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上海市2013年高考一模数学试题静安数学(文理)

静安区 2012 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 数学试卷(文理科合并)
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2013.1
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1 2? sin( 2ax ? ) 的最小正周期为 4? ,则正实数 a = 2 7 1 1 2.等比数列 ?an ? ( n ? N * )中,若 a 2 ? , a 5 ? ,则 a12 ? 16 2
1.已知函数 f ( x) ? 3. (理)两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 l 2 : 5x ? 12y ? 3 ? 0 的夹角大小为
1 2 3 n (文)求和: 3Cn ? 9Cn ? 27Cn ? ? ? 3n Cn =

. . .

.( n ? N * )

4. (理)设圆过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点 ,圆心在此双曲线上,则圆心到 9 16

双曲线中心的距离是 . (文)同理 3 5. (理)某旅游团要从 8 个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地,在甲和乙两个风 景点中至少需选一个,不考虑游览顺序,共有 种游览选择. (文) x , y 满足条件 ? 设
源:学&科&网]

?1 ? x ? y ? 3, 则点 ( x, y ) 构成的平面区域面积等于 ?? 1 ? x ? y ? 1,

.

[来

1 2 3 n 6. (理)求和: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn =

.( n ? N * )

? x ? y ? 5, ?3x ? 2 y ? 12, ? (文)设 x, y 满足约束条件 ? 使目标函数 z ? 6 x ? 5 y 的值最大的点 ( x, y ) 坐 ?0 ? x ? 3, ?0 ? y ? 4, ?
标是 .

7. (理) 设数列 ?an ? 满足当 an ? n 2( n ? N * ) 成立时, 总可以推出 an?1 ? (n ? 1) 成立. 下
2

列四个命题: (1)若 a3 ? 9 ,则 a4 ? 16 .

(2)若 a3 ? 10 ,则 a5 ? 25 .
开始

(3)若 a5 ? 25 ,则 a4 ? 16 . (4)若 an ? (n ? 1) 2 ,则 an?1 ? n 2 . 其中正确的命题是 (文) 设圆过双曲线 .(填写你认为正确的所有命题序号)

n←0,a←1/9, s←0 s←s+a a←3*a n←n+1 N s>100 Y 输出 s

x2 y2 ? ? 1 右支的顶点和焦点, 圆心在此双曲线 上, 9 16
.

则圆心到双曲线中心的距离是

8. (理)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? .若以极点为原点,极 轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

结束

理第 9 题

?x ? 2 ? t, ( t 为参数) 则此直线 l 被曲线 C 截得的线段长度 , ? ?y ? 3 ?t ? 2
为 . (文)同理 5 9. (理)请写出如图的算法流程图输出的 S 值

. .

(文)已知 a ? 0 ,关于 x 的不等式 ax2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 的解集是

10

. (









?



?













N A O B S
南 理第 11 题

1 ? sin ? ? cos? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? 2 , tan? tan? = 则 sin ? sin ?
(文)已知

.

? ? ? 、 ? 为 锐 角 , 且 (1 ? tan )(1 ? t a n ) ? 2 , 则
2 2
.

t an t an = ? ?

C

11. (理)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图所 示, “海宝”从圆心 O 出发,先沿北偏西 arcsin

12 方向行走 13 米至点 13

A 处,再沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处,点 B 、 C 都在圆 O 上.则在以圆心 O 为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向的直角
坐标系中圆 O 的方程为 .

(文)数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ( n ? N * ) ,对任意正整数 n ,数列 ?bn ? 的项都满 足等式 an?1 ? 2an an?1bn ? an ? 0 ,则 bn =
2 2

.

12. (理)过定点 F (4,0) 作直线 l 交 y 轴于 Q 点,过 Q 点作 QT ? FQ 交 x 轴于 T 点,延 长 TQ 至 P 点,使 QP ? TQ ,则 P 点的轨迹方程是 (文)同理 11 13. (理)已知直线 (1 ? a) x ? (a ? 1) y ? 4(a ? 1) ? 0 (其中 a 为实数)过定点 P ,点 Q 在 .

1 的图像上,则 PQ 连线的斜率的取值范围是 . x 2 (文) P 是函数 y ? x ? ( x ? 0 ) 设 的图像上任意一点, 过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴 x
函数 y ? x ? 作垂线,垂足分别为 A 、 B ,则 PA? PB 的值是 .

14. (理) 在复平面内, 设点 A、 所对应的复数分别为 ? i 、cos( 2t ? P 为虚数单位) 则当 t 由 ,

?
3

) ? i sin( 2t ?

