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2012-2013学年高二上学期期中数学试卷(必修3程序框图概率统计+选修2-1简易逻辑椭圆双曲线)理科精华版


莆田四中 2012-2013 学年上学期期中 高二年段数学科(理科)试卷
命题者:吴春山 审核者:黄旭东 2012.11.17
一、选择题:本大题共 10 小题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的) . 1.椭圆 + =1 的焦点坐标是( ) 16 25 A.(±4,0) B.(0,±4) C.(±3,0) D.(0,±3) 2.已知 {a n } 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a 2 ? a8 ) 的值为( A. ?

x2

y2

)

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

3.口袋中有 4 个白球 2 个黑球,从中任取 2 球,则下列关系是互斥事件的是( ) A.一个白球、一个黑球与至少一个白球; B. 一个白球、一个黑球与至少一个黑球; C. 两个都是白球与至少一个白球; D. 两个都是白球与一个白球、一个黑球. 4.设有一个直线回归方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时( A. y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 C. y 平均减少 1.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位 5.下列说法正确的是( ) .. A. “ x ? -1”是“ x - 5 x - 6 ? 0 ”的充分不必要条件.
2
^

)

B. 命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” “ .
2 2

C. 命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .
2 2

D. 命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 6.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰 好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 7.一个几何体的正视图、侧视图是两个边长为 1 的正方形,俯视图是直角边长为 1 的等 腰直角三角形,则这个几何体的表面积等于( A.6 B. 2 ? 2 C. 3 ? 2 ) D. 4 ? 2 )

8.过原点的直线 l 与双曲线 y 2 ? x2 ? 1 有两个交点, 则直线 l 的斜率的取值范 围为 ( A. (?11) , B. (?∞, 1) ? (1 ? ∞) ? , C. (?1 0) ? (0, , 1)
? π π? D. ? ? , ? ? 4 4?

9.已知 ? ? {? x, y ? | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0}, A ? {? x, y ? | x ? 2 y ? 0, x ? 4, y ? 0} ,若向区域 ? 上随机投 一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为( )

1

A.

1 9

B.

2 9

C.

1 3

D.

4 9

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A、B a 2 b2 ??? ? ??? ? ??? ? 3 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标原点,若 OP ? ? OA ? ? OB(? , ? ? R) ,?? ? , 16
10.设双曲线 则该双曲线的离心率为( A. )

3 2 2

B.

3 5 5

C.

2 3 3

D.

9 8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 11. 根据气象资料统计, 某地元旦下雨的概率为 0.45, 阴天的概率为 0.20, 则该日晴天的概率为_________. 12.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 PF1 ? 4 ,则 ?F1PF2 ? _________. 9 2

13.已知平面向量 a,b 满足 a ? (a + b)=3 ,且 a = 2, b = 1 ,则向量 a 与 b 的夹角为_____________. 14.下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是_____________.

15.洛萨 ? 科拉茨(Lothar Collatz,1910.7.6-1990.9.26)是德国数学家,他在 1937 年提出了一个 著名的猜想:任给一个正整数 n ,如果 n 是偶数,就将它减半(即

n ) ;如果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 2

,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到 1.如初始正整数为 6,按照上述变换规则, 3n ? 1 ) 我们得到一个数列:6,3,10,5,16,8,4,2,1.对科拉茨(Lothar Collatz)猜想,目前谁也不能 证明,更不能否定.现在请你研究:如果对正整数 n (首项)按照上述规则施行变换(注:1 可以多次出 现)后的第八项为 1,则 n 的所有可能的取值为_______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (1)求离心率 e ?
6 ,且过点(3,0) ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程。 3 (2)双曲线 C 与 4 x 2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点,它的一条渐近线方程是 y= 2x ,求双曲线 C 的方程。

17.某班甲、乙两名同学参加 l00 米达标训练,在相同条件下两人 l0 次训练的成绩(单位:秒)如下:

2

(1)请画出茎叶图(前两位数字为茎,后一位数字为叶) ;如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛,从成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直接回 答结论). (2)从甲、乙两人的前 4 次成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个不高于 13.25 秒的概率. 18.已知等比数列{ a n }的公比 q=3,前 3 项和 S 3 ? (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ? f(x)的解析式。

13 。 3

?
6

处取得最大值,且最大值为 a 3 ,求函数

19.如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1, 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且 AB 是圆 O 的直径。 (1)证明:O1A∥平面 B1OC; (2)证明:平面 A1ACC1⊥平面 B1BCC1; (3)设 AB=AA1 =2,在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自于 三棱柱 ABC-A1B1C1 内的概率为 P,当点 C 在圆周上运动时,求 P 的最大值;

20.设命题 p :在 x ? ? 0, 2? 内,不等式 x ?
2

x2 y2 x ? ? 1 表示双曲 ? 3 ? 0 恒成立;命题 q :方程 m?3 5?m m

线. (1)若命题 q 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若命题: " p ? q " 为真命题,且“ p ? q ”为假命题,求实数 m 的取值范围.

3

21.如图,椭圆 C:

1 x2 y 2 + ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O a 2 b2 2

的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

莆田四中 2012-2013 学年上学期期中高二年段数学科(理)试卷答案
一、选择题 DADCD DCBBC 10.解析:双曲线的渐近线为:y= ?

b bc bc ,则 A(c, ) ,B(c,- ) , x ,设焦点 F(c,0) a a a

P(c,

??? ? ??? ? ??? ? b2 b2 bc ) ,因为 OP ? ? OA ? ? OB 所以, (c, )=( (? ? ? )c , (? ? ? ) ) , a a a

所以, ? ? ? =1, ? ? ? =

b c?b c ?b 3 ,解得: ? ? ,又由 ?? ? ,得: ,? ? c 2c 2c 16

a2 3 2 3 c ?b c ?b 3 。 ? ? ,解得: 2 ? ,所以 e= 3 c 4 2c 2c 16
二、填空题 11.0.35 三、解答题 16.(1)?椭圆的焦点在 y 轴上,?可设椭圆方程为 12.

