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江西省2015届高三数学理一轮复习备考试题:概率与统计

江西省 2015 届高三数学一轮复习备考试题 概率与统计
一、选择题 1、(2014 年江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之 间的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性 最大的变量是 www.21-cn-jy.com

2、 (2013 年江西高考)总体有编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表 选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取 两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 2·1·c·n·j·y 7816 3204 A.08 6572 9234 B.07 0802 4935 6314 8200 C.02 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481

D.01 www-2-1-cnjy-com

3、(2012 年江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不 超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 2-1-c-n-j-y 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面 积(单位:亩)分别为 21*cnjy*com A.50,0 B.30.0 C.20,30 D.0,50
4、 (井冈山中学 2015 届高三第一次月考)统计甲、乙两名篮球运动员

9 场比赛得分情

况得到茎叶图如图所 示,设甲、乙得分平均数分别为 甲,M 乙,则 下列判断正确的是【来源:21CNJ*Y.CO*M】

中位数分别为 M

A. C.

B. D.

5、(江西省九所重点中学 2014 届高三 3 月联考)月底,某商场想通过抽取发票的 10%来 估计该月的销售总额.先将该月的全部销售发票存根进行了编号:1,2,3,?,然后拟 采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号为 1,2,?,10 的前 10 张发票存根中随 机抽取一张, 然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第二张、 第三张、 第四张、 ?, 则抽样中产生的第二张已编号的发票存根,其编号不可能是 21·世纪*教育网 A.13 B.17 C.19 D.23 6、(上饶市 2014 届高三第二次模拟)某小卖部销售一品牌饮料的零售价狓(元/瓶)与销 量狔(瓶)的关系统计如下:【版权所有:21 教育】

已知 x, y 的关系符合线性回归方程 y=bx+a. 其中 b=-20. a= y ? bx .当单价为 4. 2 元时,估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为 21 教育名师原创作品 A.20 B.22 C.24
2 2 2

D.26

7 、若实数 a, b 满足 a + b ≤ 1 ,则关于 x 的方程 x - 2 x + a + b = 0 有实数根的概率是

( A.



1 4

B.

3 4

C.

3π + 2 4π

D.

π- 2 4π

8、某游戏规则如下:随机地往半径为 1 的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于

1 ,则 2 1 1 成绩为及格; 若飞标到圆心的距离小于 , 则成绩为优秀; 若飞标到圆心的距离大于 4 4 1 且小于 ,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 2
( A. )21 世纪教育网版权所有

3 16

B.

1 4

C.

3 4

D.

1 16

9、将正整数 1, 2,3, 4,5, 6, 7 随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等

的概率是(

) B.

2 A. 21

4 63

C.

1 21

D.

2 63


10 、 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是

) A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

二、填空题 1、(2014 年江西高考)10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是________. 2、 (红色六校 2015 届高三第一次联考) 如图, 矩形 OABC 内的阴影部分由曲线 f ? x ? ? sin x 及直线 x ? a ?a ? (0, 部分的概率为

? ]? 与 x 轴围成的区域,向矩形 OABC 内随机掷一点,该点落在阴影


1 ,则 a ? 2

3、(吉安一中 2014 届高三下学期第一次模拟)向平面区域 ( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 1内
3 ? ? x (0 ? x ? 1) 随机投入一点,则该点落在曲线 y ? ? 下方的概率为_________。 2 2 ? x (1 ? x ? 2) ? ?

4、 (南昌三中 2014 届高三第七次考试)掷均匀硬币 5 次,则总共掷出 3 次正面且在整个投 掷过程中掷出反面的次数总是小于正面次数的概率是
2 5、 (南昌铁路一中 2014 届高三第二轮复习测试)已知正数 a , b 均不大于 4,则 a ? 4b 为非

负数的概率为 三、解答题

21*cnjy*com

? 1、 (2014 年江西高考) 随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n ? 2 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,

?

?

