? 2 ? ? ? 由? ?y ? 4 ? ? ? 1 t, 10 消去 t 得直线 l 的普通方程为 y=3x-2. 3 t 10

? y ? x2 , 联立直线方程与曲线 C 的方程,即 ? ? y ? 3x ? 2,

解得交点的坐标分别为(1,1) , (2,4) . 所以线段 AB 的长度为 (2 ? 1)2 ? (4 ? 1)2 = 10 . 考点:1.参数方程与普通方程的转化;2.曲线交点;3.两点间距离公式; 15.选修 4—4:极坐标与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半 ? y ? sin ?

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? . (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M 1 、 M 2 的极坐标分别为 ? 1,

? ?? ? 和 ? 2, 0 ? ,直线 M 1M 2 与曲线 C2 相交于 ? 2?

P, Q 两点,射线 OP 与曲线 C1 相交于点 A ,射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B ,求
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1 OA
2

?

1 OB
2

的值.

【答案】 ( 1 ) C1 的极坐标方程为

? 2 cos 2 ?
4

? ? 2 sin 2 ? ? 1 ; C2 的直角坐标方程为

x 2 ? ? y ? 1? ? 1 ;
2

(2)

1 OA
2

?

1 OB
2

?

5 . 4

【解析】 试题分析: ( 1 )利用 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 进行消参得到 C1 的直角坐标方程,再利用 (2) x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,得到 C1 的极坐标方程,同时得到 C2 的直角坐标方程; 首先确定 M1 , M 2 的直角坐标, 进而确定 PQ 与曲线 C2 的关系, 进而判断出 OA ? OB , 设 点 A, B 的 参 数 方 程 分 别 为 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?

? ?

??

? , 代 入 C1 中 化 简 整 理 得 到 2?

1 OA
2

?

1 OB
2

?

5 : . 4

试题解析: (1)曲线 C1 的普通方程为

x2 ? y2 ? 1, 4
3分

化成极坐标方程为

? 2 cos 2 ?
4

? ? 2 sin 2 ? ? 1
2

曲线 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 (2)在直角坐标系下, M 1 ? 0,1? , M 2 ? 2, 0 ? , 线段 PQ 是圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 的一条直径
2

5分

? ?POQ ? 90?

由 OP ? OQ

得 OA ? OB

A, B 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的两点, 4
? ?

在极坐标下,设 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?

??
? 2?

分别代入

?12 cos 2 ?
4

? ?12 sin 2 ? ? 1 中,
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? cos ?
2 1 2

4
1 ?
?

? ?12 sin 2 ? ? 1 和

? 2 2 cos 2 ? ? ?

? ? 4

??
? 2?

?? ? ? ? 2 2 sin 2 ? ? ? ? ? 1 2? ?

?

?12
1

cos 2 ? ? sin 2 ? , 4
1

1

?22
1
2

?
1

sin 2 ? ? cos 2 ? 4
? 5 . 4
10 分



?

2 1

?2

2

?

5 4



OA

?

OB

2

考点:1.参数方程化为直角坐标;2.极坐标化为直角坐标方程. 16. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x?y 中, 以原点 ? 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? sin ? ? cos? ? ? 1 ,曲线 C2 的参数方程为 ? (1)求曲线 C1 的直角坐标方程与曲线 C2 的普通方程; (2)试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点?若存在,求出两交点间的距离;若不存 在,说明理由.

? x ? 2cos ? . ? y ? sin ?

x2 【答案】 (1) x ? y ? 1 ; ? y2 ? 1 4
( 2 ) C1 与 C2 存 在 两 个 交 点 , 由 t1 ? t2 ?

12 2 8 , t1t2 ? , 得 5 5

d ?| t2 ? t1 |? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ?
【解析】 ( 1 ) 对 于曲 线 C1 :

8 2 . 5

,故有 ? ?sin ? ? cos? ? ? 1 , 得 ? sin? ? ? cos? ? 1

? x ? 2cos ? x2 ,消去参数得 (5 分) ? y2 ? 1. x ? y ? 1 ,对于曲线 C2 : ? 4 y ? sin ? ?
? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (2)显然曲线 C1 : x ? y ? 1 为直线,则其参数方程可写为 ( t 为参数) , ? 2 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
与 曲 线 C2

x2 ? y 2 ? 1 联 立 方 程 组 得 5t 2 ?12 2t ? 8 ? 0 , 可 知 : 4

? ? 12 2
由 t1 ? t2 ?

?

?