?
3

)( i
.

??? ? ? ? 连续变到 时, 向量 AP 所扫过的图形区域的面积是 12 4

(文)设复数 z ? (a ? cos? ) ? (2a ? sin ? )i ( i 为虚数单位) ,若对任意实数 ? , z ? 2 , 则实数 a 的取值范围为 . 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (理)若复数 z1 z 2 ? 0 ,则 z1 z 2 ? z1 z 2 是 z 2 ? z1 成立的( )

(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分 条件 (文)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%,经过 x 年,绿化面积与原绿化面积 之比为 y,则 y=f(x)的图像大致为 ( )

16. (理) 等差数列 {an } 中, 已知 3a5 ? 7a10 , a1 ? 0 , 且 则数列 {an } 前 n 项和 S n( n ? N * ) 中最小的是( (A) S 7 或 S8 (文)同理 15 ) (B) S12 (C) S13 (D) S14

17. (理)函数 f ( x) ?

x 2 ? 6 x ? 12 ( x ? [3,5]) 的值域为( x?2
(B) [2,5] (C) [ ,3]



(A) [2,3] (文)函数 f ( x) ?

7 3

(D) [ , 4 ]

7 3

x 2 ? 2x ? 4 ( x ? [1,3]) 的值域为 x
(B) [2,5] (C) [ ,3]





7 7 (D) [ , 4 ] 3 3 18 . 理 ) 已 知 O 是 △ ABC 外 接 圆 的 圆 心 , A 、 B 、 C 为 △ ABC 的 内 角 , 若 ( cos B cos C AB ? AC ? 2m ? AO ,则 m 的值为 ( ) sin C sin B
(A) [2,3] (A) 1 (B) sin A (C) cos A (D) tan A

(文)已知向量 a 和 b 满足条件: a ? b 且 a ?b ? 0 .若对于任意实数 t ,恒有

a ? t b ? a ? b ,则在 a 、 b 、 a ? b 、 a ? b 这四个向量中,一定具有垂直关系的两
个向量是( ) (B) b 与 a ? b (C) a 与 a ? b (D) b 与 a ? b

(A ) a 与 a ? b

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (理) (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 5 分.
[来源:学。科。网]

G

某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所 N M 示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米, C BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△ D EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通 风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸 A B E 缩横杆. (理 19 题) (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S (平方米)表示成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值.

(文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 的递推公式为 ?a n ? 3a n ?1 ? 2n ? 3, (n ? 2, n ? N * )

? ?a1 ? 2.

(1)令 bn ? an ? n ,求证:数列 {bn } 为等比数列; (2)求数列 {an } 的前 n 项和.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. (理)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边长,a,b,c 成等比 数列. (1)求 B 的取值范围; (2)若 x = B,关于 x 的不等式 cos2x?4sin( 的取值范围. ( 文 ) 已 知 a, b, c 分 别 为 △ ABC 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 长 , 且

?
4

?

x ? x )sin( ? )+m>0 恒成立,求实数 m 2 4 2

3 a cos B ? b cos A ? c . 5 tan A (1)求: 的值; tan B
0 (2)若 A ? 60 , c ? 5 ,求 a 、 b .

21. (理) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an .

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 、 a2 、 a3 ; (2)试求出数列 {an } 的任一项 an 与它的前一项 a n ?1 间的递推关系.是否存在满足条件 的无穷数列 {an } , 使得 a2013 ? ?2012?若存在, 求出这样的无穷数列 {an } 的一个通项公式; 若不存在,说明理由.
[来源:Z&xx&k.Com]

(文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 某仓库为了保持库内的湿度和温度, 四周墙上均装有如图所示的自动通风设施. 该设施 的下部 ABCD 是正方形, 其中 AB=2 米; 上部 CDG 是等边三角形, G 固定点 E 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角 通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑动且 始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. N M (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S (平方米)表示成关于 x 的函数; C D (2)求△EMN 的面积 S(平方米) 的最大值.

A

E (文 21 题)

B

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 已知椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 的两个焦点为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) , c 2 是 a 2 与 b 2 的等差中项, 2 a b

其中 a 、 b 、 c 都是正数,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程;

3 . 2

(2) (理)点 P 是椭圆上一动点,定点 A1 (0,2) ,求△ F1 PA 面积的最大值; 1 (文)过点 A 作直线交椭圆于另一点 M ,求 AM 长度的最大值; (3)已知定点 E (?1,0) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆交于 C 、 D 相异两点.证明:对任意的

t ? 0 ,都存在实数 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.

