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数列通项公式的十种求法打印了


数列通项公式的十种求法 类型 1

an ?1 ? an ? f (n)
? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。
1 ,求 an 。 n ?n
2

解法:把原递推公式转化为 an?1 例 1. 已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1 , a n?1 ? a n ?
2

变式: 已知数列 {an } a1 中

? 1,且 a2k=a2k

-1

+(-1)K,

a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….

(I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 类型 2

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
n a n ,求 an 。 n ?1

解法:把原递推公式转化为

例 1:已知数列 例 2:已知 a1

?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ?

? 3 , a n ?1

3 3n ? 1 ? a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

变式:(2004,全国 I,理 15. )已知数列{an},满足 a1=1, an

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1

(n≥2),

则{an}的通项 a

n

?1 ?? ? ___

n ?1 n?2

类型 3

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1

? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

例:已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

变式:(2006,重庆,文,14) 在数列

?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________ ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1(n ? N * ). ?an ? 的通项公式;
b ?1 b2 ?1

变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分) 已知数列

(I)求数列

(II)若数列{bn}滿足 4 1

4

?4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明:数列{bn}是等差数列;

(Ⅲ )证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2
(或 an?1

类型 4

。 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )
n ?1

? pan ? rqn ,其中 p,q,

r 均为常数) 。

解法: 一般地, 要先在原递推公式两边同除以 q

, 得:

an?1 p an 1 an (其中 bn ? n ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ? n ?1 q q q q q

) 得: n ?1 , b

?

p 1 bn ? q q

再待定系数法解决。

例:已知数列

?an ?中, a1 ? 5 , an?1 ? 1 an ? ( 1 ) n?1 ,求 an 。
6

3

2

变式:(2006,全国 I,理 22,本小题满分 12 分) 设数列

?an ? 的前 n 项的和 Sn ? 3 a n ? 3 ? 2n?1 ? 3 , n ? 1, 2,3,???
? 2n Sn
, n ? 1, 2,3,? ?,证明: ?

4

1

2

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn

?T ? 2
i ?1 i

n

3

类型 5 递推公式为 an?2

。 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)

解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2

? san?1 ? t (an?1 ? san )

其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q
方程 叫做数列 ?an ? ? pan?1 ? qan ,a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? , x 2 ? px ? q ? 0 ,
n ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ?

解法二(特征根法): 对于由递推公式 an?2

的特征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x1 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n

n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ?1 ,得到关于

A、B 的方程组) ;当 x1

? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为

an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、
B 的方程组) 。 解法一(待定系数——迭加法): 数列

?an ?: 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,
3 3

a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项公式。

例:已知数列 变式: 1.已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an 。

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).
(II)求数列 ?an ? 的通项公式; ?an?1 ? an ? 是等比数列;
1 2 n n
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(I)证明:数列 (III)若数列

?bn ? 满足 4b ?14b ?1...4b ?1 ? (an ?1)b (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列
3 3

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2.已知数列 3.已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an

?an ?中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 ,
? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;
? an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列;?求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 2n

?设数列 bn

?设数列 c n

类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn

? f (an ) )

解法:这种类型一般利用

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)



an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 )

消去

Sn

(n ? 2)

或与

S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。
例:已知数列

?an ?前 n 项和 S n ? 4 ? an ?

1 2
n?2

.

(1)求 an ?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an . (2)应用类型 4( an?1

? pan ? q n (其中

p ,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1)

n ?1 )的方法 ,上式两边同乘以 2 得: ? 0) )

2n?1 an?1 ? 2n an ? 2


a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?

1 ? a1 ? 1 2
1? 2

. 于 是 数 列

?2 a ? 是 以
n n

2

为 首 项 , 2

为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以

2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ?
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n 2 n ?1
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变式:(2006,陕西,理,20 本小题满分 12 分)
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已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an 变式: (2005,江西,文,22.本小题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 (? 类型 7

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1 n ?1 3 ) (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an}的通项公式. 2 2

、 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 0,a ? 0)
? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) ,与已知递推式比较,解出 x, y ,从而

解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 an?1 转化为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。
?an ?: a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .
1 ? 、点(n、an ?1 ? an) 2 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3… 2
(Ⅱ)求数列
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例:设数列

变式:(2006,山东,文,22,本小题满分 14 分) 已知数列{ an }中, a1 (Ⅰ)令 bn
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? ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 bn ?是等比数列;

?an ?的通项;
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(Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列 则说明理由. 类型 8

? Sn ? ?Tn ? 使得数列 ? ? ?an ?、bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? , ? 为等差数列?若存在试求出 ? ? n ?