2

? 4 ? 5 ? 8 ? 128 ? 0 ,所以 C1 与 C2 存在两个交点,
(10 分)

12 2 8 2 8 , t1t2 ? ,得 d ?| t2 ? t1 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? . 5 5 5
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【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,涉及极坐标方程与平面 直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,利用直线的参数方程的几何意义求 解直线与曲线交点的距离等内容.意在考查转化与化归能力、基本运算能力,方程思想 与数形结合思想. 17.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? (? 为参数) , 在同一平面直角坐标系中, 将曲线 C 上 ? y ? 2sin ?

? ? 1 x ? x ? ? 3 的点按坐标变换 ? 得到曲线 C? . 1 ? y? ? y ? ? 2
(1)求曲线 C? 的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C? 上,点 B (3, 0) ,当点 A 在曲线 C? 上运动时,求 AB 中点 P 的 轨迹方程.

3? 1 ? 【答案】 (1) x ? y ? 1 ;(2) ? x ? ? ? y 2 ? 2? 4 ?
2 2

2

【解析】 试题分析: (1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程,需要根据参数方程的结构 特征,选取恰当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参 法; (2)将参数方程转化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解, 若 x, y 有范围限制,要标出 x, y 的取值范围; (3)直角坐标方程化为极坐标方程,只需 把公式 x ? ? cos? 及 y ? ? sin ? 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为极坐标方程 要通过变形,构造形如 ? cos? , ? sin ? , ? 的形式,进行整体代换,其中方程的两
2

边同乘以(或同除以) ? 及方程的两边平方是常用的变形方法. 试题解析: (1) C : ?

? x ? 3cos ? ? y ? 2sin ?

? C:

x2 y 2 ? ? 1, 9 4

? ? 1 x ? x ? ? x ? 3 x? ? 3 2 2 2 2 将? 代入 C 的普通方程得 x? ? y? ? 1 ,即 C? : x ? y ? 1; ?? ? 1 y ? 2 y ? ? y? ? y ? ? 2
(2)设 P( x, y),

A( x0 , y0 ) , 则 x ?

x0 ? 3 y ,y? 0 2 2

所以 x0 ? 2 x ? 3, y0 ? 2 y ,即 A(2 x ? 3, 2 y)
2 2 2 2 2 2 代入 C? : x ? y ? 1,得 (2 x ? 3) ? (2 y) ? 1,即 ( x ? ) ? y ?

3 2

1 4

3 1 AB 中点 P 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 2 4
考点:1、参数方程与普通方程的互化;2、点的轨迹方程. 18. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
试卷第 10 页,总 26 页

在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos? ( ? 为参数) ,直线 l 经过 ? y ? 4 sin ?

点 P(1,2) ,倾斜角 ? ?

? . 6

(1)写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值.

? 3 x ? 1? t ? ? 2 (t 为 【答案】 (1)圆的标准方程为 x2 ? y 2 ? 16 , 直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2? 1 t ? ? 2
参数) ; (2) 11. 【解析】 试题分析: (1)把曲线 C 的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去 ? ,化普通方程
2 2 为 x ? y ? 16 ,再根据条件直线 l 经过点 P(1,2) ,倾斜角 ? ?

? 求得其参数方程; 6

(2)把直线 l 的参数方程代入圆的方程得 t 2 ? ( 3 ? 2)t ?11 ? 0 ,可得 t1t2 ? ?11,再 由 PA ? PB ?| t1 | ? | t2 |?| t1t2 |? 11 ,求得结果. 试题解析: (1)圆的标准方程为 x ? y ? 16 ,
2 2

2分

? ? 3 ? x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ( t 为参数) ; ?y ? 2? 1 t ? y ? 2 ? t sin ? ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 ,代入 x2 ? y 2 ? 16 , (2)把直线的方程 ? ?y ? 2? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

5分

3 2 1 t ) ? (2 ? t ) 2 ? 16 , t 2 ? ( 3 ? 2)t ?11 ? 0 , 2 2
10 分

8分

∴ t1t2 ? ?11,即 PA ? PB =11 .

考点:1.圆的参数方程化为普通方程;2.直线的参数方程及参数的几何意义. 19.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

)??

2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的 2

非负半轴建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? cos ?
2 ? y ? sin ?

,求曲线 C1 与曲线 C2

试卷第 11 页,总 26 页

交点的直角坐标 【答案】 (?1, 0) 【解析】 试题分析:由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,将曲线 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程

x ? y ? 1 ? 0 , 由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 消 去 参 数 得 曲 线 C2 的 普 通 方 程 为

x2 ? y ? 1(?1 ? x ? 1) ,联立方程组解得交点的直角坐标为 (?1, 0)

? 2 ? cos(? ? ) ? ?
试题解析:由 3分

4

2 ,得曲线 C1 的直角坐标系的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,

? x ? cos ? ? y ? sin 2 ? ,得曲线 C2 的普通方程为 x2 ? y ? 1(?1 ? x ? 1) , 由?