?? 3

13. 120°

14. 3

15.

?2,3,16, 20, 21,128?

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

又离心率 e ?

6 c ? ,且过(3,0)? a ? 3 3, b ? 3, 3 a

?

4

17.解:(1)茎叶图从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度 较小,应选派乙同学代表班级参加比赛更好。 (2)记甲的前 4 次成绩为 a,b,c,d;乙的前 4 次成绩为 1,2,3,4. 设事件 A 为:甲、乙两人成绩至少有一个不高于 13.25 秒 则从甲、乙两人的前 4 次成绩中各随机抽取一次的可能情况为: (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (d,1), (d,2), (d,3), (d,4)共 16 种; 其中,满足事件 A 的可能情况为: (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (d,1), (d,4)共 14 种。 所以 P(A)=

14 7 ? 16 8
13 a1 (1 ? 33 ) 13 得 ? , 3 1? 3 3

18.解: (I)由

q ? 3, S3 ?

19. 解(1)连结 O1 A ,? O1 B1 ∥ OA 且 O1 B1 = OA

? O1 A ∥ OB1

?四边形 AOB1O1 为平行四边形 ? O1 A ∥平面 B1OC 又 OB1 ? 平面 B1OC
? A1 A ? BC

(2)? A1 A ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,

? AB 是圆 O 的直径, ? BC ? AC
又 AC ? A1 A ? A , ? BC ? 平面 A1 ACC1 而 BC ? 平面 B1 BCC1 , 所以平面 A1 ACC1 ? 平面 B1 BCC1 。 (3)解法一 :设圆柱的底面半径为 r,则 AB ? AA1 ? 2 故三棱柱 ABC _ A1 B1C1 的体积 V1 ?

1 AC ? BC ?1 ? AC ? BC ?1 2
5

又? AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ? 4*12 当且仅当 AC ? BC ?
2

? AC ? BC ?

AC 2 ? BC 2 ?2 2

2 时等号成立。从而, V1 ? 2

V1 2r 3 1 ? ? , 而圆柱的体积 V ? ? r ? 2r ? 2? ,故 p ? 3 V 2 2?r ?
当且仅当 AC ? BC ?

2r ,即 OC ? AB 时等号成立。所以, p 的最大值等于

1 ?

解法二:设圆柱的底面半径为 r,则 AB ? AA1 ? 2r , 故三棱柱 ABC _ A1 B1C1 的体积 V1 ?
? ?

1 AC ? BC ? 2r ? AC ? BC ? r 2

设 ?BAC ? ? (0 ? ? ? 90 ) ,则 AC ? AB cos? ? 2r cos? , BC ? AB sin? ? 2r sin? , 由于 AC ? BC ? 4r sin ? cos? ? 2r sin 2? ? 2r ,
2 2 2

当且仅当 sin 2? ? 1 即 ? ? 45 时等号成立,故 V1 ? 2r
? 2 3 而圆柱的体积 V ? ?r ? 2r ? 2?r ,故 p ?

3

V1 2r 3 1 ? ? , 3 V 2 2?r ?

当且仅当 sin 2? ? 1 即 ? ? 45 时等号成立。所以, p 的最大值等于
?

1 ?
2 3

解法三:设圆柱的底面半径 r ,则 AB ? AA1 ? 2r ,故圆柱的体积 V ? ?r ? 2r ? 2?r 因为 p ?

V1 ,所以当 V1 取得最大值时, p 取得最大值。 V

又因为点 C 在圆周上运动,所以当 OC ? AB 时,?ABC 的面积最大。进而,三棱柱 ABC _ A1 B1C1 的体积最大,且其最大值为

1 ? 2r ? r ? 2r ? 2r 3 2

故 p 的最大值等于

1 ?

20.解(1)若命题 q 为真,则(m-3)(5-m) < 0,所以 m>5 或 m<3 (2)若命题 p 为真,则在 x ? ? 0, 2? 内,不等式 令 g ( x) ? x ?

x 1 3 ? x 2 ? 3 恒成立,即 ? x ? 恒成立 m m x

3 1 ,则 ? g ( x) min ? 2 3 x m
3 6

所以 m ? 0 或 m ?

由 " p ? q " 为真命题,且“ p ? q ”为假命题知:p 与 q 一真一假。

6

?m ? 5, m ? 3 3 ? 若 p 真 q 假,则 ? 3 ?0?m? 6 ?0 ? m ? 6 ? ? 3? m?5 ? 若 p 假 q 真,则 ? 3 ?3? m?5 ?m ? 0, m ? 6 ?
综上, 0 ? m ?
21. 解(Ⅰ)由题: e ?

3 或3? m ? 5 6

c 1 ? ; (1) a 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c) 2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a2 ? 4,b2 ? 3,c2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2

∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? ∴ ? 42 32 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? y A ? yB 3 x ? xB 3 2x 3 ?? ? A ?? ? 0 ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2
? x2 y2 ?1 ? + ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, yA ? yB =
m2 ? 3 . 3
( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB = 1 ? k AB

∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB

4?

m2 . 3

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离表示为: d ?
m2 1 1 ∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? , 3 2 2

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m?2 1 ? k AB



7

当|m+2|= 4 ?

m2 1 ,即 m=﹣3 或 m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= . 3 2

3 1 此时直线 l 的方程 y=﹣ x ? . 2 2

8


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