23. (理) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 函数 y ? f (x) ,x ? D , 其中 D ? ?. 若对任意 x ? D , f ( x ) ? f ( x) , 则称 y ? f (x) 在 D 内为对等函数. (1)指出函数 y ?

x , y ? x3 , y ? 2 x 在其定义域内哪些为对等函数;

(2) 试研究对数函数 y ? loga x( a ? 0 且 a ? 1 ) 在其定义域内是否是对等函数?若是, 请说明理由;若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使 y ? loga x 在所给集合内成为对 等函数; (3)若 ?0? ? D , y ? f (x) 在 D 内为对等函数,试研究 y ? f (x) ( x ? D )的奇偶性. (文) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3

小题满分 6 分. 已知 f ( x) ? log 1 x ,当点 M ( x, y ) 在 y ? f (x) 的图像上运动时,点 N ( x ? 2, ny) 在函
2

数 y ? g n (x) 的图像上运动( n ? N * ) . (1)求 y ? g n (x) 的表达式; (2)若方程 g1 ( x) ? g 2 ( x ? 2 ? a) 有实根,求实数 a 的取值范围; ( 3 ) 设 H n ( x) ? 2
5

gn ( x)

, 函 数 F ( x) ? H1 ( x) ? g1 ( x) ( 0 ? a ? x ? b ) 的 值 域 为

[log2

4 2 2 , log2 ] ,求实数 a , b 的 值. b?2 a?2

高三年级
说明

文理科数学试卷答案及评分标准

1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准 的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅, 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容 和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半, 如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分 数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位.

答案及评分标准 1 1. a ? ; 2.64; 4 16 4. (理) ; (文)同理 3 3
(2,3)
7. (理) (3) )(文) (2) (4 ;

3. (理) arccos

33 n ; (文) 4 ? 1 65
6. (理) n ? 2
n ?1

5. (理)13; (文)2

; (文)

16 3

8. (理)4; (文)同理 5

9. (理)

1093 ; (文) 9

2 ( ,2) a
10. (文理) 1; (文)同理 11 13. (理)[?3,??) ; (文)?1 14. (理) 11. (理)x 2 ? y 2 ? 225; (文)bn ?

4n 2 ? 1 ; 12. (理)y 2 ? 16x ; 2 4n ? 1

? 5 5 , ]. ; (文)[? 6 5 5

G

15. (文理)D; 16. (理)C; (文)D; 17. (文理)A ;18. (文 理)B D 19(理)解: (1) ① 如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动, M 即 0<x≤1 时, A 1 △EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; ·········· 1 分 ·········· ·········· 2 ② 如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 1<x< 1? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵E 为 AB 中点, ∴F 为 CD 中点,GF⊥ CD,且 FG= 3 .
A M D

C N E B

图1
G

H F

N C

E

B

图2

又∵MN∥ CD, ∴△MNG∽△DCG. ∴ MN ? GH ,即 MN ? 2[ 3 ? 1 ? x] .········· 4 分 ········· ········· DC GF 3 故△EMN 的面积 S= 1 ? 2[ 3 ? 1 ? x] ? x 2 3 = ? 3 x 2 ? (1 ? 3 ) x ; ················· 分 ··········· ····· 6 ·········· ······ 3 3 综合可得:

? x, ? 0<x ≤1? ? S ?? 3 2 ? 3? 1 ?? 3 x ? ?1 ? 3 ? x. 1<x< ? 3 ? ? ? ? ?

?

?

··········· ··········· 分 ··········· ·········· 7 ·········· ···········

(2)① MN 在矩形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 1 ; ··············· 分 当 ··········· ···· ·········· ···· 8 ② MN 在三角形区域滑动时,S= ? 当

3 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

1 3 ? 1? 3 3 (平方米). 因而,当 x ? (米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2 2 1 3 ∵ ? ? 1, 2 3 ∴S 有最大值,最大值为 1 ? 3 平方米. ························· 分 ························ 12 ·········· ··········· ··· 2 3
(文) (1) n ? an ? n ? 3an?1 ? 2n ? 3 ? n ? 3an?1 ? 3n ? 3 ? 3(an?1 ? (n ? 1)) ? 3bn?1 , 解: b

n?2
又 b1 ? a1 ? 1 ? 1 ,所以 bn ? 0 ( n ? N * ) ,

bn ? 3(n ? 2) bn?1

所以,数列 {bn } 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列. ··················· 分 ··········· ······· 6 ·········· ········ (2) bn ? 3n?1 , an ? bn ? n ······························· 8 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· 所以数列 {an } 的前 n 项和 S n ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) =