每组 n 个数, A 组最小数 为 a1 ,最大 数为 a 2 ; B 组最 小数为 b1 , 最大数为 b2 , 记

? ? a2 ? a1,? ? b1? b2

(1)当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件 ? 与 ? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 P (C ) ; (3)对(2)中的事件 C, C 表示 C 的对立事件,判断 P (C ) 和 P(C ) 的大小关系,并说明理 由。

2、(2013 年江西高考)小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队。游戏规 则为:以 O 为起点,再从 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6, A 7, A 8 , (如图)这 8 个点中任取两点分别为终 点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X .若 X ? 0 就参加学校合唱团,否则就参加学 校排球队。【出处:21 教育名师】 (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求 X 的分布列和数学期望。

3、(2012 年江西高考)如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0), C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成 一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面 内,此时“立体”的体积 V=0)。

(1)求 V=0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望。 4、(红色六校 2015 届高三第一次联考)在 2013 年全国高校自主招生考试中,某高校设计 了一个面试考查方案: 考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题, 按照题目要求独立回答全 部问题.规定:至少正确回答其中 2 题的便可通过.已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确 2 回答,2 题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为 ,且每题正确回答与否互不影响. 3 (I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其数学期望; (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力. 4 名女同学. 5、 (井冈山中学 2015 届高三第一次月考) 某大学志愿者协会有 6 名男同学, 在 这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的 七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选 到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 6、(南昌三中 2015 届高三上学期第一次月考)甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝,每

人各投 4 个球,甲投篮命中的概率为

1 2 ,乙投篮命中的概率为 . 2 3

(1)求甲至多命中 2 个且乙至少命中 2 个的概率; (2)若规定每投篮一次命中得 3 分,未命中得 ? 1 分,求乙所得分数? 的概率分布和数学 期望.
7、(2014 届江西省高三 4 月模拟)某市对个体户自主创业给予小额贷款补贴,每户贷款额 为 2 万元,贷款期限有 6 个月、12 个月、18 个月、24 个月、36 个月五种,这五种贷款期限 政府分别需要补助 200 元、300 元、300 元、400 元、400 元,从 2013 年享受此项政策的个 体户中抽取了 100 户进行调查统计,其贷款期限的频数如下表: 贷款期 限 6 个月 12 个月 18 个月 24 个月 36 个月

频数

20

40

20

10

10

以上表各种贷款期限的频率作为 2014 年个体户选择各种贷款期限的概率 (1)某小区 2014 年共有 3 户准备享受此项政策,计算其中恰有两户选择贷款期限为 12 个月的概率; (2)设给某享受此项政策的个体户补贴为ζ 元,写出ζ 的分布列,若预计 2014 年全市 有 3.6 万户享受此项政策,估计 2014 年该市共要补贴多少万元。

8、(吉安一中 2014 届高三下学期第一次模拟)QQ 先生的鱼缸中有 7 条鱼,其中 6 条青鱼 和 1 条黑鱼, 计划从当天开始, 每天中午从该鱼缸中抓出 1 条鱼 (每条鱼被抓到的概率相同) 并吃掉。若黑鱼未被抓出,则它每晚要吃掉 1 条青鱼(规定青鱼不吃鱼)。 (1)求这 7 条鱼中至少有 5 条被 QQ 先生吃掉的概率; (2)以 ? 表示这 7 条鱼中被 QQ 先生吃掉的鱼的条数,求 E? 。 9、 (南昌三中 2014 届高三第七次考试)八一商场进行促销活动,促销方案为顾客消费 1000 元,便可获 得奖券一张,每张奖券中奖的概率为

1 ,中奖后商场返还顾客现金 1000 元. 顾客甲 5

购买一台价格 2400 元的手机,只能得 2 张奖券,于是甲补偿 50 元给同事购买价格 600 元的商品(甲可以得到三张奖券),甲抽奖后实际支出为 ? (元). (1)求 ? 的分布列; (2)试说明甲出资 50 元增加 1 张奖券是否划算. 10、(江西省九所重点中学 2014 届高三 3 月联合考)甲乙丙丁 4 人玩传球游戏,持球者将 球等可能的传给其他 3 人,若球首先从甲传出,经过 3 次传球. (1)求球恰好回到甲手中的概率; (2)设乙获球(获得其他游戏者传来的球)的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

参考答案: 一、选择题 1、D 2、D 二、填空题

3、B 4、C

5、D

6、D

7、C 8、A

9、B 10、C

1、

1 2

2、 ?

3、

4、

1 5

5、

1 3

三、解答题 1、【解析】(1)随机变量 ? 的取值所有可能是:2,3,4,5

P ?? ? 5 ? ? P ?? ? 3? ?

4 1 4 1 ? ; P ?? ? 2 ? ? 3 ? 3 C6 5 C6 5 6 3 ? 3 C6 10 P ?? ? 4 ? ? 6 3 ? 3 C6 10

? 的分布列为:

?
P
所以, ? 的数学期望为

2

3

4

5

1 5

3 10

3 10

1 5

1 3 3 1 7 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 5 10 10 5 2
2)事件 ? 与 ? 的取值恰好相等的基本事件:



P ?c? ? 2?