7

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 x ? y ? 1 ,得 x2 ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 (舍去)或 x ? ?1 , 由?
所以曲线

C1 与曲线 C2 交点的直角坐标为 (?1, 0) .

10 分

考点:极坐标方程化为直角坐标,参数方程化普通方程 20. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 2t ? x ? 2cos ? ? 已知直线 L 的参数方程为 ? , 曲线 C 的参数方程为 ? ,设直线 L 与 1 y ? ?t ? y ? sin ? ? ? 2
曲线 C 交于两点 A, B (1)求 AB ; (2)设 P 为曲线 C 上的一点,当 ?ABP 的面积取最大值时,求点 P 的坐标. 【答案】 (1) 5 ; (2) P(? 2, ?

2 ). 2

【解析】 试题分析: (1)把直线的参数方程与椭圆的参数方程化为普通方程,联立方程组解得交 点 A、B 的坐标,然后用两点间距离公式可求得弦 AB 的长; (2)由于 AB 是固定的, 因此 ?ABP 的面积取最大值, 即点 P 到直线 AB 的距离最大, 故用参数方程表示曲线 C 上的点 P 的坐标 (2cos ? ,sin ? ) ,用点到直线距离公式求得 P 到直线 AB 的距离 d ,然 后求 d 的最大值. 试题解析: (1)由已知可得直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

试卷第 12 页,总 26 页

?x ? 2 y ? 2 ? 由 ? x2 ? A(2, 0) , B(0,1) 2 ? y ? 1 ? ?4

? AB ? 5

(2)设 P(2cos ? ,sin ? )

2 2 sin(? ? ) ? 2 2cos ? ? 2sin ? ? 2 4 d? ? 5 5
3? 时 d 最大, 4

?

当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 即 ? ?

? P(? 2, ?

2 ). 2

考点: (1)参数方程化为普通方程,直线与椭圆相交问题; (2)三角形面积,点到直线 的距离公式,三角形函数的最值. 21. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x?y 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? 2t ? ? y ? ?1 ? 2t

( t 为参数) ,以原点 ? 为

极点, 以 x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ?

2 1 ? 3sin 2 ?



?1? 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;
? 2 ? 试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存在,
说明理由. 【答案】(1)曲线 C1 : x ? y ? 1 ,曲线 C2 : 【解析】 试题分析: (1) 根据参数方程与普通方程的关系, 对于曲线 C1 消去参数可得:x ? y ? 1 ,

x2 8 2 . ? y 2 ? 1 ;(2) d ? 4 5

x2 2 再根据极坐标方程与直角坐标方程的关系, 对于曲线 C2 可转化为: ? y ? 1 ; (2) 根 4
? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 据题意显然曲线 C1 : x ? y ? 1 为直线,则其参数方程可写为 (为参数) ? 2 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
与 曲 线 C2 :

x2 ? y 2 ? 1 联 立 , 可 知 ? ? 0 , 所 以 C1 与 C2 存 在 两 个 交 点 , 由 4

t1 ? t2 ?

12 2 8 2 8 , t1t2 ? ,得 d ?| t2 ? t1 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? . 5 5 5

试题解析:(1) 对于曲线 C1 有 x ? y ? 1 ,对于曲线 C2 有

x2 ? y 2 ? 1 .(5 分) 4

试卷第 13 页,总 26 页

? 2 t ?x ? 2 ? 2 (2) 显然曲线 C1 : x ? y ? 1 为直线,则其参数方程可写为 ? (为参数)与 ? ? y ? ?1 ? 2 t ? ? 2
曲线 C2 :

x2 ? y 2 ? 1 联立,可知 ? ? 0 ,所以 C1 与 C2 存在两个交点, 4
12 2 8 2 8 , t1t2 ? ,得 d ?| t2 ? t1 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? . 5 5 5
(10 分)

由 t1 ? t2 ?

考点:1.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化;2.利用直线的参数方程的几何意义求 解 22. (选修 4-4:坐标系与参数方程) (本题满分 10 分)

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 ?y ? 2 t ? ? 2

??

sin ? ,以极点 1 ? sin 2 ?

为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (?1, 0) ,直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求线段 MA 、 MB 长度之积 MA ? MB 的值.

2 ? cos(? ?
【答案】 (Ⅰ) 【解析】

?
4

) ? ?1

, y ? x (Ⅱ)2
2

试题分析: (Ⅰ)先消参数,将直线 l 的参数方程化为普通方程: x ? y ? ?1 ,再根据

x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 将直线 l 的方程化为极坐标方程: ? cos? ? ? sin? ? ? 1,即

2 ? cos(? ?