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不存在,

r an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 例:已知数列{ an }中, a1

? pan ? q ,再利用待定系数法求解。

? 1, a n?1 ?

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a a0 ? 1, an ?1 ? 1 an (4 ? an ), n ? N . 2

变式:(2005,江西,理,21.本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的各项都是正数且满足 : , (1)证明 an

? an?1 ? 2, n ? N ;

(2)求数列 {an } 的通项公式 an.

变式:(2006,山东,理,22,本小题满分 14 分) 已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) (2) 记 bn= 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项;

1 1 2 ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1 ? an an ? 2 3Tn ? 1 an?1 ?

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类型 9

f ( n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 g ( n) a n ? h( n)

例:已知数列{an}满足: an

?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

变式:(2006,江西,理,22,本大题满分 14 分) 1.已知数列{an}满足:a1= (1) (2)

3 2

,且 an=

3na n-1 (n ? 2,n ? N?) 2a n-1+n- 1

求数列{an}的通项公式; 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n! 2、若数列的递推公式为 a1

? 3,

1 1 ? ? 2(n ? ? ) ,则求这个数列的通项公式。 an ?1 an

3、已知数列{ a n }满足 a1

? 1, n ? 2 时, an?1 ? an ? 2an?1 an ,求通项公式。

4、已知数列{an}满足: an

?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{a }的通项公式。 3 ? an?1 ? 1
n

5、若数列{a n }中,a 1 =1,a n ?1 =

2a n an ? 2

n∈N ? ,求通项 a n .

类型 10

an?1 ?

pan ? q ra n ? h
a1 的 值 且 对 于 n ? N , 都 有 an?1 ?

解 法 : 如 果 数 列 {an } 满 足 下 列 条 件 : 已 知

pan ? q ra n ? h

(其中 p、q、r、h 均为常数,且

ph ? qr , r ? 0, a1 ? ?

h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? r rx ? h

,当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ?

?

1 ? ? 是等差数列;当特征方程 ? an ? x0 ?

有两个相异的根 x1 、 x2 时,则 ?

? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?

例:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n ?1

?

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3
13an ? 25 . an ? 3

例:已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 an ?1

?

(1)若 a1

? 5, 求 a n ; (2)若 a1 ? 3, 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {an } 不存在?

变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分 12 分)

数列 {an }满足a1

? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ?

1 1 an ? 2

(n ? 1).

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值;

(Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {a n bn } 的前 n 项和 S n .

类型 11

an?1 ? an ? pn ? q 或 an?1 ? an ? pqn

解法:这种类型一般可转化为 例: (I)在数列 {an } 中, a1 类型 12 归纳猜想法 解法:数学归纳法

?a2n?1?与 ?a2n ?是等差或等比数列求解。
? 1, an?1 ? 6n ? an ,求 an
(II)在数列 {an } 中, a1

? 1, an an?1 ? 3n ,求 an

变式:(2006,全国 II,理,22,本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式 {a 类型 13 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例:已知数列
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?an ?中, a1 ? 1 ;数列 ?bn ? 中, b1 ? 0 。当 n ? 2 时, an ? 1 (2an?1 ? bn?1 ) , bn ? 1 (an?1 ? 2bn?1 ) ,求 an , bn .
3 3
解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

类型 14 周期型

例:若数列

?an ?满足 an?1

1 ? ?2a n , (0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n ? n 2 ?

变式:(2005,湖南,文,5)

已知数列 {an } 满足 a1

? 0, a n?1 ?

an ? 3 3a n ? 1
3

(n ? N * ) ,则 a 20 =





A.0

B. ?

C.

3

D.

3 2

一、公式法 已知数列 {an } 满足 an?1

例1

? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a a a 3 a 2 3 ? n ? ,则 n ?1 ? n ? ,故数列 { n } 是以 1 ? ? 1 为首项,以 为公差 n ?1 n ?1 n n 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 an 3 3 1 n 的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n ? 1 ? ( n ? 1) ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2 2 2
解: an?1

? 2an ? 3? 2n 两边除以 2 n?1 ,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1

? 2an ? 3? 2n 转化为

an ?1 an 3 a ? n ? ,说明数列 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列 n ?1 2 2 2 2n

的通项公式求出

an 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 {an } 的通项公式。 n 2 2

公式法:已知 Sn (即 a1 ? a2 例 2.已知数列

?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。
? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1
n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,

S ,(n ? 1) ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? S1 ? S ,(n ? 2) 。 n n ?1

?