1 2 3 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? n C2 n

n ?2 ? C2( n ?2)

? n ? 3?

n ? 2 时,

P ?c? ? 2?

2 2 ? 2 C4 3

??? 1 ? P ?c? ? P ? c ? ? 1 ? ? P c P c 3)因为 ? ? ,所以要比较 ? ? 与 P ? c ? 的大小,实际上要比较 ? ? 与 2 的 ? ?

大小, 由

P ?c? ? 2?

1 2 3 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? n C2 n
?

n ?2 ? C2( n ?2)

? n ? 3?
?

可知,

当 n ? 2 时, P ? c ? ? P ? c ?

? ? ? ?

当 n ? 3 时, P ? c ? ? P ? c ?

? ? ? ?

2 2、解:(1)从 8 个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有 C8 ? 28 种, ? ? 0 时,两向量

夹角为直角共有 8 种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为 P( ? ? 0) ?

8 2 ? 。 28 7

(2)两向量数量积 ? 的所有可能取值为 ?2, ?1,0,1, ? ? 2 时,有两种情形; ? ? 1 时,有 8 种

情形; ? ? ?1 时,有 10 种情形。所以 ? 的分布列为:【来源:21·世纪·教育·网】

0 ?1 5 2 P 14 7 1 5 2 2 3 E ? ? (?2) ? +(?1) ? ? 0 ? ? 1? ? ? 。 14 14 7 7 14

?

?2 1 14

1 2 7

3 3、解:(1)从 6 个点中随机地选取 3 个点共有 C6 ? 20 种选法,选取的 3 个点与原点 O 1 3 在同一个平面上的选法有 C3 C4 ? 12 种,因此 V=0 的概率 P(V ? 0) ?

12 3 ? 20 5

(2)V 的所有可能值为 0, , , , V 0

1 1 2 4 ,因此 V 的分布列为 6 3 3 3 1 1 2 4 6 3 3 3
1 20 3 20 3 20 1 20

P

3 5

由 V 的分布列可得: EV= 0 ?

3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40

4、解:(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为 ξ、η,则 ξ 的可能取值为 1,2,3,?? 1分 2 1 0 C1 1 C2 C3 1 4C2 4C2 3 4C2 P(ξ=1)= 3 = ,P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3 = , ??????3 分 C6 5 C6 5 C6 5 ∴考生甲正确完成题数的分布列为 ξ P 1 1 5 2 3 5 3 1 5

1 3 1 Eξ=1× +2× +3× =2. ??????4 分 5 5 5 2 2 1 3-k 2 又 η~B(3, ),其分布列为 P(η=k)=Ck ( )k· ( ) ,k=0,1,2,3;∴Eη=np=3× =2.? 3· 3 3 3 3 1 3 1 2 2 1 2 6 分(II)∵Dξ=(2-1)2× +(2-2)2× +(2-3)2× = ,Dη=npq=3× × = ,??????8 5 5 5 5 3 3 3 3 1 12 8 分∴Dξ<Dη.∵P(ξ≥2)= + =0.8,P(η≥2)= + ≈0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2).?????? 5 5 27 27 10 分 21 教育网 从回答对题数的数学期望考查,两人水平相当;从回答对题数的方差考查,甲较稳定;从至 少完成 2 题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较 强.??????12 分 21cnjy.com 5、解:(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则

2 0 3 C1 3·C7+C3·C7 49 P(A)= =60, C3 10

49 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为60. (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. 3-k Ck 4·C6 3 P(X=k)= C10 (k=0,1,2,3), 所以随机变量 X 的分布列是 X P 0 1 6 1 1 2 2 3 10 3 1 30

1 1 3 1 6 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×6+1×2+2×10+3×30=5. 6、解:( 1)设“甲至多命中 2 个球”为事件 A,“乙至少命中两个球”为事件 B,由 题意得,

1 1 1 11 1 1 1 2 1 2 P( A) ? ( ) 4 ? C 4 ( ) ? ( ) 3 ? C4 ( ) ? ( )2 ? 2 2 2 2 2 16 1 1 2 8 2 2 2 3 2 3 P( B) ? C 4 ( ) ? ( ) 2 ? C4 ( ) ? ? ( )4 ? 3 3 3 3 3 9
∴甲至多命中 2 个球且乙至少命中 2 个球的概率为 P ( A) ? P ( B ) ? (2)? ? ?4,0,4,8,12 ,分布列如下:

11 8 11 ? ? 16 9 18

1 1 8 1 2 1 3 P ( ? =-4 ) = ( )4 ? , P ( ? =0 ) = C4 , ( )( ) ? 3 81 3 3 81 24 2 2 2 1 2 = C4 ( ) ( ) ? , 3 3 81 32 2 16 3 2 3 1 P( ? =8)= C4 , P(? =12)= ( )4 ? ( ) ( )? 3 81 3 3 81 ? 8 0 ?4 4 12 [

P ( ? =4 )

P

1 81

8 81

24 81

32 81

16 81

E? ? ?4 ?

1 8 24 32 16 20 ? 0? ? 4? ? 8? ? 12 ? ? 81 81 81 81 81 3
2分

7、解:(1)由已知得一个体户选择贷款期限为 12 个月的概率是 0.4,

所以小区 2014 年准备享受此项政策的 3 户恰有两户选择贷款期限为 12 个月的概率是
1 2 P 1 ? C3 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.288 ;

6分 9分

(2) P(? ? 200) ? 0.2, P(? ? 300) ? 0.6, P(? ? 400) ? 0.2 ,

所以 ? 的分布列是:

?
P

200 0.2 11 分

300 0.6

400 0.2

E? ? 300 (元)。

所以估计 2014 年该市共要补贴 1080 万元。

12 分

8、解:(1)QQ 先生能吃到的鱼的条数 ? 可取 4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到 4 条 鱼:前 3 天各吃掉 1 条青鱼,其余 3 条青鱼被黑鱼吃掉,第 4 天 QQ 先生吃掉黑鱼,其概率 为 21· cn· jy· com

6 4 2 16 P(? ? 4) ? ? ? ? 7 5 3 35
故 QQ 先生至少吃掉 5 条鱼的概率是 P (? ? 5) ? 1 ? P (? ? 4) ? (2)与(1)相仿地可得, (6 分)

19 。 35

6 4 1 8 6 1 6 1 5 P(? ? 5) ? ? ? ? , P(? ? 6) ? ? ? , P(? ? 7) ? ? 7 5 3 35 7 5 35 7 35
故 E? ?

4 ?16 5 ? 8 6 ? 6 7 ? 5 ? ? ? ? 5 ,故所求期望值为 5。(12 分) 35 35 35 35

9、解:(1) ? 的所有可能取值为 2450,1450,450,-550 ,

P(? ? 2450) ? ( )3 ?

?

64 125 1 4 12 P(? ? 450) ? C32 ( ) 2 ? ( ) ? 5 5 125
分布列为

4 5

1 P(? ? 1450) ? C3 ( ) ? ( )2 ?

1 4 48 5 5 125 1 1 P(? ? ?550) ? C33 ( )3 ? , 5 125

(2) E?

? 2450 ?

64 48 12 1 ? 1450 ? ? 450 ? ? (?550) ? 125 125 125 125
?(9 分)

=1850(元)) 设小李不出资 50 元增加 1 张奖券,消费的实际支出为 ?1 (元)

4 16 8 1 1 4 , P (?1 ? 1400) ? C2 ? ? ? 5 25 5 5 25 1 2 1 2 P(?1 ? 400) ? C2 ( ) ? 5 25 16 8 1 ? 1400 ? ? 400 ? ? 2000(元) ∴ E?1 ? 2400 ? 25 25 25 ∴ E?<E?1 , 故小王出资 50 元增加 1 张奖券划算.?(12 分)
2 则 P(?1 ? 2400) ? ( ) ?

10、解:⑴ 3 次传球,传球的方法共有 3 ? 3 ? 3 ? 27 种, 3 次传球结束时,球恰好回到甲手
2 中的传球方法为 A3 ? 6 种,故所求概率为

2 9

???5 分 ???6 分 ???9 分

⑵易知 ? 的所有可能取值为 0,1, 2

P ?? ? 0 ? ?

8 6 ? 6 ? 4 16 1 ; P ?? ? 1? ? ? ; P ?? ? 2 ? ? , 27 27 27 9

\ ? 的分布列为
x
P
0 1 2

8 27

16 27

1 9
???10 分 ???12 分

8 16 1 22 ? 1? ? 2? ? 因此, E? ? 0 ? . 27 27 9 27



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