?
4

)? ? 1

;利用 x ? ? cos? , y ? ? sin? 将曲线 C 的极坐标方程化为直角

??
坐标方程:

sin ? ? sin ? ? ?2 ? ? x2 ? y 2 ? y 2 ? y ? x2 ? y 2 2 1 ? sin ? 1 ? sin ? (Ⅱ)利用

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ? ?y ? 2 t ? 2 直线参数方程几何意义求线段 MA 、MB 长度之积 MA ? MB 的值: 将? 代

MA ? MB ?| t1t2 |? 2 . 入 y ? x 得 t ? 3 2t ? 2 ? 0 ,
2

2

试卷第 14 页,总 26 页

试题解析: (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程为

2 ? cos(? ?

?
4

) ? ?1

,曲线 C 的普通方程为

y ? x2 ;
? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ? ?y ? 2 t 2 2 ? MA ? MB ?| t1t2 |? 2 . 2 (Ⅱ)将 ? 代入 y ? x 得 t ? 3 2t ? 2 ? 0 ,
考点:直线参数方程几何意义 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,半圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? ) , ? y ? sin ?

以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos? ) ? 5 3 ,射线 OM:? ? 交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 【答案】 (1) ? ? 2 cos ? , ? ? [0,

?
3

与半圆 C 的

?
2

]; (2)4.

【解析】 试题分析:本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转 化等基础知识,意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力. 第一问,先利用参数方程与普通方程的转化公式将圆 C 的方程转化为普通方程,再利用 公式 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 转化为极坐标方程;第二问,利用圆 C 的极坐标方程求出 点 P 的极坐标, 再利用直线 l 的极坐标方程求出点 Q 的极坐标, 最后利用 | PQ |?| ?1 ? ?2 | 计算即可. 试 题 解 析 :( Ⅰ ) 半 圆 C 的 普 通 方 程 为 ( x ?1) ? y ? 1(0 ? y ? 1) , 又
2 2

x ? ? c o? s y,? ?

s ? i, n

所以半圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? , ? ? [0,

?
2

].

(5 分)

? ?1 ? 2 cos ?1 ? ?1 ? 1 ? ? (Ⅱ)设 ( ?1 ,?1 ) 为点 P 的极坐标,则有 ? ,解得 ? ? ? , ?1 ? ?1 ? ? ? 3 3 ? ?

? ?2 (sin ?2 ? 3 cos ?2 ) ? 5 3 ? ?2 ? 5 ? ? 设 ( ?2 ,?2 ) 为点 Q 的极坐标,则有 ? 解得 ? ?, ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 3 ? 3 ?
由于 ?1 ? ?2 ,所以 | PQ |?| ?1 ? ?2 |? 4 ,所以 PQ 的长为 4. 考点:极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.
试卷第 15 页,总 26 页

(10 分)

24. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单 位.已知直线 l 的参数方程为 ? 坐标方程为 ? sin
2

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,曲线 C 的极 ? y ? t sin ?

? ? 4 cos ? .

(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值. 【答案】 (Ⅰ) y ? 4 x ; (Ⅱ)4
2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)由 ? sin 直角坐标方程; (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t 2 sin 2 ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 ,设 A 、 B 两
2 2

? ? 4 cos ? ,得 ( ? sin ? ) 2 ? 4 ? cos ? ,即可求出曲线 C 的

点 对 应 的 参 数 分 别 为 t 1 、 t 2 , 则 t1 ? t 2 ?

AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ,可知当 ? ?
试题解析:解: (Ⅰ)由 ? sin
2

?
2

4 cos ? 4 , t1 t 2 ? ? , 2 sin ? sin 2 ?

时, AB 取最小值,即可求得结果.

? ? 4 cos ? ,得 ( ? sin ? ) 2 ? 4 ? cos ?
2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .
2

5分

(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t 2 sin 2 ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 . 设 A 、 B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ∴ AB ? t1 ? t 2 ? 当? ?

4 cos ? 4 , t1 t 2 ? ? , 2 sin ? sin 2 ?

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ?

16 cos 2 ? 16 4 ? ? , 4 2 sin ? sin ? sin 2 ?
10 分.

?
2

时, AB 的最小值为 4.

考点:极坐标系与参数方程. 25. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线 (1)化 ( 2 )若

( 为参数) , 的方程为普通方程; 上的点 P 对应的参数为 为

( 为参数) .

上的动点,求

中点

到直线

( 为参数)距离的最小值.

试卷第 16 页,总 26 页

x2 y 2 8 5 ? ?1 ; 【答案】 (1) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1 , C2 : (2) . 64 9 5
2 2

【解析】 试题分析: (1)利用同角三角函数的基本关系,分别消去参数 t 和 ? 即可; (2)首先利用参数方程求出点 P 的坐标,把直线 C3 : ?