解:由 a1 当n

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1, an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2. ?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ?2
n ?1

2[1 ? (?2) n ?1 ] ? (?1) 3
n

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
2 ? 1 也满足上式,所以 a n ? [2 n?2 ? (?1) n?1 ] 3 ?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 点评:利用公式 an ? ? 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一定要合并. ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2
经验证 a1 练一练:① 已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ②数列 {an } 满足 a1 二、累加法 例2 已知数列 {an } 满足 an?1

? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

5 ? 4, S n ? S n ?1 ? an ?1 ,求 an ; 3

? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,
an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1

解:由 an?1

? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

(n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2

所以数列 {an } 的通项公式为 an

? n2 。
an?1 ? an ? 2n ? 1
转 化 为

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式

an?1 ? an ? 2n ? 1

, 进 而 求 出

(an ? a?n1 ) ? (a?n1 ? a?n2 ? )?
例3 已知数列 {an } 满足 an?1

,即得数列 ? (a ? a ) ? (a ? 1 ) ? 1 {an } 的通项公式。 a a 3 2 2

? an ? 2 ? 3n ?1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3
由 an?1

? an ? 2 ? 3n ? 1得 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1则

3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1

所以 an

? 3n ? n ?1. an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1
转 化 为

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1

, 进 而 求 出

an ? ( an ? an ) ? ( an ? a2n ?? ?1 ?1 ? )
例4 已知数列 {an } 满足 an?1

? 3a ?2a) ? 2a ?,即得数列 {an } 的通项公式。 ( ( ) ?a 1a 1

? 3an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,
an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 n ?1 3 3 3 3


解: an?1

? 3an ? 2 ? 3n ?1 两边除以 3n?1 ,得



an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an a a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 a2 a1 a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 3n 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an



2 1 1 ? ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1

? 3an ? 2 ? 3n ?1 转化为

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,进而求出 n ?1 3 3 3 3

(

an an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2 an ?3 a2 a1 a ? an ? ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 , 即得数列 ? n ? 的通项公式, 最后再求数列 {an } 的通项公式。 n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 ?

累加法: 若 an?1 ? an 例 3.

? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 1 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n
解:由条件知: a n ?1

? an ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2







n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1)













(n ? 1)

















(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n
所以 a n

? a1 ? 1 ?

1 n

1 1 1 3 1 ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n 1 (n ? 2) ,则 an =________ 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? n ?1 ? n ? a1 ?
三、累乘法 已知数列 {an } 满足 an?1



例5

? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

解:因为 an?1

? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3? 2
n ?1 n ( n ?1) 2

?5

? n!

所以数列 {an } 的通项公式为 an

? 3 ? 2n?1 ? 5

n ( n ?1) 2

? n!.
an ?1 a a a a ? 2(n ? 1)5n ,进而求出 n ? n?1 ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得 an an?1 an?2 a2 a1

评注:本题解题的关键是把递推关系 an?1

? 2(n ?1)5n ? an 转化为

数列 {an } 的通项公式。

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题, 原题是填空题) 已知数列 {an } 满足 a1 的通项公式。 解:因为 an

? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } ,

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2)




所以 an?1

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan ? nan .

用②式-①式得 an?1 ? an

则 an?1

? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an

?

an an?1 a n! ? ??? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2



由 an

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知 a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得
n! 。 2 ? n! . 2

an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?

所以, {an } 的通项公式为 an

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1

? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 a a a ? n ? 1(n ? 2) ,进而求出 n ? n?1 ?? ? 3 ? a2 ,从 an an?1 an?2 a2

而可得当 n ? 2时,an 的表达式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 累乘法:已知

例 4.

an?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 2 n a n ,求 an 。 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1
解:由条件知

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之,即 ? an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n
又? a1

?