3n ? n 2 ? n ? 1 . 2

[来源:学科网]

··············································· 14 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ·········· ····· 20(理)解: (1)∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac ····················· 分 ··········· ········· 1 ·········· ·········· 则 cosB=
a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac = ··········· ··········· ········ 分 ··········· ·········· ········ 3 ·········· ··········· ········ 2ac 2ac a 2 ? c 2 ? ac 1 ac 1 ≥ ? ,等号当且仅当 a=c 时取得,即 ≤cosB<1, 2ac 2 2ac 2

而 a2+c2≥2ac∴cosB= 得到 0 ? B ?

?
3

. ··········· ··········· ·········· ······· 分 ··········· ·········· ··········· ······ 7 ·········· ··········· ··········· ······
π x π x π x π x ? )sin( ? )=cos2x?4sin( ? )cos( ? ) 4 2 4 2 4 2 4 2

(2)cos2x?4sin(

=2cosx2?2cosx?1=2(cosx? ∵x=B ∴2(cosx? ∴

1 2 3 ) ? ······························11 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 2 2

1 ≤cosx<1 2

1 2 3 3 ) ? ≥? 2 2 2 3 3 即 m> ······························ 14 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· 2 2
2

则由题意有:?m<?

(说明:这样分离变量 m ? 2 cos x ? cos2 x ? ?2 cos x ? 2 cos x ? 1 参照评分) (文)解: (1)由正弦定理 2分 又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ,所以 可得

a b c 3 ? ? 得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C , sin A sin B sin C 5 2 8 sin A cos B ? sin B cos A ,5 分 5 5

tan A sin A cos B ? ? 4 . ··········· ··········· ········ 7 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· tan B sin B cos A 1 3 3 0 (2)若 A ? 60 ,则 sin A ? , cos A ? , tan A ? 3 ,得 t anB ? ,可得 2 4 2 3 ? 19 4 19 , sin B ? . ··········· ··········· ······ 分 ··························· 10 ·········· ··········· ······ cos B ? 19 19

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
由正弦定理

5 3 ? 19 , 38

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C c c a? ? sin A ? 19 , b ? ? sin B ? 2 ····················· 分 ···················· 14 ·········· ·········· sin C sin C
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

21(理)解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? a1 ,由 a1 ? 0 得 a1
2 3 3

? 1 . ···················· 分 ·········· ·········1

当 n ? 2 时 , (1 ? a2 ) 2 ? 1 ? a2 , 由 a 2 ? 0 得 a 2 ? 2 或 a2 ? ?1 . 当 n ? 3 时 ,
3 3 (1 ? a2 ? a3 ) 2 ? 1 ? a2 ? a3 ,若 a2 ? 2 得 a3 ? 3 或 a3 ? ?2 ;若 a2 ? ?1 得 a3 ? 1 ; 5 分

综上讨论,满足条件的数列有三个: 1,2,3 或 1,2,?2 或 1,?1,1. ···························· 6 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· (2)令 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ( n ? N * ) .
2 3 3 3

从而 (S n ? an?1 ) 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 . ···················· 7 分 ··········· ········· ·········· ··········
3 3 3 3

两式相减,结合 an?1 ? 0 ,得 2S n ? an?1 ? an?1 .···················· 分 ··········· ········· ·········· ········· 8
2

当 n ? 1 时, (1) a1 ? 1 ; n ? 2 时,2an ? 2(S n ? S n?1 ) = (an?1 ? an?1 ) ? (an ? an ) , 由 知 当
2 2

即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 ,所以 an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1. ·········· 分 ········· 12 ········· 又 a1 ? 1 , a2013 ? ?2012,所以无穷数列 ?an ? 的前 2012 项组成首项和公差均为 1 的等差

数列,从第 2013 项开始组成首项为?2012,公比为?1 的等比数列.故

(1 ? n ? 2012 ) ?n . ··········· ··········· ······ 分 ··························· 14 ·········· ··········· ······ an ? ? n ) ?2012? (?1) (n ? 2012
(说明:本题用余弦定理,或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得,请参照评分) G (文)解: (1) ① 如图 1 所示,当 MN 在正方形区域滑动, 即 0<x≤2 时, 1 △EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; ·········· 2 分 ·········· ·········· 2 C D ② 如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动,
M N

即 2<x< 2 ? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵E 为 AB 中点, ∴F 为 CD 中点,GF⊥ CD,且 FG= 3 . 又∵MN∥ CD, ∴△MNG∽△DCG.