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)化为直 ? y ? ?2 ? t

角坐标下的一般方程, 再利用点到直线的距离公式把点 M 到直线的距离表示成参数 ? 的 函数并求出其最小值. 试题解析: (1)由 ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 4 ? cos t 得? , ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3 ? sin t

所以 C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,

?x ? cos ? ? x ? 8cos ? ? x2 y 2 ?8 ? ?1 由? 得? ,所以 C2 : 64 9 ? y ? 3sin ? ? y ? sin ? ? ?3
(2)当 t ?

4分

?
2

时, P(?4, 4), Q(8cos? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4cos ? , 2 ?

3 sin ? ) , 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C3 的距离
d?

5 5 8 5 5 5cos ?? ? ? ? ? 13 ? 5 ? 13 ? | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | = 5 5 5 5
4 3 ,sin ? ? ) 5 5
4 3 8 5 . ,sin ? ? ? 时,d 取得最小值 5 5 5
10

(其中, cos ? ? 从且仅当 cos ? ?

分 考点:1、参数方程的应用;2、点到直线的距离;3、三角函数的最值. 26. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线 (1)化 ( 2 )若

( 为参数) , 的方程为普通方程; 上的点 P 对应的参数为 为

( 为参数) .

上的动点,求

中点

到直线

( 为参数)距离的最小值.

【答案】 (1) C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,

C2 :

x2 y 2 8 5 ? ?1 ; (2) . 64 9 5

试卷第 17 页,总 26 页

【解析】 试题分析: (1)利用同角三角函数的基本关系,分别消去参数 t 和 ? 即可; (2)首先利用参数方程求出点 P 的坐标,把直线 C3 : ?

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)化为直 ? y ? ?2 ? t

角坐标下的一般方程, 再利用点到直线的距离公式把点 M 到直线的距离表示成参数 ? 的 函数并求出其最小值. 试题解析: (1)由 ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 4 ? cos t 得? , ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3 ? sin t

所以 C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,

?x ? cos ? ? x ? 8cos ? ? x2 y 2 ?8 ? ?1 由? 得? ,所以 C2 : 64 9 ? y ? 3sin ? ? y ? sin ? ? ?3
(2)当 t ?

4分

?
2

时, P(?4, 4), Q(8cos? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4cos ? , 2 ?

3 sin ? ) , 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C3 的距离
d?

5 5 8 5 5 5cos ?? ? ? ? ? 13 ? 5 ? 13 ? | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | = 5 5 5 5
4 3 ,sin ? ? ) 5 5
4 3 8 5 . ,sin ? ? ? 时,d 取得最小值 5 5 5
10

(其中, cos ? ? 从且仅当 cos ? ?

分 考点:1、参数方程的应用;2、点到直线的距离;3、三角函数的最值. 27. (本小题满分 13 分)平面直角坐标系中,点 M 的坐标是 (3, 3) ,曲线 C1 的参数方 程为 ?

? x ? 1 ? cos ? , ( ? 为参数) ,在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的 ? y ? sin ? ,

极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? . (1)将曲线 C1 和 C2 化成普通方程,并求曲线 C1 和 C2 公共弦所在直线的极坐标方程;

???? ???? ? 的直线 l 与曲线 C1 交于 A,B 两点,求 MA ? MB 的值. 3 1 【 答 案 】 (1) 曲 线 C1 和 C2 公 共 弦 所 在 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 tan ? ? ( ? ? R ) .(2) 2
(2)若过点 M,倾斜角为

MA ? MB ? 6 .
【解析】

试卷第 18 页,总 26 页

试题分析: (1) 依题意,C1 ,C2 普通方程: 分别为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 两式相减可得, x ? 2 y ? 0 ,化为极坐标方程即可.

1 ? x ? 3 ? t, ? 2 ? (2)思路一:将直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,点 A、B 分别对应参数 ? y ? 3 ? 3 t, ? ? 2
1 3 2 t1 , t2 ,代入 C1 的方程: (3 ? t ? 1)2 ? ( 3 ? t ) ? 1 ,整理得 t 2 ? 5t ? 6 ? 0 ,由参 2 2
数的几何意义即得 思路二转化得到圆心为 C (1, 0) ,半径 r ? 1 ,由圆幂定理即得. 试题解析:(1) 依题意, C1 的普通方程: ( x ?1) ? y ? 1 , ① 2 分
2 2

对 C2 , ? ? 4? sin ? ,所以 x ? y ? 4 y ,即 x ? ( y ? 2) ? 4 , ② 4 分
2 2 2 2 2

①-②可得, x ? 2 y ? 0 , 6 分 所 以 曲 线 C1 和 C2 公 共 弦 所 在 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos ? ? 2? sin ? ? 0 ,

tan ? ?