2 2 ,? a n ? 3 3n

如已知数列 {an } 中, a1 四、待定系数法 例7

? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an

已知数列 {an } 满足 an?1
n?1

? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。


解:设 an?1 ? x ? 5

? 2(an ? x ? 5n )

将 an?1

? 2an ? 3? 5n 代入④式,得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2an ? 2x ? 5n ,等式两边消去 2an ,得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2x ? 5n ,
n

两边除以 5 ,得 3 ? 5 x ? 2 x, 则x ? ?1, 代入④式得 an?1 ? 5

n?1

? 2(an ? 5n )



an?1 ? 5n?1 由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ,则 ? 2 ,则数列 {an ? 5n }是以 a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比 n an ? 5
1 n

数列,则 an

? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 而求出数列 {an

? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ,从而可知数列 {an ? 5n }是等比数列,进

? 5n }的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

例8

已知数列 {an } 满足 an?1
n?1

? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。


解:设 an?1 ? x ? 2

? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)

将 an?1

? 3an ? 5 ? 2n ? 4 代入⑥式,得

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2
n

? 4 ? y ? 3x ? 2n ? 3 y 。

令?

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2


an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 2 得 an
1

? 2 ? 1 ?12 ? 13 ? 0 及⑦式,

n ?1 ? 5 ? 2n ? 2 ? 0 ,则 an?1 ? 5 ? 2n ? 2 ? 3 ,

an ? 5 ? 2 ? 2

故数列 {an

? 5 ? 2n ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ?12 ? 13 为首项,以

3 为公比的等比数列,因此 an

? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3n?1 ,则

an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1

? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为 an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列

{an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
例9 已知数列 {an } 满足 an?1

? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。


解:设 an?1 ? x(n ? 1)

2

? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z)

将 an?1

? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2 an ,得 (3 ? x)n
2

? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z ,

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ? 2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18)
由 a1 ? 3?1
2



? 10 ?1 ?18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0



an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 2 an ? 3n ? 10n ? 18

为公比的等比数列,因此 an

? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 是等比数列,进而求出数列

{an ? 3n2 ?10n ?18} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。
五、对数变换法 已知数列 {an } 满足 an?1
5 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

例 10

解 : 因 为

5 an?1 ? 2 ? 3n ? an,a1 ? 7

, 所 以

an ? 0,an?1 ? 0

。 在

5 an?1 ? 2 ? 3n ? an

式 两 边 取 常 用 对 数 得

lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2
设 lg an?1 ? x(n ? 1) ?



y ? 5(lg an ? xn ? y) 5 l an ? n g

11 ○

将 ⑩ 式 代 入 ○ 式 , 得 11

l ? 3 ? l g ? ? ( ? 1 )an ? xn5 ( l g g x n2 y ?y ,

两 边 消 去)

5 l an g

并 整 理 , 得

( l g?3 n ? x ? y ? l g ?2 x n ? 则 y 5 x ) 5,

lg 3 ? ?x ? 4 ?lg 3 ? x ? 5 x ? ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○ 11式,得 lg an ?1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

由 lg a1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 12式, 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4

得 lg an

?

lg an ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4
?

所以数列 {lg an

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 为首项,以 5 为公比的等比数列,则 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 4 16 4 4 16 4

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )5 ? lg(7
5 n ?1 1 4 1 16 1 4 n ?1 1 1 1 n 1 1

? lg(3 ? 3 ? 2 ) ?2
?1 5n?1 ?1 4

n 4

1 16

1 4

?3

5

n?1

?n

4

?3

5

n?1

?1 16 5
n?1

)

? lg(75 n ?1 ? 3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)

则 an

?7

5n?1

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4


5 ? 2 ? 3n ? an 转化为

评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 {lg an ? n? ? } 是等比数列, 4 16 4 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 进而求出数列 {lg an ? 4 16 4 lg an ?1 ?
六、迭代法
3( ? an n?1)2 ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

例 11

已知数列 {an } 满足 an ?1
3( ? an n?1)2
n

解:因为 an ?1
2

,所以 an

3n? 3( ? an?12 ? [an?n?1)?2 ]3n?2 2

n?1

n? 2

n?1

3 ? an ?(2n ?1)?n?2

( n?2)?( n?1)

3( ? [an ?n ?2)?2 ]3 ( n ?1)?n?2 3
2

n?3

( n?2)?( n?1)

3 ? an ?(3n ?2)( n ?1) n?2
3

( n?3)?( n?2)?( n?1)

?? ? a13 ? a13
又 a1
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2????( n?3)?( n?2)?( n?1)
n ( n?1) 2

n?1

?n!?2

? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2


3( an?1 ? an n?1)2

评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式

n

两边取常用对数得

lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an





lg an?1 ? 3(n ? 1)2n lg an
n ( n?1) 2



















n?1 lg an lg an?1 lg a3 lg a2 lg an ? ? ?? ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg an?1 lg an?2 lg a2 lg a1

,从而 an

?5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



七、数学归纳法

例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1

? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9
8 ,得 9

解:由 an ?1

? an ?

