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【创新设计】2015届高考数学第一轮复习 2-5 指数与指数函数题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版


第5讲

指数与指数函数

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1 1.函数 y=ax- (a>0,a≠1)的图象可能是 a ( ).

1 解析 当 a>1 时单调递增,且在 y 轴上的截距为 0<1- <1 时,故 A,B 不正确; a 1 当 0<a<1 时单调递减,且在 y 轴上的截距为 1- <0,故 C 不正确;D 正确. a 答案 D 2.(2014· 陕西质检三)函数 y=2x-2 x 是


(

).

A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 解析 令 f(x)=2x-2 x,则 f(-x )=2 x-2x=-f(x),所以函数是奇函数,排除 C,D.又
- -

函数 y=2x,y=-2 x 都是 R 上的增函数,由增函数加增函数还是增函数的结论可知 f(x)


= 2x-2 x 是 R 上的增 函数.


答案 A 3.(2014· 济南一模)若 a=30.6,b=log30.2,c=0.63,则 A.a>c>b C.c>b>a B.a>b>c D.b>c>a ( ).

解析 30.6>1,log30.2<0,0<0.63<1,所以 a>c>b,选 A. 答案 A 1 1 4.设 2a=5b= m,且 + =2,则 m 等于 a b ( ).
1

A. 10 C.20
a b

B.10 D.100

解析 ∵2 =5 =m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m ∴m= 10. 答案 A 5.函数 y=ax-b(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则 ab 的取值范围为 ( A.(1,+∞) C.(0,1) ).

B.(0,+∞) D.无法确定

解析 函数经过第二、 三、 四象限, 所以函数单调递减且图象与 y 轴的交点在负半轴上. 而
? ? ?0<a<1, ?0<a<1, 当 x=0 时,y=a0-b=1-b,由题意得? 解得? 所以 ab∈(0,1). ?1-b<0, ?b>1, ? ?

答案 C 二、填空题 6. a3 5 a· a4 (a>0)的值是______ __.

7.(2013· 盐城模拟)已知函数 f(x)=a x(a>0,且 a≠1),且 f(-2)>f(-3),则 a 的取值范围


是________. 1?x - 解析 因为 f(x)=a x=? ?a? ,且 f(-2)>f(-3),所以函数 f(x)在定义域上单调递增,所以 1 >1,解得 0<a<1. a 答案 (0,1)

a 8.函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 ,则 a 的值为________. 2 a 1 解析 当 0<a<1 时,a-a2= ,∴a= 或 a=0(舍去). 2 2 a 3 当 a>1 时,a2-a= ,∴a= 或 a=0(舍去). 2 2 1 3 综上所述,a= 或 . 2 2
2

答案

1 3 或 2 2

三、解答题 e x a 9.设 f(x)= + -x是定义在 R 上的函数. a e


(1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,求 a 的值. 解 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R, a? ex a ?e ∴f(-x)=-f(x),即 + x=-? a + -x?, a e e ? ? 1? x -x 整理得? ?a+a?(e +e )=0, 1 即 a+ =0,即 a2+1 =0,显然无解. a ∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),
x 1 ex a e a a- ?(ex-e-x)=0, 即 + x= + -x,整理得? a? ? a e a e
- -x

1 又∵对任意 x∈R 都成立,∴ 有 a- =0,得 a=± 1. a 10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值. 解 令 t=ax(a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). 1? ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=ax∈? ?a,a?, 1? 此时 f(t)在 ? ?a,a?上为增函数. 1? ?1 ?2 所以 f(t)max=f? ?a?=?a+1? -2=14. 1 ?2 1 1 所以? ?a+1? =16,所以 a=-5或 a=3. 1 又因为 a>0,所以 a= . 3 1 ? ②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=ax∈? ?a,a?, 1 ? 此时 f(t)在? ?a,a?上是增函数. 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 1 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a= 或 3. 3
3

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2014· 惠州质检)设 f(x)=|3x-1|,c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的 是 A.3c>3b C.3c+3a>2 B.3b>3a D.3c+3a<2 ( ).

解析 作 f(x)=|3x-1|的图象如图所示,由图可知,要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立, 则有 c<0 且 a>0,

∴3c<1<3a,∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1, 又 f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1, 即 3a+3c<2,故选 D. 答案 D
? ??1-3a?x+10a,x≤7, 2.(2014· 杭州质检)已知函数 f(x)=? x-7 ?a ,x>7 ?

是定义域上的递减函数,则实数 a 的取值范围是 1 1? A.? ?3,2? 1 2? C.? ?2,3? 解析 1 6? B.? ?3, 11? 1 6? D.? ?2,11?
??1-3a?x+10a,x≤7, ? ∵ 函 数 f(x) = ? x-7 ?a ,x>7 ?

(

).

是定义域上的递减函数,∴

1-3a<0, ? ? ?0<a<1, ? ??1-3a?×7+10a≥a0, 1 6 解得 <a≤ . 3 11 答案 B 二、填空题

1-3a<0, ? ? 即?0<a<1, ? ?7-11a≥1,

4

2x ? ?x>0?, ?e 3.已知实数 a≠1,函数 f(x)=? a-x 若 f(1-a)=f(a-1),则 a 的值为________. ?e ?x<0?, ?

解析

由 f(1-a)=f(a-1),1-a 和 a-1 互为相反数,得 e2(1

-a)

=ea

-(a-1)

(1-a>0),解

1 1 - - - 得 a= ,或 e2(a 1)=ea (1 a)(a-1>0),此方程无解,故 a= . 2 2 答案 1 2

三、解答题

4.已知函数 f(x)=

.

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.

解 (1)当 a=-1 时,f(x)= 令 t=-x2-4x+3=-(x+2 )2+7,



1?t 由于 t 在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而 y=? ?3? 在 R 上单调递 减,所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单调 递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). 1?h(x ). (2)令 h(x)=ax2-4x+3,则 f(x)=? 由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1, ?3? a>0, ? ? 因此必有? 4 解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. - +3=-1, ? ? a

5


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