1 ( ? ? R) .7 分 2 1 ” 2

(注: 本次考试, 直线的极坐标方程若只写 “ ? cos ? ? 2? sin ? ? 0 ” , 或者 “ tan ? ? 均给分! ) (2) 解法一:

1 ? x ? 3 ? t, ? 2 ? 依题意, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 点 A、 B 分别对应参数 t1 , t2 , 3 ?y ? 3 ? t, ? ? 2
9分 代入 C1 的方程:(3 ? 12 分 所以 MA ? MB ? t1t2 ? 6 .13 分 解法二(注:了解即可! ) : 设曲线 C1 的圆心为 C (1, 0) ,半径 r ? 1 , 则 由 圆 幂
2

1 3 2 2 整理得 t ? 5t ? 6 ? 0 , 所以 t1t2 ? 6 , t ? 1)2 ? ( 3 ? t) ? 1, 2 2







M ?

(A

?

M )

? B 2(

M ? 2)

C ? .13 分

2

r

(

?

M

试卷第 19 页,总 26 页

考点:1.参数方程与极坐标;2.直线与圆的位置关系;3.平面几何选讲. 28 .以原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 .已知某圆的极坐标方程为

? 2 ? 4 2 ? cos? ? ?

? ?

??

??6?0 4?

(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P ? x, y ? 在该圆上,求 x ? y 的最大值和最小值. 【答案】 (1) x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 , ? 值为 2. 【解析】 试题分析: (1)极坐标方程化为直角坐标方程的关键是利用 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ,

; (2)最大值为 6,最小

? x ? ? cos ? , 和 ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y 2 , 代 入 圆 ? 2 ? 4 2 ? cos? ?? ?
?

??

??6?0 , 得 直 角 坐 标 方 程 为 4?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? , (2)设 ? ,代入 x ? y 中,转化为三角函 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 ; y ? 2 ? 2 sin ? , ? ?
数的最值问题处理. 试 题 解 析 : ( 1 )

?? 2 2 ? ? 2 ? 4 2? cos ?? ? ? ? 6 ? 0,即? 2 ? 4 2? ( cos? ? sin ? ) ? 6 ? 0 4 2 2
? ?
即 x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0
2 2



2



















? ?x ? 2 ? ? ? ?y ? 2 ?

2 ?c o s 2 ?s i n




, ,



x ? y ? 4 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 4 ? 2sin(? ? ) . 4
故 2 ? x ? y ? 6 ,故 x ? y 的最大值为 6,最小值为 2. 考点:1、极坐标方程和直角坐标方程、参数方程的转化;2、二元函数的最值问题. 29.在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 ?

?

? x ? sin ? ? cos ? (? y ? sin 2 ? ?

为参数) ,若以该直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 线

N 的极坐标方程为: ? sin(? ? ? ) ? 2 t (其中 t 为常数) .
4 2
(Ⅰ)若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; (Ⅱ)当 t ? ?2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离.

试卷第 20 页,总 26 页

【答案】 (Ⅰ) ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 或 t ? ?

5 3 2 (Ⅱ) . ; 4 8

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 将曲线 M 的参数方程化为直角坐标方程为抛物线的一部分, 将曲线 N 的极坐标方程化为直角坐标方程为一条直线,通过平移直线观察曲线 N 与曲线 M 只有 一个公共点时 t 的取值范围; (Ⅱ)当 t ? ?2 时,曲线 N 为 x ? y ? ?2 , 设曲线 M 上 的点坐标,利用点到直线距离公式表示目标函数,进而转化为求函数最值问题求解. 试题解析:对于曲线 M,消去参数,得普通方程为

y ? x 2 ? 1, x ? 2

,曲线 M 是抛物线 (2

的一部分;对于曲线 N,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线. 分) (1)若曲线 M,N 只有一个公共点,则有直线 N 过点 ( 2,1) 时满足要求,

并且向左下方平行运动直到过点 (? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点, 再接着向左下 方平行运动直到相切之前总是有两个公共点,所以 ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 满足要求;相
2 2 t ? 0 ,求 切时仍然只有一个公共点,由 t ? x ? x ? 1 ,得 x ? x ? 1? t ? 0, ? ? 1? 4(1 ? )



t??

5 5 t?? 4 .综合可求得 t 的取值范围是: ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 或 4 . (6 分)

( x , x 2 ? 1) , x0 ? ( 2 )当 t ? ?2 时,直线 N: x ? y ? ?2 ,设 M 上点为 0 0
2 x0 ? x0 ? 1

2

,则

d?

2

1 3 ( x0 ? ) 2 ? 2 4 ?3 2 ? 8 2 ,



x0 ? ?

1 3 2 x ? 2 2 时取等号,满足 0 ,所以所求的最小距离为 8 .

