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1.1.3导数的几何意义(第二课时)


1.1.3 导数的几何意义(二)

旧知回顾
1. 导数的几何意义
f (x)在x = x0处的导数f?(x0 ) 即为f(x) 所表示曲线在 x = x0处切线的斜率,即

几何意义告诉我们: ①切线斜率的本 质——函数在x=x0处的导数;② 求曲线 上某点切线的斜率的一种方法

f(x0 +Δx)- f(x0 ) k = f?(x0 )= lim Δx→ 0 Δx

求过某点P的曲线的切线方程的步骤:
(1)判断点P是否在曲线上。
(2)若点P在曲线上,由导数几何意义求斜率。 (3)若点P不在曲线上,设出切点坐标,利用切线 斜率表达式,求出切点的坐标和斜率。

1.导函数的定义:

请看P8 例3
从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f’(x)便 是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数). 即:

Δy f(x +Δx)- f(x) f?(x)= y? = lim = lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx

函数y = f(x)在点x 0处的导数f?(x 0 ) 就是函数f(x)的导(函)数f?(x) 在点x 0处的 函数值.

? 1.深刻理解“函数在某一点处的导数”、 “导函数”、“导数”的区别与联系 ? (1)函数在一点处的导数 f′(x0)是一个常数, 不是变量. ? (2)函数的导数,是针对某一区间内任意点x而 言的.函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导, 是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值x0, 都对应着一个确定的导数 f′(x0).根据函数 的定义,在开区间(a , b)内就构成了一个新 的函数,就是函数f(x)的导函数f′(x).

? (3)函数 y = f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是 导函数 f′(x)在点 x0 处的函数值,即 f′(x0) =f′(x)|x=x0. ? (4)所以求函数在某一点处的导数,一般 是先求出函数的导函数,再计算这点的导 函数值.

2.如何求函数y=f(x)的导数?
(1)求函数的增量Δy = f(x +Δx)- f(x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : Δy f(x +Δx)- f(x) = ; Δx Δx

Δy (3)求极限,得导函数y? = f?(x)= lim . Δx→0 Δx

例1:设f(x)= x ,求f'(x),f'(-1),f'(2)
2

思路:先根据导数的定义求f'(x),再将自变量 的值代入求得导数值。

解:由导数的定义有 f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) ? x f '( x)= lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?x(2 x ? ?x) ? lim ? 2x ?x ?0 ?x
2 2

? f ' (?1)=f ' ( x) x??1 ? 2 ? (?1) ? ?2 f ' (2) ? f ' ( x) x?2 ? 2 ? 2 ? 4

例2:求函数y = x在x =1处的导数。
解法一:?y ? 1 ? ?x ? 1 1 ?y 1 ? ?x ? 1 ? ? 1 ? ?x ? 1 ?x ?x
?x?0

lim

1 1 ? 1 ? ?x ? 1 2

1 ? y ' x?1 ? 2

例2:求函数y = x在x =1处的导数。
解法二:?y ? x ? ?x ? x ?y ? ?x x ? ?x ? x ? ?x 1 x ? ?x ? x

?y 1 1 lim ? lim ? ?x?0 ?x ?x?0 x ? ?x ? x 2 x ?y' ? 1 2 x

1 ? y ' x?1 ? 2

练习: 1.已知函数y=f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,求a.
Δy [解析] 解法一:∵f′(1)=lim Δx→ 0 Δx f(1+Δx)-f(1) =lim Δx→ 0 Δx a(1+Δx)2+c-a-c =lim Δx→ 0 Δx 2a·Δx+a(Δx)2 =lim [ ] Δx→ 0 Δx =lim (2a+a·Δx)=2a=2. Δx→ 0 ∴a=1,即 a 的值为 1.

a(x+Δx)2+c-(ax2+c) 解法二:∵f′(x)=lim Δx→ 0 Δx 2aΔx+aΔx2 =lim =lim (2a+aΔx)=2a, Δx→ 0 Δx→ 0 Δx ∴2a=2,故 a=1.

选择题: ? 1.曲线y=-2x2+1在点(0,1)处的切线的斜 率是( ) ? A.-4 B.0 C.4 D.不存在 ? [答案] B
Δy [解析] y′|x=0=liΔx→0 m =liΔx→0 (-4Δx)=0. m Δx

? 2.曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐 标为( ) ? A.(-2,-8)
C.(2,8)

B.(1,1),(-1,-1)
? 1 1? D.?- ,- ? ? 2 8? ? ?

? [答案]

B

(x+Δx)3-x3 [解析] ∵y=x3,∴y′=liΔx→0 m Δx (Δx)3+3x· 2+3x2·Δx (Δx) =liΔx→0 m Δx =liΔx→0 ((Δx)2+3x·Δx+3x2)=3x2. m 令 3x2=3,得 x=± 1, ∴点 P 的坐标为(1,1),(-1,-1).故选 B.

3. y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切, a=( 则 1 A. 8 1 C. 2 1 B. 4 D.1

)

? [答案] B
[解析] ∵y′=2ax,设切点为(x0,y0),则 2ax0=1, 1 1 ∴x0= .∵切点在直线 y=x 上,∴y0= . 2a 2a 1 1 1 代入 y=ax +1 得 = +1,∴a= ,故选 B. 2a 4a 4
2


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