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2.3.1直线、平面平行的判定及其性质


直线和平面平行 的判定

复习: 复习:直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内 )直线在平面内-----有无数个公共点 有无数个公共点

a ?α
(2)直线在平面外: )直线在平面外:

如图: 如图:

a

有 公 共 点

a

α
a

a ?α
α

和面α ①直线a和面α相交 : 直线 和面

.

A

如图: a ∩ α = A 如图:

和面α ②直线a和面α平行 : 直线 和面 如图: 如图:
α

公 共 点

线面位置关系

直线和平面平行: 直线和平面平行:一条直线与一个平 面没有公共点,叫做直线与平面平行。 面没有公共点,叫做直线与平面平行。
a

α
α

直线a平行于平面α a∥α. 直线a平行于平面α,记作 a∥α
画图时通常把表示直线的线段画在表示 图时通常把表示直线的线段画在表示 平面的平行四边形的外面 外面, 平面的平行四边形的外面,并且使它与平行 四边形的一边平行或与平行四边形内的一条 线段平行。 线段平行。

动手做做看 将课本的一边AB紧靠桌面 并绕AB转动 观察AB 紧靠桌面, 转动, 将课本的一边 紧靠桌面,并绕 转动,观察 的对边CD在各个位置时 在各个位置时, 的对边 在各个位置时,是不是都与桌面所在的平 面平行? 面平行? C D

直线AB、 各有什么特点呢 各有什么特点呢? 直线 、CD各有什么特点呢? 有什么关系呢? 有什么关系呢?
从中你能得出什么结论? 从中你能得出什么结论? A B

CD是桌面外一条直线, AB是桌面内一条 是桌面外一条直线, 是桌面外一条直线 是桌面内一条 直线, 直线, CD ∥ AB ,则CD ∥桌面 猜想: 猜想:如果平面外一条直线和这个平面内的一 条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理 定理:平面外的一条直线和平面内 定理:平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行, 的一条直线平行,则该直线和这个平 面平行。 面平行。

a ?α? ? 即 b ? α ? ? a // α ? a // b ?

a b α

例1.求证:空间四边形相邻两边中点的连 1.求证: 求证 线,平行于经过另外两边的平面. 平行于经过另外两边的平面. 已知:空间四边形ABCD ABCD中 已知:空间四边形ABCD中,E、F分别是 A AB、AD的中点. AB、AD的中点. 的中点 求证:EF//平面BCD. 平面BCD 求证:EF//平面BCD. F
E

分析: 在面 在面BCD外,要 分析:EF在面 外 证明EF∥ 证明 ∥面BCD,只要证明 , α EF和面 和面BCD内一条直线平行即 和面 内一条直线平行即 和面BCD哪一条直线平 可。EF和面 和面 哪一条直线平 行呢?连结BD立刻就清楚了。 行呢?连结 立刻就清楚了。 立刻就清楚了

D B C

已知:空间四边形ABCD, 已知:空间四边形ABCD,E、F分别是AB、 ABCD 分别是AB、 AB A AD的中点 AD的中点 求证: ∥平面BCD 求证:EF∥平面 E 证明: 证明: 中 连接BD, 连接 ,在△ ABD中
E、F分别是AB、AD的中点 分别是AB、AD的中点 AB
C F B D

EF ∥ BD 平面BCD BCD, EF ?平面BCD, 平面BCD BD 平面BCD


平面BCD EF ∥平面BCD

规范解题参考
证明: 连结BD
α
B E D C F

A

? AE = EB ? ? ? EF // BD ? AF = FD ? ? ? EF ? 平面 BCD ? ? EF BD ? 平面 BCD ? ? ? ?

//

平面 BCD

直线和平面平行的判定定理
定理:平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 定理:平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 则该直线和这个平面平行。 则该直线和这个平面平行。

a ?α b?α ? a∥ b ∥ 注明: 注明:

a a∥α b

α

1、定理三个条件缺一不可。 、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线线平行,则线面平行。 平行, 线面平行 平行。 、简记:线线平行 定理告诉我们:要证线面平行, 3、定理告诉我们:要证线面平行,得在面内找 一条线,使线线平行。 一条线,使线线平行。

再练一练
下列命题正确的个数是 (1)若直线 l上有无数个点不在平面 α 内,则 l // α ( 2)若直线 l与平面 α 平行,则 l与平面 α 内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条 直线与一个平面平行, 那么 另一条也与这个平面平 行 (4)若一直线 a 和平面 α 内一直线平行,则 a // α (A)个 0 (B)个 1 ( C )个 2 (D)个 3

A

小结
1、直线和平面平行的定义 2、直线和平面平行的判定
定理:平面外的一条直线和平面内 定理:平面外的一条直线和平面内的一 条直线平行,则该直线和这个平面平行。 条直线平行,则该直线和这个平面平行。

简记为: 简记为:
作用: 作用:判断或证明线面平行时 关键:在平面内找 或作 或作)一条直线与 关键:在平面内找(或作 一条直线与 面外的直线平行



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