(10 分)

考点:1、参数方程和普通方程的互化;2、极坐标方程和直角坐标方程的互化;3、点 到直线距离公式. 30.已知曲线 C1 : ?

? x ? ?2 ? cos t ? x ? 4 cos ? (t 为参数), C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 1 ? sin t ? y ? 3sin ?

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为
2 2

?
4

的直线 l 交曲线 C1 于 A, B 两点,求 AB .

x2 y 2 ? ? 1. 曲线 C1 为圆心是 (?2,1) ,半 【答案】 (1) C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1, C2 : 16 9
径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆(2) 2
试卷第 21 页,总 26 页

【解析】 试题分析: (1)根据 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 消参.(2)由曲线 C2 的直角坐标方程可知其左 顶点为 (?4, 0) ,从而可得直线 l 的参数方程,将直线 l 的参数方程代入曲线 C1 整理可得关 于参数 s 的一元二次方程 ,根据韦达定理可得两根之和 ,两根之积 .由 s 的几何意义可得

AB ? s1 ? s2 .
试题解析:解:⑴ C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 9

曲线 C1 为圆心是 (?2,1) ,半径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆. 4 分

? 2 s, ? x ? ?4 ? ? 2 ⑵曲线 C2 的左顶点为 (?4, 0) ,则直线 l 的参数方程为 ? ( s 为参数) ? y ? 2 s, ? ? 2
将其代入曲线 C1 整理可得: s ? 3 2 s ? 4 ? 0 ,设 A, B 对应参数分别为 s1 , s2 ,则
2

s1 ? s2 ? 3 2, s1s2 ? 4.
所以 | AB |?| s1 ? s2 |?

( s1 ? s2 ) 2 ? 4 s1s2 ? 2 .

10 分

考点:1 参数方程与普通方程的互化;2 直线的参数方程中参数 t 的几何意义. 31.已知曲线 C1 : ?

? x ? ?2 ? cos t ? x ? 4 cos ? (t 为参数), C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 1 ? sin t ? y ? 3sin ?

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为
2 2

?
4

的直线 l 交曲线 C1 于 A, B 两点,求 AB .

【答案】 (1) C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1, C2 : 径是 1 的圆.

x2 y 2 ? ? 1. 曲线 C1 为圆心是 (?2,1) ,半 16 9

曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆(2) 2 【解析】
2 2 试题分析: (1)根据 sin ? ? cos ? ? 1 消参.(2)由曲线 C2 的直角坐标方程可知其左

顶点为 (?4, 0) ,从而可得直线 l 的参数方程,将直线 l 的参数方程代入曲线 C1 整理可得 关于参数 s 的一元二次方程,根据韦达定理可得两根之和,两根之积.由 s 的几何意义可 得 AB ? s1 ? s2 .
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x2 y 2 试题解析:解:⑴ C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1, C2 : ? ? 1. 16 9
2 2

曲线 C1 为圆心是 (?2,1) ,半径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆. 4 分

? 2 s, ? x ? ?4 ? ? 2 ( s 为参数) ⑵曲线 C2 的左顶点为 (?4, 0) ,则直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 2 s, ? ? 2
将其代入曲线 C1 整理可得: s ? 3 2 s ? 4 ? 0 ,设 A, B 对应参数分别为 s1 , s2 ,则
2

s1 ? s2 ? 3 2, s1s2 ? 4.
所以 | AB |?| s1 ? s2 |?

( s1 ? s2 ) 2 ? 4 s1s2 ? 2 .

10 分

考点:1 参数方程与普通方程的互化;2 直线的参数方程中参数 t 的几何意义.

? 2 x ? 3? t ? ? 2 32.在直角坐标系 XOY 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数).在极坐 2 ?y ? 5 ? t ? 2 ?
标系(与直角坐标系 XOY 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? (1)求直线 l 及圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B .若点 P 的坐标为(3, 5 ),求 | PA | ? | PB | . 【答案】 (1) 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 , 圆 C 的直角坐标方程为

x2 ? y ? 5
(2) 3 2 【解析】

?

?

2

?5

试题 分析: (1) 消 去参数 t 即可 将直线 l 的 参数方程化为 直角坐标 方程 ; 根据公 式

? 2 ? x2 ? y 2 , y ? ? sin ? 可将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)分析可知直线
l 过点 P .将直线 l 的参数方程与圆的直角坐标方程联立消去 x, y 整理为关于 t 的一元二
次方程,由韦达定理可得两根之和与两根之积.由 t 的几何意义可知

PA ? PB ? t1 ? t2 .
试题解析:解:(1) 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0

试卷第 23 页,总 26 页

圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y ? 5

?

?