8(n ? 1) (2n ? 1) 2 (2n ? 3) 2

及 a1

?

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? (2 ? 2 ? 1) 2 (2 ? 2 ? 3) 2 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?

由此可猜测 an

?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9
(2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n

? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n

? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n

? k ? 1 时等式也成立。
*

根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 , 评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1

?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 ? 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn

? 1 ? 24an

,则 an

故 an ?1

?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
即 4bn?1
2

? (bn ? 3)2

因为 bn

? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0
1 3 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? bn ? , 2 2 1 (bn ? 3) , 2 1 n ?1 1 n ?2 1 ?( ) , 为公比的等比数列, 因此 bn ? 3 ? 2( ) 2 2 2

则 2bn?1

可化为 bn ?1 ? 3 ?

所以 {bn 则 bn

以 ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,

1 1 ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

an ?

评注:本题解题的关键是通过将 比数列,进而求出数列 {bn 九、不动点法

1 ? 24an

的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化 bn ?1

?

1 3 bn ? 形式,从而可知数列 {bn ? 3} 为等 2 2

? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

例 14

已知数列 {an } 满足 an ?1

?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1
的两个不动点。因为

解:令 x

?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20 x ? 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 4x ?1 4x ?1

21an ? 24 ?2 ? an ? 2 ? an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 a1 ? 2 4 ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 ? ? ?2 ? 是以 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 a1 ? 3 4 ? 3 ? an ? 3 ? 4an ? 1
为首项,以

a ?2 13 13 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 ,则 an ? 9 an ? 3 9
f ( x) ? 21x ? 24 4x ?1

1 13 2( )n?1 ? 1 9
x?

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数

的不动点,即方程

21x ? 24 4x ?1

的两个根

x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

? an ? 2 ? ? an ? 2 ? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? ? ? ? 为等比数列,再求出数列 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ? ? an ? 3 ?

例 15

已知数列 {an } 满足 an ?1

?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x

?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 比数列,进而求出数列 {bn

1 ? 24an

的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化 bn ?1

?

1 3 bn ? 形式,从而可知数列 {bn ? 3} 为等 2 2

? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

十、已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。 (1)形如 an ① an

? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。
q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

? kan?1 ? b 解法:把原递推公式转化为:an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

例 5. 已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .
? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 .故递推公式为
bn?1 an?1 ? 3 ? ?2 bn an ? 3

解:设递推公式 an?1

an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
所以

?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 .
an?1 p an 1 n ?1 该类型较类型 3 要复杂一些。 一般地, 要先在原递推公式两边同除以 q , 得: n?1 ? ? ? ? kan?1 ? bn 解法: q qn q q

② an

引入辅助数列

?bn ? (其中 bn ? an n
q

) ,得: bn ?1

?

p 1 bn ? 再应用 an ? kan?1 ? b 的方法解决.。 q q

例 6. 已知数列

6 3 2 1 1 n ?1 2 n ?1 n ?1 ? a n?1 ? (2 n ? a n ) ? 1 解:在 a n ?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 得: 2 3 2 3 2 2 n n 令 bn ? 2 ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,应用例 7 解法得: bn ? 3 ? 2( ) 3 3 bn 1 n 1 n 所以 a n ? n ? 3( ) ? 2( ) 2 3 2 练一练① 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ;

?an ?中, a1 ? 5 , an?1 ? 1 an ? ( 1 ) n?1 ,求 an 。

? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ; an ?1 (2)形如 an ? 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b
② 已知 a1 例 7: an

?

an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1
1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

解:取倒数:

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
练一练:已知数列满足 a1 =1,

an?1 ? an ? an an?1 ,求 an ;

? f (1),(n ? 1) ? 。 ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ? 2 如数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n ,则 a3 ? a5 ? ______
十一、作商法:已知 a1 ? 2 ? an a ?? 十二、定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例 1.等差数列



?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S5 ? a52 .求数列 ?an ? 的通项公式. 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)
∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 即 (a1
2

2

? a1a9 ,

? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d ∵d ? 0, ∴ a1 ? d ………………………………① 5? 4 2 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 …………② ∵ S 5 ? a5 ∴ 5a1 ? 2 3 3 由①②得: a1 ? , d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? ( n ? 1) ? ? n 5 5 5
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 练一练:已知数列 3

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32


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