A

E

B

图1
G

2( 3 ? 2 ? x) ∴ MN ? GH ,即 MN ? . ······· 分 ······ 5 ······
DC GF

M D

3

H F

N C

故△EMN 的面积 S=

1 2( 3 ? 2 ? x) ? ?x 2 3
A E B

= ? 3 x 2 ? (1 ? 2 3 ) x ; ················7 分 ··········· ····· ·········· ····· 3 3 综合可得:

图2

? x, 0 ? x ? 2 ? S ?? 3 2 2 3 x ? (1 ? ) x,2 ? x ? 2 ? 3 ?? 3 ? 3

··········· ··········· 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 8

说明:讨论的分段点 x=2 写在下半段也可. (2)① MN 在正方形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 2 ;············· 分 当 ··········· ·· ············ 10 ② MN 在三角形区域滑动时,S= ? 当 因而,当 x ? 1 ?

3 2 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

3 ,S ? 2 (米) 在 (2,2 ? 3) 上递减,无最大值, 0 ? S ? 2 . 2 所以当 x ? 2 时,S 有最大值,最大值为 2 平方米. ···················14 分 ··········· ········ ·········· ········
22.解: (1)在椭圆中,由已知得 c ? a ? b ?
2 2 2

a2 ? b2 ··········· ····· 分 ··········· ····· ·········· ····· 1 2

过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线方程为

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 ,该直线与原点的 a ?b

距离为

3 ab 3 ,由点到直线的距离公式得: ··········· ····· 3 分 ··········· ····· ·········· ······ ? 2 2 a2 ? b2
x2 y2 ? ? 1 ··········· ········ 4 分 ··········· ········ ·········· ········· 3 1

解得: a 2 ? 3, b 2 ? 1 ;所以椭圆方程为

(2) (理) F1 (? 2 ,0) ,直线 F1 A1 的方程为 y ?

2 x ? 2 , F1 A1 ? 6 ,当椭圆上的点 P

到直线 F1 A1 距离最大时,△ F1 PA 面积取得最大值 ···················· 6 分 ··········· ········· ·········· ·········· 1 设与 直线 F1 A1 平行 的直线方程为 y ?

2 x ? d , 将其代 入椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 得: 3 1

7 2 28 28 2 x ? 2d 2 x ? d 2 ? 1 ? 0 ,? ? 0 , 8d 2 ? d 2 ? ? 0, 即 解得 d ? 7 , d ? ? 7 当 3 3 3
时 , 椭 圆 上 的 点 P 到 直 线 F1 A1 距 离 最 大 为

2? 7 3

, 此 时 △ F1 PA 面 积 为 1

1 2 ? 7 2 2 ? 14 ··········· ··········· ·········· · 分 ··········· ·········· ··········· 9 ·········· ··········· ··········· 6 ? 2 2 3
(文)设 M ( x, y ) ,则 x 2 ? 3(1 ? y 2 ) , AM
2

? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ?2 y 2 ? 2 y ? 4 ,其中

? 1 ? y ? 1 ··········· ··········· ·········· ·········· 6 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ·········· ··········· ··········· ··········
当y?

1 9 3 2 2 时, AM 取得最大值 ,所以 AM 长度的最大值为 ·········· 9 分 ·········· ·········· 2 2 2

2 2 2 (3)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 ,由直线与椭圆有两

个交点,所以 ? ? (6kt) 2 ? 12(1 ? 3k 2 )(t 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ?
2

t 2 ?1 ········· 11 分 ········· ········· 3

设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

6kt 3(t 2 ? 1) , x1 ? x 2 ? ,因为以 CD 为直径 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

的圆过 E 点,所以 EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 , ··········· 13 分 ··········· ·········· · 而 y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) = k x1 x2 ? tk ( x1 ? x2 ) ? t ,所以
2 2

(k 2 ? 1)

3(t 2 ? 1) 6kt 2t 2 ? 1 ? (tk ? 1) ? t 2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ··········· 14 分 ··········· ·········· · 3t 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

如果 k ?
2

t 2 ?1 对任意的 t ? 0 都成立,则存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. 3

(

2t 2 ? 1 2 t 2 ? 1 (t 2 ? 1) 2 ? t 2 t 2 ?1 ) ? ? ? 0 , k2 ? 即 . 所以, 对任意的 t ? 0 , 都存在 k , 3t 3 3 9t 2