2

?5

5分

(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

? 2 ? ? 2 ? 得?3? t? ? ? ?? ? 2 t? ? ?5, 2 ? ? ? ?
即 t ? 3 2t ? 4 ? 0 .
2

2

2

由于 ? ? 3 2 所以 ? 1

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根,

? ?t ? t2 ? 3 2 ? ? t1 ? t2 ? 4

又直线 l 过点 P 3, 5 , 故由上式及 t 的几何意义得 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 10 分

?

?

考点:1 参数方程、极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2 直线参数方程中参数 t 的几 何意义。 33.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3 sin ? , (其中 ? 为参 y ? 3 cos ? ? 2 ?

数,? ? R ) , 在极坐标系 (以坐标原点 O 为极点, 以 x 轴非负半轴为极轴) 中, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

)?a.

(1)把曲线 C1 和 C2 的方程化为直角坐标方程; (2)若曲线 C1 上恰有三个点到曲线 C2 的距离为

3 ,求曲线 C2 的直角坐标方程. 2
2 2

【答案】 (1)曲线 C1 的直角坐标方程为: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 9 ;曲线 C 2 的直角坐 标方程为 x ? y ?

2a ;
3 2 . 2

(2)曲线 C 2 的直角坐标方程为 x ? y ? ? 【解析】

试题分析: (1)对于曲线 C1 ,把已知参数方程第一式和第二式移向,使等号右边分别 仅含 3 sin ? 、 3 cos ? ,平方作和后可得曲线 C1 的直角坐标方程;对于曲线 C 2 ,把

? x ? ? cos? ? 代入极坐标方程 ? cos(? ? ) ? a 的展开式中即可得到曲线 C 2 的直角坐 ? 4 ? y ? ? sin?
标方程. ( 2 )由于圆 C1 的 半径为 3 ,所以所 求曲线 C 2 与直线 x ? y ? 0 平 行,且 与直线
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x ? y ? 0 相距

3 3 时符合题意.利用两平行直线的距离等于 ,即可求出 a ,进而得到 2 2

曲线 C 2 的直角坐标方程. 试题解析: (1)曲线 C1 的参数方程为 ? 平方化简得, 曲线 C1 的直角坐标方程为: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 ; 曲 线 C 2 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos(? ?

? x ? 2 ? 3 sin ? ?3 sin ? ? 2 ? x ,即 ? ,将两式子 ? y ? 3 cos? ? 2 ?3 cos? ? y ? 2

?
4

)?

2 2 ? cos? ? ? sin ? ? a , 即 2 2

2 2 x? y ?a, 2 2
所以曲线 C 2 的直角坐标方程为 x ? y ?

2a .

(2)由于圆 C1 的半径为 3 ,故所求曲线 C 2 与直线 x ? y ? 0 平行,且与直线 x ? y ? 0

相距

3 时符合题意.由 2

2a 2

?

3 3 , 解 得 a ? ? . 故 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 2

x? y ??

3 2 . 2

考点:圆的参数方程;直线与圆的位置关系;简单曲线的极坐标方程. 34.经过点 M( 10 ,0)作直线 l,交曲线 C : ?

? x ? 2 cos? (θ 为参数)于 A,B 两点, ? y ? 2 sin ?

若|MA|,|AB|,|MB|成等比数列,求直线 l 的方程. 【答案】 y ? 【解析】 试题分析:先将直线设为 ?

3 30 3 30 或y?? . x? x? 3 3 3 3
? x ? 10 ? t cos? ? y ? t sin ?

代入曲线 C,得到关于 t 的方程,利用 t 的
2

几何意义,利用|MA|,|AB|,|MB|成等比数列,得到 t1 ? t 2 试题解析:解:根据题意,设直线 l 的参数方程为

? t1t 2 ,可以求出方程.

? x ? 10 ? t cos? (t 为参数) ? ? y ? t sin ?
曲线 C ?

? x ? 2 cos? 2 2 化成普通方程得 x +y =4. y ? 2 sin ? ?

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将?

? x ? 10 ? t cos? ? y ? t sin ?
2 2

代入 x 2 ? y 2 ? 4 得

( 10 +tcosθ ) +t sin θ =4.
2

化简整理得 t +2 10 cosθ t+6=0,
2

∴t1+t2=-2 10 cosθ ,t1t2=6. 由题意得|AB| =|MA||MB|, 2 2 2 而|AB| =(t1-t2) =(t1+t2) -4t1t2, |MA||MB|=|t1t2|=6, 即 40cos θ -24=6,解得 cosθ =±
2 2

3 , 2

∴sinθ =

1 3 ,k=tanθ =± . 2 2

所求直线 l 的方程为 y ?

3 30 3 30 或y?? . x? x? 3 3 3 3

考点:1.参数方程与普通方程的互化;2.弦长公式.

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