使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. ···························· 分 ··························· 16 ·········· ··········· ······ 23(理)解: (1) y ? ··········· ·········· ·········· ·········· x , y ? x3 是对等函数; ·····················4 分
a

(2) 研究对数函数 y ? loga x , 其定义域为 (0,??) , 所以 loga x ? loga x , o 又 lg

x ?0,

所以当且仅当 lo ga x ? 0 时 f ( x ) ? f ( x) 成立.所以对数函数 y ? lo ga x 在其定义域

(0,??) 内不是对等函数. ·································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · 6
当 0 ? a ? 1 时,若 x ? (0,1] ,则 loga x ? 0 ,此时 y ? loga x 是对等函数; 当 a ? 1 时,若 x ? [1,??) ,则 loga x ? 0 ,此时 y ? loga x 是对等函数; 总之,当 0 ? a ? 1 时,在 (0,1] 及其任意非空子集内 y ? loga x 是对等函数;当 a ? 1 时, 在 [1,??) 及其任意非空子集内 y ? loga x 是对等函数. ················· 10 分 ··········· ······ ·········· ······· (3)对任意 x ? D ,讨论 f (x) 与 f (? x) 的关系. 1)若 D 不关于原 点对称,如 y ? ···· ···· x 虽是对等函数,但不是奇函数或偶函数; ···· 11 分

2)若 D ? ?0? ,则 f (0) ? f (0) ? 0 .当 f (0) ? 0 时, f (x) 既是奇函数又是偶函数;当

f (0) ? 0 时, f (x) 是偶函数. ······························ 13 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ·········
3)以下均在 D 关于原点对称的假设下讨论. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? f ( x) ? f ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时,f ( x ) ? f (?x) ? f ( x) , f ( x) ? f ( x) , 若 则有 f (? x) ? f ( x) ; 此时, x ? 0 当 时, ? x ? 0 ,令 ? x ? t ,则 x ? ?t ,且 t ? 0 ,由前面讨论知, f (?t ) ? f (t ) ,从而

f ( x) ? f ( ? x) ;
综上讨论,当 x ? 0 时,若 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 是偶函数. ················ 分 ··············· 15 ·········· ·····

? 若当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 , f ( x ) ? f (? x) ? f ( x) ? ? f ( x) ; 则 此时, x ? 0 时, x ? 0 , 当

令 ? x ? t ,则 x ? ?t ,且 t ? 0 ,由前面讨论知, f (?t ) ? ? f (t ) ,从而 f ( x) ? ? f (? x) ; 若 f (0) ? 0 ,则对任意 x ? D ,都有 f (? x) ? ? f ( x) . 综上讨论, 若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , f (0) ? 0 , f (x) 是奇函数. f (0) ? 0 , f (x) 且 则 若 则 不是奇函数也不是偶函数. ································· 分 ································ 18 ·········· ··········· ··········· ( 文 ) 解 :( 1 ) 由 ?

? y ? f ( x ), 得 g n ( x ? 2) ? nf ( x) ? n log 1 x , 所 以 ?ny ? g n ( x ? 2) 2

( ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· g n ( x) ? n log1 ( x ? 2) , x ? ?2 ) . ···························4 分
2

(2) log1 ( x ? 2) ? 2 log1 ( x ? a) ,即 x ? 2 ? x ? a ( x ? 2 ? 0 )·········· 分 ·········· ········· 6
2 2
2 令 所以 a ? ?t ? t ? 2 ? a ? ?x ? x ? 2 , t ? x ? 2 ? 0 ,

9 7 9 , x ? ? 时,a ? . 当 即 4 4 4

实数 a 的取值范围是 (?? , ] ································10 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· (3)因为 H n ( x) ? 2
n log 1 ( x ? 2 )
2

9 4

?

1 1 ,所以 F ( x) ? ? log1 ( x ? 2) . n x?2 ( x ? 2) 2

F (x) 在 (?2,??) 上是减函数. ······························· 分 ······························ 12 ·········· ··········· ·········
4 ? 1 4 2 ? 2 ? log 1 (a ? 2) ? log2 ? ? F (a) ? log2 a?2 ?a ? 2, ? a ? 2 即 ?a ? 2 2 所以 ? ,所以 ? ···· 分 ···· ··· 16 ? 5 5 1 2 2 ?b ? 3 ? ? F (b) ? log ? log 1 (b ? 2) ? log2 2 ? b?2 b ? 2 ?b ? 2 ? 2 ?



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